求導(dǎo)之前“看三看”

常言說“三思而后行”，是說人們做事不能一時(shí)沖動(dòng)，行動(dòng)之前一定要考慮周全。解數(shù)學(xué)題，特別是解導(dǎo)數(shù)題時(shí)尤其要養(yǎng)成三思而后行的好習(xí)慣。解導(dǎo)數(shù)題時(shí)，求導(dǎo)是一個(gè)不可或缺的重要環(huán)節(jié)。導(dǎo)數(shù)題做多了，會(huì)發(fā)現(xiàn)幾乎所有題中求導(dǎo)是必不可少的一步或幾步。于是，一些學(xué)生看到導(dǎo)數(shù)題，往往不經(jīng)過仔細(xì)審題拿過來就求導(dǎo)，結(jié)果常常會(huì)遇到意想不到的各種阻力至無果而終。所以，解導(dǎo)數(shù)題求導(dǎo)前，我們要做到“求導(dǎo)之前看三看”。

一、看求導(dǎo)的目的

這也是人們做事行動(dòng)前首先要考慮的問題。解導(dǎo)數(shù)題求導(dǎo)之前也同樣，要先考慮清楚求導(dǎo)的目的是啥，是判定單調(diào)性還是證明不等關(guān)系還是求字母變量的取值范圍等等。明確了目的，就會(huì)有針對(duì)性的去求導(dǎo)，不至于亂求一氣而做無用功。

例1：求證：[ex≥x+1（x∈R）] （☆）

分析：這是一道證明不等式問題，由于這個(gè)不等式含有超越函數(shù)，所以用常規(guī)的不等式證明方法如分析法、綜合法、放縮法等不易解決，于是構(gòu)造函數(shù)[hx=ex-x-1（x∈R）]，用導(dǎo)數(shù)作為工具易得其證明。

證明：令[hx=ex-x-1（x∈R）]，求導(dǎo)前弄清目的是要證明此函數(shù)h（x）值不小于零，即是要證明此函數(shù)的最小值是零。于是，求導(dǎo)得[hx=ex-1]，令[hx=0]得x=0。

易知當(dāng)[x>0時(shí)，hx>0]，∴在區(qū)間（0，+∞）上，h（x）是單調(diào)增函數(shù)，同理當(dāng)[x<0時(shí)，hx<0]，∴在區(qū)間（-∞，0）上，h（x）是單調(diào)減函數(shù)，∴[h（x）極小值=h0=0，∴hx≥h0=0]，也就是[ex-x-1≥0]，即[ex≥x+1（x∈R）]證畢。

[反思提升]

若不等式改為：[ex>x+1（x≠0）] （1）

則證明如下：

證明：令[hx=ex-x-1（x≠0）]，求導(dǎo)得[hx=ex-1]，令[hx=0]得x=0。

易知當(dāng)[x>0時(shí)，hx>0]，∴在區(qū)間（0，+∞）上，h（x）是單調(diào)增函數(shù)，∴[hx>h0=0]，也就是[ex-x-1>0]，即[ex>x+1]，同理可證：當(dāng)[x<0]時(shí)，[ex>x+1]。

綜上，對(duì)[x≠0]，[ex>x+1]成立。

總結(jié)這類超越不等式證明的程序是：明確目的—構(gòu)造函數(shù)—求導(dǎo)—定號(hào)定區(qū)間—判定單調(diào)性（極值）—下結(jié)論。

對(duì)超越不等式：[ex>x+1（x≠0）] （1）

還可得到如下變式[e-x>1-x（x≠0）] （2）

對(duì)（1）式兩邊取自然對(duì)數(shù)得[x>ln （x+1）（x>0）] （3）

對(duì)（3）式用x-1換x得[x-1>lnx（x>0且x≠1）] （4）

上述例題求導(dǎo)的目標(biāo)是證明不等關(guān)系，有時(shí)則是利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性等問題，需要具體問題具體分析。總之求導(dǎo)之前明確目的是我們解導(dǎo)數(shù)題首要之選。

二、看欲求導(dǎo)函數(shù)解析式的形式特點(diǎn)

是說在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)之前，要看其解析式形式特點(diǎn)，若形式比較復(fù)雜時(shí)就不要輕易下手求導(dǎo)。如是分式時(shí)，分式求導(dǎo)后一般會(huì)越求越復(fù)雜，不經(jīng)分析拿過來就求導(dǎo)反而會(huì)使問題復(fù)雜化而無法得解。所以要仔細(xì)研究分式的特點(diǎn)，從中剔除影響因素（如分母），化繁為簡再構(gòu)造函數(shù)。

例2：（2011年高考數(shù)學(xué)全國課標(biāo)卷Ⅱ文科第21題）已知函數(shù)[fx=alnxx+1+bx]，曲線[y=fx]在點(diǎn)（1，[f1]）處的切線方程為[x+2y-3=0]。

（1）求a，b的值；（2）證明：當(dāng)[x>0，且x≠1]時(shí)，[fx>lnxx-1]。

解：（1）易得a=1，b=1。

（2）由（1）知[fx=lnxx+1+1x]，

設(shè)[gx=lnxx+1+1x-lnxx-1=x2-1-2xlnxx（x2-1）]，分析：到此就要考慮不能直接對(duì)[gx]求導(dǎo)，因會(huì)越求越復(fù)雜，于是剔除分母[x（x2-1）]，因?yàn)槠浞?hào)能夠通過討論確定，所以針對(duì)分子重新構(gòu)造新函數(shù)。

設(shè)[hx=x2-1-2xlnx]，則[h'x=2（x-1-lnx）]，由上述（4）式得，當(dāng)[x>0，且x≠1]時(shí)[h'x>0]，即[hx]為遞增函數(shù)。

∴當(dāng)x>1時(shí)，h（x）>h（1）=0，而[x（x2-1）]>0，所以g（x）>0，即[fx>lnxx-1]。

同理當(dāng)00，即[fx>lnxx-1]。綜上，當(dāng)[x>0，且x≠1]時(shí)，[fx>lnxx-1]。

三、看有沒有現(xiàn)成可用的結(jié)論

研究高考中一些導(dǎo)數(shù)壓軸題我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)身影很活躍，即上述超越不等式（☆）式及其變式（1）～（4）。那么解題時(shí)就要抓住這些結(jié)論，很好地運(yùn)用它，為解題找到突破口，或者簡化解題環(huán)節(jié)（如例2中（2）解用到上述（4）式）。

例3：（2013年高考數(shù)學(xué)全國課標(biāo)Ⅱ卷理科第21題）已知函數(shù)[fx=ex-ln （x+m）]，設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m的值，并討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0。

（1）解略。

（2）考慮到不等式中含有[ex]及以e為底的對(duì)數(shù)ln（x+m），聯(lián)想到[ex>x+1（x∈R） ]等有關(guān)不等式結(jié)論，于是有以下證法。

證明：考慮到（☆）式成立（證明略）

由m≤2，得1≥m-1

∴當(dāng)x>-m時(shí)，x+1≥x+m-1（1）。

由[ex]≥x+1（x∈R）（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”號(hào)）（☆）

得x-1≥lnx（x>0當(dāng)且僅當(dāng)x=1取“=”號(hào)）

∴當(dāng)x>-m時(shí)，有x+m-1≥ln（x+m）（當(dāng)x+m=1時(shí)取“=”號(hào)）（2）。

∴當(dāng)x>-m時(shí)，有x+1≥x+m-1≥ln（x+m），

由[ex]≥x+1，∴[ex]≥x+1≥x+m-1≥ln（x+m），

∵（1）式中當(dāng)m=2時(shí)取“=”號(hào)，

（2）式中當(dāng)x+m=1時(shí)取“=”號(hào)，若（1）與（2）式中“=”同時(shí)成立，則x=-1，而[ex=1e]，[1e]>0=0。

若（☆）與（1）式中“=”同時(shí)成立，則x=0，m=2，而1=1=1>ln2；

若（☆）與（2）式中“=”同時(shí)成立，則x=0，m=1，而1=1>0=0，

總之，[ex]≥x+1≥x+m-1≥ln（x+m）中“=”不能同時(shí)成立，

∴[ex]>ln（x+m），綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）>0。

作者簡介：

孫長卿，男，黨員，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士學(xué)位，曾獲省級(jí)教學(xué)能手、市級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人稱號(hào)等，多年來不斷撰寫論文并發(fā)表或獲獎(jiǎng)。