基于范希爾理論的立體幾何教學(xué)研究

馮凱

【內(nèi)容摘要】范希爾理論將學(xué)生幾何思維水平劃分為5個(gè)層次，與《課程標(biāo)準(zhǔn)》立體幾何內(nèi)容安排思想相符，對(duì)立體幾何教學(xué)有很高的指導(dǎo)意義。結(jié)合范希爾理論及其特點(diǎn)，教師要重視立體幾何教學(xué)進(jìn)階性，不同層次語言符號(hào)使用，學(xué)習(xí)過程中思維水平間過度，確保教學(xué)與學(xué)習(xí)思維水平匹配。

【關(guān)鍵詞】范希爾理論 立體幾何 課程標(biāo)準(zhǔn) 幾何思維水平 教學(xué)策略

立體幾何高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的學(xué)生要掌握的重要模塊，高考重要考點(diǎn)。范希爾理論對(duì)幾何思維和幾何教學(xué)等方面的研究較為深刻，被許多國家作為幾何教學(xué)的重要理論參考與依據(jù)，但我國在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用尚且不夠廣泛深入，所以值得我們加以關(guān)注，并結(jié)合實(shí)際運(yùn)用，以提高幾何教學(xué)效率與效果。

一、范希爾理論

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦通過教授高中課程實(shí)踐，探索教學(xué)規(guī)律，指出學(xué)生幾何思維的五個(gè)水平以及與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段。

首先層次0：視覺是能辨認(rèn)圖形，能運(yùn)用幾何構(gòu)圖元素畫圖，簡(jiǎn)單描述幾何圖形，解決關(guān)于形狀的幾何問題，但不能運(yùn)用圖形特征或要素概括論述圖形。層次1：分析是能根據(jù)圖形組成要素與特征，分析圖形特性，比較幾何圖形，解決幾何問題，但無法了解圖形定義，解釋性質(zhì)的關(guān)聯(lián)。層次2：非形式化的演繹是能夠了解圖形以及其性質(zhì)間的關(guān)系，進(jìn)行非形式化地推論，探索圖形的內(nèi)在屬性及其關(guān)系，使用定義、公式、性質(zhì)進(jìn)行演繹推論，但不能靈活的運(yùn)用定理進(jìn)行推論和了解證明的重要性。層次3：形式的演繹是了解證明的重要性，理解證明條件的充分必要性，發(fā)現(xiàn)定理間的聯(lián)系，嘗試用演繹方式證明猜測(cè)。層次4：嚴(yán)密性是在不同的公理系統(tǒng)下建立對(duì)應(yīng)的定理網(wǎng)絡(luò)[1]。

教學(xué)階段分別是1：學(xué)前咨詢，教師通過交流幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)的課題；2：引導(dǎo)定向，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)方向，熟悉結(jié)構(gòu)；3：闡明，形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)；4：自由定向，學(xué)生自由探索，明確學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系；5：整合，教師對(duì)教授的知識(shí)做全面的評(píng)述，幫助學(xué)生形成新的思維領(lǐng)域。

二、范希爾理論在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中體現(xiàn)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》立體幾何內(nèi)容安排遵循從整體到一般的原則[2]，范希爾理論的次序性同樣體現(xiàn)這要求，各層次依次蘊(yùn)含在其中。認(rèn)識(shí)大量空間圖形，主要包括柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體為層次0；了解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)繪畫三視圖、直觀圖，運(yùn)用于實(shí)物視圖繪畫為層次1；了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積公式為層次2；認(rèn)識(shí)理解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及定義，了解部分公理和定理；證明空間位置關(guān)系簡(jiǎn)單命題為層次3。

三、范希爾理論指導(dǎo)下的立體幾何教學(xué)策略

立體幾何教學(xué)內(nèi)容編排與范希爾理論的思想有異曲同工之妙，將范希爾理論用于指導(dǎo)立體幾何教學(xué)是有意義的。結(jié)合理論的進(jìn)階性、語言性、不連續(xù)性、不適配性應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)方面。

1.重視立體幾何教學(xué)進(jìn)階性

學(xué)生的幾何思維水平的提升是離不開教學(xué)活動(dòng)的幫助的，而且，不存在某種教學(xué)方法能使學(xué)生的幾何思維水平跳過某個(gè)層次達(dá)到更高的層次。教師切莫想一蹴而就使學(xué)生由上一個(gè)水平進(jìn)入下一個(gè)水平。如在認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征前，不能省去利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形這一步驟。正是有了這一步驟的鋪墊，學(xué)生更容易自主的去發(fā)現(xiàn)不同幾何體的不同特征，雖然模糊不明確、零散不系統(tǒng)，但接下來教師的引導(dǎo)、歸納、總結(jié)就顯水到渠成，不那么突兀。學(xué)生輕松順利地從層次0進(jìn)入層次1，而不是疲于應(yīng)對(duì)地跳過層次0直接進(jìn)入層次1。前者是學(xué)生作為主體在教師的主導(dǎo)下按照認(rèn)識(shí)規(guī)律探究、學(xué)習(xí)、掌握立體幾何知識(shí)內(nèi)容，后者是學(xué)生在教師完全掌控下灌輸式地接受知識(shí)內(nèi)容，雖表面上達(dá)到新水平，但不具備與之對(duì)應(yīng)的能力。所以，教師應(yīng)做好引導(dǎo)鋪墊工作，合理設(shè)置問題情景進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)，使學(xué)生的幾何思維水平一步步地得到有效的提升。

2.重視不同層次語言符號(hào)使用

在不同的水平層次，學(xué)生會(huì)使用不完全相同的語言符號(hào)表達(dá)。當(dāng)學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)時(shí)，表達(dá)必然是具體化的，例如兩條直線相交，但教學(xué)內(nèi)容深入抽象后，對(duì)相交描述更側(cè)重于它們有唯一的共同點(diǎn)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在與文字語言的對(duì)照中逐漸了解、掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行抽象表達(dá)，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的過程加深學(xué)生對(duì)立體幾何本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。但數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)使用，必須依據(jù)學(xué)生立體幾何學(xué)習(xí)水平，過早的學(xué)習(xí)只會(huì)違背從具體到抽象原則，造成各層次語言使用的混亂，不利于學(xué)生幾何思維水平的提升。

3.重視學(xué)習(xí)過程中思維水平間過度

各個(gè)水平間并沒有平滑的過度，而是一個(gè)層次跳躍到另一個(gè)層次。在立體幾何教學(xué)過程中，隨著內(nèi)容的從整體向具體空間要素的過度，學(xué)生必然要經(jīng)歷思維上的危機(jī)，可感覺到不知所措，這是達(dá)到一個(gè)新層次所必須經(jīng)歷的，也是教師幫助學(xué)生去“知所措”好時(shí)機(jī)。在這個(gè)階段不僅需要的是練習(xí)，還需要教師做好總結(jié)歸納的工作，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)框架，從細(xì)節(jié)上去理解定義定理的內(nèi)涵與運(yùn)用，溫故而知新。

4.確保教學(xué)與學(xué)習(xí)思維水平匹配

要取得良好的教學(xué)效果，學(xué)生的思維與教師的教學(xué)需要處于同一個(gè)水平層次，否則不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。在立體幾何教學(xué)活動(dòng)過程中，教師需要提前了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，對(duì)不同的班級(jí)選擇合適的立體幾何教學(xué)知識(shí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)與學(xué)生當(dāng)前立體幾何水平相匹配的教學(xué)活動(dòng)。在同一個(gè)班級(jí)中，教師應(yīng)當(dāng)充分考慮不同學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不同，學(xué)習(xí)能力不同，學(xué)習(xí)狀態(tài)不同，并在教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)一堂課的教學(xué)活動(dòng)遵循因材施教的原則，讓每個(gè)同學(xué)都能參與到教學(xué)活動(dòng)中來，從而充分挖掘自我潛力和展示自我能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 鮑建生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程.上海：上海教育出版社，2009.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003.endprint