“兩句話”輕松解決方程問題

邱愛國

[摘 要]理解方程的意義，掌握等式的性質(zhì)是解方程問題的基礎(chǔ)。在解決方程問題的過程中，教師應(yīng)剖析學(xué)生錯誤的成因，找到解決問題的策略，并在實踐中反思提煉。實踐證明，“先把負(fù)的變成正的”“能算的要先計算”這兩句話可幫助學(xué)生輕松解決方程問題。

[關(guān)鍵詞]方程；兩句話；解決策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0044-02

一、錯題呈現(xiàn)

這三個是人教版教材五年級上冊第五單元“簡易方程”中學(xué)生最易出現(xiàn)的典型錯誤。

二、題型分析

形如a-x=b的方程，教材第68頁有例5“20-x=9”，學(xué)生作業(yè)情況稍好；形如a÷x=b的方程，教材中沒有相應(yīng)的例題，課后練習(xí)有一道選擇題“3÷x=1.5（x=0.5 x=2）”，另有兩道解方程題“2.1÷x=3 6.3÷x=7”。這種安排不是很科學(xué)，學(xué)生的答案是套出來的，而不是從方程中解出來的。

形如a-bx=c，教材中一道題也沒有，編者可能把它歸在a-x=b中了，配套的作業(yè)本第50頁有一題“18-2x=16”，卻沒有專門的習(xí)題做分析講解，但后來解決問題時卻經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生根本沒形成解題技能。

形如a（x-b）=c的方程，教材在給出第69頁例5（如下圖）解方程2（x-16）=8的第二種解法時，“2×16”這一步?jīng)]出現(xiàn)，直接出現(xiàn)2x-32=8。對乘法分配律掌握不扎實的學(xué)生根本無從得知這一步是從哪里來的。

形如ax±b×c=d的方程，即a（x±b）=c的展開式。本單元涉及的習(xí)題共有四道，配套的作業(yè)本另有四道，練習(xí)很充足，但因為沒有專屬例題，教師往往一筆帶過，結(jié)果一些理解能力稍差的學(xué)生一錯再錯。

三、解決策略

解方程的過程實際上是一連串依據(jù)等式性質(zhì)而展開的演繹推理過程，最終將原方程轉(zhuǎn)化為與其等價的“x=？”形式，“x=？”是方程變形的目標(biāo)，說白了就是解決這樣一個問題：當(dāng)x取什么值時，能使等式成立？建立方程的概念是學(xué)習(xí)解方程的基礎(chǔ)，等式的基本性質(zhì)是解方程的基礎(chǔ)，所以理解方程的意義及掌握等式的性質(zhì)，是解方程的前提。我認(rèn)為，只要掌握好以下兩句話就可輕松解決方程問題。

第一句話：先把負(fù)的變成正的。

形如“a-（÷）x=b”的方程（包括a-bx=c），這看似簡單的方程，為什么學(xué)生錯誤率居高不下呢？原因是方程里的未知數(shù)逆向呈現(xiàn)，既然是逆的，那就先把它變成順的。

“減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算”這是學(xué)生早已牢固掌握的知識，低年級時“做減法想加法”“做除法想乘法”已成為學(xué)生計算減法和除法的順口溜。把這個已掌握的知識挖掘出來，與解方程聯(lián)系在一起，讓學(xué)生明白把逆向的題首先改成順向的題，問題就簡便多了。就好像人走路一樣，順著走方便，倒著走或因怕碰撞，或因怕摔倒，或因怕走歪，總之十分方便。對于形如a-bx=c的方程，我們可利用等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時加bx，如18-2x=16，方程兩邊可同時加2x，再移項，變成18-16=2x；對于形如a÷bx=c的方程兩邊同時乘x，如3÷x=1.5，變成3=1.5x，這樣一變，負(fù)的變成正的，新知就變成了舊知，問題也就迎刃而解了。

第二句話：能算的要先計算。

形如a（x-b）=c，ax±b×c=d的方程，學(xué)生解題錯誤率高的原因，一是不會把小括號里的算式看成一個整體；二是方程里至少有兩個運算符號。

一個算式或一個含有字母的式子，可以看成一個整體來思考，這樣的思考模式對于五年級學(xué)生來說是第一次出現(xiàn)。方程是個新知識，用字母可以代替一個數(shù)參與運算更是一個新鮮事物，是小學(xué)階段學(xué)生形象思維向抽象思維過渡的典型例子。這種思維背景下再要求把小括號里的算式看成一個“整體”，這無疑會成為學(xué)生解方程的絆腳石。如何幫助學(xué)生找到搬開這塊絆腳石的辦法是我們一線教師長期探討的問題。

我在突破“a（x-b）=c”這個難點時，先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)小括號的作用：小括號除了能改變運算順序外，還能把括號里的算式看作一個整體來參與運算；然后再讓學(xué)生把小括號里的“x-b”看成一個整體來進(jìn)行計算。多次的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生還是避開整體利用乘法分配律來解題順手，也可與直接給出展開式ax±b×c=d的方程合并教學(xué)，使解決策略前后連貫。

下面重點介紹形如ax±b×c=d方程的解決策略。首先與四則運算掛鉤，但不是用它們之間的關(guān)系，而是用運算順序。對于乘除加減混合運算的題，先算乘除后算加減。如方程3x-2×6=24（作業(yè)本第72頁），教學(xué)時我先提問：“方程左邊既有減法又有乘法，我們要先算什么？”學(xué)生認(rèn)為應(yīng)先計算出2×6=12，方程演變成ax-b =c的形式，接著就利用上面第一句話，先把負(fù)的變成正的，兩邊同時加12，方程變成3x=24+12，這樣方程右邊又可先算了，3x=36，至此方程得解。

“我們要先算什么？”這一“問”至關(guān)重要，抓住了問題的本質(zhì)，學(xué)生就不會急著利用等式的性質(zhì)在方程兩邊同時除以6，而出現(xiàn)錯誤了。

形如ax+bx=c的方程，也可套用“能算的要先計算”這句話?！?x+x+6=26（課本第72頁）”是課本中稍復(fù)雜的一道方程題，在講評這道題時，我提問：“這個方程中有能先算的嗎？”當(dāng)原方程變成“4x+6=26”后，新問題又可用老辦法解決了。

以后面對稍復(fù)雜的的方程，如左右兩邊均有未知數(shù)的方程，也可運用“先把負(fù)的變成正的”“能算的要先計算”來解決問題，與中學(xué)階段的“先合并同類項”順利“會師”。

當(dāng)然，要十分重視方程的檢驗，要讓學(xué)生在理解“方程的解”的含義的基礎(chǔ)上，用代入法檢驗，養(yǎng)成及時檢驗的好習(xí)慣。

四、實踐反思

“簡易方程”是小學(xué)階段集中教學(xué)代數(shù)初步知識的單元，從算術(shù)到代數(shù)是人們對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識的一次飛躍，也是數(shù)學(xué)思想方法的一次突破。以前教材給出的解方程的主要依據(jù)是加減運算與乘除運算的關(guān)系，雖易于理解，但要記憶的關(guān)系式太多，加法、乘法各一個，減法、除法各兩個，一共有六個，解題時學(xué)生錯誤率高，學(xué)習(xí)效果很不理想。

我?guī)Я司艑卯厴I(yè)生，進(jìn)行了九次方程教學(xué)，實踐，提煉，再實踐，再提煉。“先把負(fù)的變成正的”“能算的要先計算”，這兩句話不僅使學(xué)生體會到方程的實質(zhì)，及方程中蘊含的等價思想和建模思想，還讓學(xué)生體驗到解決問題的策略——把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，即先找到自己認(rèn)知領(lǐng)域的“最近發(fā)展區(qū)”，再超越這個“最近發(fā)展區(qū)”，從而到達(dá)更新更高的思維領(lǐng)域。

（責(zé)編 黃春香）endprint