數(shù)學歸納法復習導航

邵紅

數(shù)學歸納法是高中數(shù)學的基本方法之一，“考綱”不僅要求我們掌握數(shù)學歸納法的原理及其步驟，還要求我們能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題和綜合性問題.尤其對于江蘇高考（理科）附加題中的最后一小題往往離不開數(shù)學歸納法.

那么，什么是數(shù)學歸納法？

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0（n0∈N*）時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫作數(shù)學歸納法.

那么，數(shù)學歸納法能幫助我們破解哪些問題呢？

一、利用數(shù)學歸納法證明等式

2.“歸納——猜想——證明”的主要題型

（1）已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和.

（2）由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在.

（3）給出一些簡單的命題（n=1，2，3，…），猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.

有道是“櫻桃好吃樹難栽”，數(shù)學歸納法證題“規(guī)則”不可忘！本文最后總結出5點數(shù)學歸納法的“精髓”，也算是給同學們的“友情提示”吧！

1.應用數(shù)學歸納法要運用“歸納假設”，沒有“歸納假設”的證明不是數(shù)學歸納法.

2.證明代數(shù)恒等式的關鍵是：第二步將式子轉化成與歸納假設的結構相同的形式——湊假設.然后利用歸納假設，經過恒等變形，得到結論所需要的形式——湊結論.

3.與自然數(shù)有關的不等式，有時也可用數(shù)學歸納法證明.在證明過程中，要運用不等式的性質.

4.因為證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，在由n=k成立，推導n=k+1不等式也成立時，過去講過的證明不等式的方法在此都可以使用.如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考證與原不等式等價的命題.

5.利用數(shù)學歸納法證明整除性問題時，第二步一般先將n=k+1代入原式，然后將式子作適當?shù)暮愕茸冃危瑴惓鰵w納假設，這是證題的關鍵和難點.endprint