正態(tài)分布難點解讀

田鯤

正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中占有很重要的地位. 在實際生活中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或者近似地服從正態(tài)分布（如產(chǎn)品尺寸、測量的誤差、炮彈落點的分布、人的生理特征量、農(nóng)作物的收獲量等等），這也是教材增加這一內(nèi)容的意圖和宗旨. 高考對正態(tài)分布的考查以中、低檔題為主，主要考查正態(tài)分布的基本概念、性質(zhì)和計算.

正態(tài)分布密曲線的性質(zhì)

例1 設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ）

[1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2]

A. B.

C. D.

解析 根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)知：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線對稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線. 越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且較陡峭.

答案 A

點評 本題考查了和對正態(tài)密度曲線的形狀與位置的影響.

正態(tài)分布的有關(guān)概率計算

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布密度曲線關(guān)于軸對稱，， 則.

正態(tài)分布，記，則，利用這一性質(zhì)可以將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來解決.

例2 設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則 .

解析 由正態(tài)曲線的對稱性得，，故.

答案 2

點評 本題考查了利用正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)的值.

例3 設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則（ ）

A. B.

C. D.

解析

.

答案 C

點評 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下求解.

例4 若隨機(jī)變量，若，則 .

解析

.

答案 0.35

點評 利用正態(tài)分布的對稱性解題.

例5 設(shè)，則 .

解析 由題意得，.

則

答案 0.0215

點評 本題考查特殊區(qū)間概率值的求解.

正態(tài)分布的實際應(yīng)用

正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，也是高中階段唯一的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，在實際生活中應(yīng)用非常廣泛，因此也成為高考考查的熱點.

例6 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個零件，并測量其尺寸（單位：）. 根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布. 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（1）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（2）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

[9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ]

經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，.

用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.

解析 （1）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有，一天內(nèi)抽取的個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有，發(fā)生的概率很小. 因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 由此可見，上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

（2）由，得，，.由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為.

點評 本題考查了二項分布、正態(tài)分布、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算，其中數(shù)值的計算是考查的熱點. 另外，落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測的理論依據(jù).

例7 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖.

[質(zhì)量指標(biāo)值][165 175 185 195 205 215 225 235][頻率

組距][0.033

0.024

0.022

0.009

0.008

0.002]

（1）求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，求.

附：若，

則，

.

解析 （1），.

（2），

.

點評 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計算，以及正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間上的概率的求解.endprint