臺(tái)灣部編版教材“分?jǐn)?shù)除法”的編寫(xiě)分析

葛敏輝　趙陽(yáng)霞

[摘 要]“分?jǐn)?shù)除法”是小學(xué)生比較難理解的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此分析教材的編寫(xiě)對(duì)于探索教學(xué)方法是十分有意義的。以“分?jǐn)?shù)除法”這一課為切入點(diǎn)，從“理解計(jì)算意義、深入研究算理、概括計(jì)算法則、形成計(jì)算技能”四個(gè)維度來(lái)分析臺(tái)灣部編版教材“分?jǐn)?shù)除法”的編寫(xiě)，為進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)提供新的思路。

[關(guān)鍵詞]臺(tái)灣部編版教材；分?jǐn)?shù)除法；理解算理；分析

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）35-0009-03

臺(tái)灣部編版教材是臺(tái)灣最有影響力的教材之一，市場(chǎng)占有率達(dá)到65%。它是根據(jù)《國(guó)民中小學(xué)九年一貫課程綱要》編寫(xiě)的，它把“分?jǐn)?shù)除法”安排在五年級(jí)和六年級(jí)兩個(gè)年級(jí)（即第10冊(cè)和第11冊(cè)）進(jìn)行教學(xué)。本文以“分?jǐn)?shù)除法”這一課為切入點(diǎn)，從“理解計(jì)算意義、深入研究算理、概括計(jì)算法則、形成計(jì)算技能”四個(gè)維度來(lái)分析教材的編寫(xiě)。

一、如何理解分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的意義？

《臺(tái)灣九年一貫數(shù)學(xué)課程暫行綱要》之“分?jǐn)?shù)教學(xué)目標(biāo)”中，五年級(jí)的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)要求是“能在測(cè)量情境中，理解分?jǐn)?shù)之整數(shù)相除的意涵”，六年級(jí)的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)要求是“能理解除數(shù)為分?jǐn)?shù)的意義及計(jì)算方法，并解決生活中的問(wèn)題”，均力求讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題的情境中理解運(yùn)算的意義。

臺(tái)灣部編版教材為幫助學(xué)生理解運(yùn)算意義，在五年級(jí)的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”處建立了兩個(gè)模型：一是借助學(xué)生熟悉的“分物”情境來(lái)類比遷移，建立平均分模型；二是建立求倍數(shù)模型（A是B的幾倍？），即除法中包含除的模型。六年級(jí)的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的復(fù)習(xí)課以及“除數(shù)為分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)除法”中都運(yùn)用到這兩個(gè)模型。在模型中，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同——都是已知兩個(gè)乘數(shù)的積和其中一個(gè)乘數(shù)求另一個(gè)乘數(shù)的運(yùn)算。

例如：

驗(yàn)算的目的是進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)乘除的互逆關(guān)系以及理解分?jǐn)?shù)除法的意義。

臺(tái)灣部編版教材在處理分?jǐn)?shù)除法意義的理解上有以下特點(diǎn)：

（1）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比遷移理解分?jǐn)?shù)除法意義。分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法意義相同，因此在分?jǐn)?shù)除法的例題上選擇建立平均分模型和包含除模型，概念上注重打通知識(shí)間的聯(lián)系，通過(guò)類比遷移加深學(xué)生對(duì)概念的理解。

（2）選材關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)?！胺治铩笔浅ㄟ\(yùn)算的一個(gè)聯(lián)結(jié)因素，在熟悉的問(wèn)題情境下，學(xué)生借助實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)就能更好地理解運(yùn)算意義。

二、如何理解分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算算理？

計(jì)算教學(xué)中的算理教學(xué)非常重要，為了讓學(xué)生真正理解算理，不同的編寫(xiě)者往往有不同的側(cè)重點(diǎn)。

1.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)如何理解算理？

運(yùn)算理解有四種類型：直觀理解、程序理解、抽象理解和形式理解。直觀理解就是用直觀圖形來(lái)說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果的合理性；程序理解，通俗來(lái)說(shuō)就是會(huì)計(jì)算；抽象理解就是用語(yǔ)言、算式說(shuō)明結(jié)果的合理性；形式理解是用已知規(guī)則、規(guī)律基于邏輯推理證實(shí)運(yùn)算結(jié)果的合理性。

臺(tái)灣部編版教材在處理分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理理解上屬于抽象理解，主要借助三重意義：除法的意義、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘法的意義來(lái)理解。例如，

根據(jù)除法的意義列出算式“÷3”，根據(jù)分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘法的意義列出算式“”，這兩個(gè)算式表示的意義相同，所以可以轉(zhuǎn)化。

理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理應(yīng)包含兩個(gè)層次：第一層，理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)需要的概念支撐（除法的意義、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘法的意義），這是第二層轉(zhuǎn)化必備的基礎(chǔ)；第二層，理解為什么要把除法轉(zhuǎn)化為乘法。

臺(tái)灣部編版教材在處理分?jǐn)?shù)除以整數(shù)部分直接給出分子與整數(shù)不能整除的情況。例題中雖有借助直觀模型，但這里的直觀線段圖是為理解抽象意義服務(wù)的。

2.除數(shù)為分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)除法如何理解算理？

除數(shù)為分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)除法的算理是小學(xué)階段學(xué)生公認(rèn)的難以理解的學(xué)習(xí)內(nèi)容，臺(tái)灣部編版教材采用通分法來(lái)說(shuō)明算理：從分母相同的分?jǐn)?shù)除法開(kāi)始研究，進(jìn)而探索分母不同的分?jǐn)?shù)除法。實(shí)際上早在2000年前的《九章算術(shù)》中就有通分方法記載。

同分母分?jǐn)?shù)除法算理演繹過(guò)程：

同分母分?jǐn)?shù)除法的算理理解上屬于直觀理解：借助線段圖，通過(guò)數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生理解“分母相同的情況下求倍數(shù)實(shí)際上可以化成整數(shù)的包含除的關(guān)系”。例題中的提示語(yǔ)是引導(dǎo)圖示中要揭示的思維過(guò)程。四則運(yùn)算本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)的運(yùn)算。同分母分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位相同，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分子相除的整數(shù)除法。

下面是異分母分?jǐn)?shù)除法算理的演繹過(guò)程。

教材中先出示引導(dǎo)語(yǔ)：

異分母分?jǐn)?shù)除法主要借助同分母加減法和同分母分?jǐn)?shù)除法的遷移，第一步，通分，把不同的分?jǐn)?shù)單位化成相同的分?jǐn)?shù)單位后再計(jì)算，第二步，轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法包含除的關(guān)系。這里所需的“知識(shí)包”包含：整數(shù)除法的知識(shí)，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和通分（臺(tái)灣部編版教材叫“擴(kuò)分”）。因此，異分母分?jǐn)?shù)除法的算理是先通分再化歸到“同分母分?jǐn)?shù)的除法”。

從上面的分析可以看出，臺(tái)灣部編版教材在引導(dǎo)學(xué)生理解計(jì)算算理方面的特點(diǎn)：

（1）注重學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)都是在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，讓已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)建立支架，將新知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！巴ǚ址ā笔沟梅?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法在意義上達(dá)到一致，更能體現(xiàn)概念的一致性，而且“通分法”和分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法類似，學(xué)生容易進(jìn)行正向遷移。

（2）完整展現(xiàn)思考過(guò)程。無(wú)論是抽象理解算理還是直觀理解算理，教材都用語(yǔ)言和圖示揭示了完整的思維過(guò)程，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除法的探究過(guò)程，清晰理解算理，領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的本質(zhì)。

三、如何形成計(jì)算法則？

算理和算法是運(yùn)算能力的一體兩翼，尤其在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢。

1.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算法則如何形成？endprint

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)是用抽象意義說(shuō)明÷3與×意義相同，所以把除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算。臺(tái)灣部編版教材將“倒數(shù)”安排在六年級(jí)的“分?jǐn)?shù)的除法”之后，所以沒(méi)有抽象出計(jì)算法則，只是在例題中用引導(dǎo)語(yǔ)做相關(guān)提示。

先用兩個(gè)例題建立模型，對(duì)于第三個(gè)例題，教材已沒(méi)有算法提示而是直接把“除以整數(shù)”變成“乘整數(shù)的倒數(shù)”。

2.同分母分?jǐn)?shù)的除法計(jì)算法則如何形成？

在兩道例題基礎(chǔ)上概括出了同分母分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則，在法則下面又舉例幫助學(xué)生鞏固和理解。

緊跟計(jì)算法則的“動(dòng)動(dòng)腦”，為學(xué)生最終掌握“顛倒相乘”的計(jì)算法則做思維鋪墊。

3.異分母分?jǐn)?shù)的除法計(jì)算法則如何形成？

異分母分?jǐn)?shù)除法算理與同分母分?jǐn)?shù)除法相同，但是由于通分（臺(tái)灣部編版教材叫“擴(kuò)分”）比較復(fù)雜，在異分母分?jǐn)?shù)中選擇了“顛倒相乘”這個(gè)較為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

在分?jǐn)?shù)除法計(jì)算中，“顛倒相乘”已是公認(rèn)的最簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。因此，異分母分?jǐn)?shù)的除法計(jì)算法則的形成應(yīng)包含以下幾個(gè)過(guò)程。

第一步，在同分母分?jǐn)?shù)的除法中引導(dǎo)學(xué)生，分散難點(diǎn)。在進(jìn)行分母是乘法算式的同分母分?jǐn)?shù)除法時(shí)，不用計(jì)算分母，直接將分子相除。

第二步，異分母分?jǐn)?shù)相除時(shí)，把分母通分成第一步乘法算式即可，這樣就能化成分子算式相除的形式。

第三步，在學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上，從異分母分?jǐn)?shù)除法中另辟蹊徑，最終從異分母分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化到同分母分?jǐn)?shù)除法，再轉(zhuǎn)化成“顛倒相乘”的方式。

引導(dǎo)框中的思路也可以這么理解：借助同分母分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成“顛倒相乘”，在講解例題后再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算法則。

從以上分析可以看出，臺(tái)灣部編版教材在概括計(jì)算法則的過(guò)程中有以下特點(diǎn)：

（1）注重學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。計(jì)算法則的概括多是提示性的而不是總結(jié)性的，是在例題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)。

（2）層層遞進(jìn)，適當(dāng)分散難點(diǎn)。在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)的除法”中遇到的難點(diǎn)也同樣分散在“同分母分?jǐn)?shù)除法”中，在探究計(jì)算法則的過(guò)程中每一步都環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)。

四、計(jì)算技能是如何形成的？

在分?jǐn)?shù)除法的算法總結(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生最終掌握“顛倒相乘”的計(jì)算法則，為了鞏固這一法則，形成計(jì)算技能，臺(tái)灣部編版教材安排了相應(yīng)的例題，目的是增加帶分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)容，以及溝通整個(gè)分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算關(guān)系。例題有三種不同的形式：帶分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分?jǐn)?shù)除以帶分?jǐn)?shù)。

緊跟著例題的練習(xí)題又包含了帶分?jǐn)?shù)除以帶分?jǐn)?shù)、同分母分?jǐn)?shù)相除、帶分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以帶分?jǐn)?shù)，目的是讓學(xué)生掌握帶分?jǐn)?shù)除法的同時(shí)達(dá)到“顛倒相乘”計(jì)算技能“自動(dòng)化”。

一個(gè)完整的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算教學(xué)的過(guò)程包含：讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義，并深入研究算理，在這個(gè)基礎(chǔ)上獲得系統(tǒng)條理的計(jì)算方法，概括出計(jì)算法則，最后通過(guò)練習(xí)達(dá)到計(jì)算技能的“自動(dòng)化”。

本文是基于對(duì)臺(tái)灣部編版教材有關(guān)“分?jǐn)?shù)除法”計(jì)算教學(xué)的編寫(xiě)的研究學(xué)習(xí)后的一點(diǎn)分析，希望對(duì)進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)和探尋學(xué)生的理解路徑能有一定的促進(jìn)作用。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.

[2] 王琳.海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的比較分析——以大陸“人教版”和臺(tái)灣“部編版”分?jǐn)?shù)部分為例[D].天津：天津師范大學(xué)，2012.

[3] 王利.中新兩國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容的比較研究[D].重慶：西南大學(xué)，2014.

[4] 鞏子坤.有理數(shù)運(yùn)算的理解水平及其教育學(xué)的策略研究[D].重慶：西南大學(xué)2006.

（責(zé)編 金 鈴）endprint