有界導(dǎo)出范疇的描述

曹 苗, 楊曉燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

Abel范疇上對(duì)象的有界導(dǎo)出范疇是一類重要的三角范疇. 設(shè)A是一個(gè)有足夠投射對(duì)象的Abel范疇, 文獻(xiàn)[1]給出了A上對(duì)象的有界導(dǎo)出范疇Db(A )可描述為某個(gè)關(guān)于投射對(duì)象的同倫范疇, 證明了三角等價(jià)

Db(A )?K-,b(P ),

(1)

其中： P為A的所有投射對(duì)象做成的全子范疇；K-,b(P )表示P上有有限多非零上同調(diào)的上有界復(fù)形的同倫范疇. 文獻(xiàn)[2]介紹了有限生成模的Gorenstein維數(shù)(簡(jiǎn)稱G-維數(shù)). G-維數(shù)為0的?？梢暈榻粨QNoether環(huán)上有限生成投射模和交換Gorenstein局部環(huán)上極大Cohen-Macaulay模的共同推廣. 文獻(xiàn)[3]將G-維數(shù)為0的模(無(wú)論是否有限生成)稱為Gorenstein投射模, 并對(duì)偶地定義了Gorenstein內(nèi)射模. Gorenstein同調(diào)代數(shù)用Gorenstein投射(或Gorenstein內(nèi)射)模代替了通常的投射(或內(nèi)射)模. 文獻(xiàn)[4]提出了一個(gè)關(guān)于研究Gorenstein同調(diào)代數(shù)的假設(shè): 經(jīng)典同調(diào)代數(shù)的每個(gè)結(jié)果在Gorenstein同調(diào)代數(shù)中都有相應(yīng)的結(jié)果; 文獻(xiàn)[5]借助關(guān)于Abel范疇A上Gorenstein投射對(duì)象的同倫范疇的某個(gè)商三角范疇, 將式(1)推廣到Gorenstein同調(diào)代數(shù)的框架下, 即當(dāng)Gorenstein投射對(duì)象所做成的子范疇GP是A的預(yù)覆蓋類時(shí), 證明了三角等價(jià)

Db(A )?K-,gpb(GP )/Kb,ac(GP ),

(2)

這里Kb,ac(GP )為GP上的有界無(wú)環(huán)復(fù)形的同倫范疇,K-,gpb(GP )表示GP上滿足存在整數(shù)N, 對(duì)任意的n≤N與E∈GP, 使得HnHomA(E,G)=0的上有界復(fù)形的同倫范疇.

本文將式(1)與式(2)推廣到更一般的情形, 證明有界導(dǎo)出范疇Db(A )可被描述為A某個(gè)預(yù)覆蓋類X 對(duì)象的同倫范疇的三角商范疇.

1 預(yù)備知識(shí)

令A(yù)表示一個(gè)有足夠投射對(duì)象的Abel范疇. 記P =P (A )為A的所有投射對(duì)象做成的全子范疇. 三角范疇C的三角子范疇D是全子范疇, 且關(guān)于同構(gòu)封閉. 對(duì)三角范疇間的三角函子F: A→B, 記ImF為由F(X)的同構(gòu)對(duì)象組成的B的全子范疇, 其中X∈A. 如果F是滿的, 則ImF是三角子范疇.

1.1 預(yù)覆蓋類

設(shè)C是加法范疇A的全子范疇,X∈X .X的一個(gè)C-預(yù)覆蓋是指一個(gè)態(tài)射f:C→X, 其中C∈C, 使得對(duì)任意的C′∈C, 映射HomA(C′,f): HomA(C′,C)→HomA(C′,X)均為滿射. 如果A中的每個(gè)對(duì)象X都有一個(gè)C-預(yù)覆蓋, 則稱C是A的一個(gè)預(yù)覆蓋類.

1.2 復(fù)形

本文簡(jiǎn)略地將一個(gè)由A中對(duì)象構(gòu)成的復(fù)形

表示為X. 定義復(fù)形X中的第n個(gè)同調(diào)對(duì)象為Hn(X)=Kerdn/Imdn-1. 如果對(duì)所有的n∈,Hn(X)=0, 則稱復(fù)形X為零調(diào)(或正合)的. 如果只存在有限多個(gè)n, 使得Xn≠0, 則稱復(fù)形X為有界的; 如果當(dāng)n充分大時(shí),Xn=0, 則稱X為上有界的. 類似地, 可定義下有界復(fù)形.

設(shè)f:X→Y是復(fù)形同態(tài), 則f誘導(dǎo)出一簇同態(tài)Hi(f):Hi(X)→Hi(Y). 如果對(duì)任意i∈,Hi(f)是同構(gòu), 則稱f是擬同構(gòu). 由復(fù)形同態(tài)f:X→Y可構(gòu)造一個(gè)新的復(fù)形Cone(f), 稱為f的映射錐, 其第i層次的對(duì)象定義為Cone(f)i=Yi⊕Xi-1, 邊緣算子定義為復(fù)形同態(tài)f:X→Y是擬同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)其映射錐Cone(f)是零調(diào)復(fù)形.

為方便, 下面列出本文用到的一些范疇:Kb(A )表示A上有界復(fù)形的同倫范疇;Kb,ac(A )表示A上有界正合復(fù)形的同倫范疇;K-(A )表示A上上有界復(fù)形的同倫范疇;K-,ac(A )表示A上上有界正合復(fù)形的同倫范疇;Db(A )表示A上有界復(fù)形的導(dǎo)出范疇, 即Verdier商Kb(A )/Kb,ac(A );D-(A )表示A上上有界復(fù)形的導(dǎo)出范疇, 即Verdier商K-(A )/K-,ac(A );Db(R)表示R-模范疇的有界導(dǎo)出范疇.

2 主要結(jié)果

令

K-,X b(X )={G∈K-(X )|存在整數(shù)N, 使得HnHomA(E,G)=0, ?n≤N, ?E∈X }.

易見,K-,X b(X )是K-(X )的三角子范疇, 對(duì)每個(gè)X∈K-,X b(X ), 當(dāng)n充分小時(shí), 有Hn(X)=0. 顯然Kb,ac(X )是Kb(X)的三角子范疇,Kb,ac(X )是K-,X b(X )的三角子范疇. 從而有Verdier商K-,X b(X )/Kb,ac(X )和Kb(X )/Kb,ac(X ).

引理1設(shè)X是A的子范疇, 使得X關(guān)于滿同態(tài)的核與直和項(xiàng)封閉. 若(X,d)是K-,X b(X )中的正合復(fù)形, 則X∈Kb,ac(X ).

證明: 因?yàn)樽臃懂燲關(guān)于滿同態(tài)的核封閉, 且X是正合的上有界復(fù)形, 所以對(duì)任意i∈, Imdi∈X. 另一方面, 由于X∈K-,X b(X ), 從而存在整數(shù)N, 使得對(duì)任意n≤N與E∈X,HnHomA(E,X)=0. 特別地, 對(duì)任意滿足n≤N的整數(shù)n, 有HnHomA(Imdn,X)=0. 即典范滿態(tài)射是可裂的. 從而X同倫等價(jià)于復(fù)形X′∈Kb,ac(X ), 這里

證畢.

引理2設(shè)X是A的子范疇. 假設(shè)P ?X且X是A的一個(gè)預(yù)覆蓋類, 使得X關(guān)于滿同態(tài)的核及直和項(xiàng)封閉. 若(P,d)∈K-,b(P ), 則:

1) 存在擬同構(gòu)g:P→G, 其中G∈K-,X b(X );

2) 擬同構(gòu)g具有如下性質(zhì): 若還有鏈映射f:P→G′, 其中G′∈K-,X b(X ), 則f可通過g分解, 即存在鏈映射h:G→G′, 使得在同倫范疇中有f=hg.

證明: 1) 因?yàn)镻是同調(diào)有界復(fù)形, 不妨設(shè)Hn(P)=0, ?n≤N. 取KerdN滿的X 預(yù)覆蓋GN-1→KerdN. 根據(jù)文獻(xiàn)[6], 反復(fù)取滿的X預(yù)覆蓋, 有交換圖:

從而有正合列

…→GN-2→GN-1→KerdN→0.

將其與序列

0→KerdN→PN→PN+1→…

拼在一起可得復(fù)形

G∶=…→GN-2→GN-1→PN→PN+1→….

由X 預(yù)覆蓋的定義知, 對(duì)任意n≤N及E∈X,HnHomA(E,G)=0, 所以G∈K-,X b(X ). 分別取Y=PN-1,PN-2,…, 由Gn(n

因?yàn)閷?duì)任意的n≤N,Hn(P)=0=Hn(G)=0, 所以g是擬同構(gòu).

2) 取正整數(shù)N, 滿足對(duì)任意n≤N及Y∈X,

Hn(HomA(Y,G′))=0=Hn(P).

由1)用HomA(GN-1,-), HomA(GN-2,-),…作用到G′上有鏈映射h:

另一方面, 有鏈映射g:

若l≥N, 則fl-hlgl=0. 若l=N-1, 則由HN-1(G′)=0可知,fN-1-hN-1gN-1通過G′N-2→G′N-1分解. 歸納可見, 鏈映射f-gh是零倫的:

從而在同倫范疇中有f=hg. 證畢.

引理3[7]將非零對(duì)象變?yōu)榉橇銓?duì)象的滿三角函子是忠實(shí)的.

定理1設(shè)A是Abel范疇. 若X是A包含所有投射對(duì)象的一個(gè)預(yù)覆蓋類, 且X關(guān)于滿同態(tài)的核及直和項(xiàng)封閉, 則有三角等價(jià)

Db(A )?K-,X b(X )/Kb,ac(X ).

Q:K-(A )→D-(A )=K-(A )/K-,ac(A )

的合成. 由于K-,X b(X )中的復(fù)形只有有限多個(gè)非零的上同調(diào)群, 所以Imρ包含在Db(A )中. 因?yàn)棣?Kb,ac(X ))=0, 所以ρ誘導(dǎo)出三角函子

由引理2中1)知,

?K-,b(P ),

設(shè)G1,G2∈K-,X b(X ),

這里s:X?G1是擬同構(gòu)且X∈K-(A ), 而α:X?G2是K-(A )中的態(tài)射, 則存在擬同構(gòu)t:P→X, 使得P∈K-(P ). 因?yàn)閟和t是擬同構(gòu), 且G1∈K-,X b(X ), 所以P∈K-,b(P ). 故存在交換圖:

由引理2中2)得交換圖：

其中G∈K-,X b(X ),g:P→G是擬同構(gòu). 而l也是擬同構(gòu), 故映射錐Cone(l)是零調(diào)復(fù)形. 因?yàn)镵-,X b(X )是K-(A )的三角子范疇, 所以Cone(l)∈K-,X b(X ). 由引理1得Cone(l)∈Kb,ac(X ). 從而證明了

3 應(yīng) 用

下面給出兩個(gè)應(yīng)用, 證明模范疇的有界導(dǎo)出范疇可用Gorenstein平坦模和余撓對(duì)描述. 假設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán),R-Mod表示左R-模范疇.

3.1 Gorenstein平坦模

如果存在一個(gè)完全平坦分解

F=…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?Im(F0→F0), 則稱一個(gè)左R-模M是Gorenstein平坦的[8], 用GF表示所有Gorenstein平坦左R-模的類.

如果Gorenstein平坦R-模類關(guān)于擴(kuò)張封閉, 則稱一個(gè)環(huán)是GF-封閉環(huán)[9], 即如果0→X→Y→Z→0是R模的短正合列, 其中X和Z都是Gorenstein平坦R-模, 則Y也是Gorenstein平坦的. 易見, GF包含了所有的投射模. 其次, 當(dāng)R是GF-封閉環(huán)時(shí), GF關(guān)于滿同態(tài)的核及直和項(xiàng)封閉. 最后由文獻(xiàn)[10]知, 任意的環(huán)上GF是一個(gè)預(yù)覆蓋類. 因此由定理1可得以下推論:

推論1設(shè)R是GF-封閉環(huán), 則存在三角等價(jià)

Db(R)?K-,GF b(GF )/Kb,ac(GF ).

3.2 完備遺傳的余撓對(duì)

根據(jù)文獻(xiàn)[11], 如果A=⊥B, B=A⊥, 其中：

⊥B={B∈R-Mod|Ext1(B,B′)=0, ?B′∈B}；

A⊥={A∈R-Mod|Ext1(A,A′)=0, ?A′∈A }.

則R-模中的對(duì)子(A,B)稱為余撓對(duì). 如果任意的左R-模N有短正合列0→B→A→N→0與0→N→B′→A′→0, 其中A,A′∈A,B,B′∈B, 則稱一個(gè)余撓對(duì)(A,B)為完備的. 如果A關(guān)于滿同態(tài)的核封閉, B關(guān)于單同態(tài)的余核封閉, 則稱一個(gè)余撓對(duì)(A,B)為遺傳的.

設(shè)(A,B)是R-模中完備遺傳的余撓對(duì). 顯然, A包含了所有投射模類, 且A關(guān)于滿同態(tài)的核封閉. 由于(A,B)是完備的, 所以A是一個(gè)預(yù)覆蓋類. 從而由定理1可得以下推論：

推論2設(shè)(A,B)是完備遺傳的余撓對(duì), 則存在三角等價(jià)

Db(R)?K-,A b(A )/Kb,ac(A ).

[1] GAO Nan, ZHANG Pu. Gorenstein Derived Categories [J]. Journal of Algebra, 2010, 323(7): 2041-2057.

[2] Auslander M, Bridger M. Stable Module Theory [M]. Providence, RL: American Mathematical Society, 1969.

[3] Enochs E E, Jenda O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules [J]. Mathematische Zeitschrift, 1995, 220(1): 611-633.

[4] Holm H. Gorenstein Homological Algebra [D]. Copenhagen: University of Copenhagen, 2004.

[5] KONG Fan, ZHANG Pu. From CM-Finite to CM-Free [J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2016, 220(2): 782-801.

[6] Sather-Wagstaff S, Sharif T, White D. Gorenstein Cohomology in Abelian Categories [J]. Journal of Mathematics of Kyoto University, 2007, 48(3): 571-596.

[7] Rickard J. Morita Theory for Derived Categories [J]. Journal of the London Mathematical Society, 1989, s2-39(3): 436-456.

[8] Holm H. Gorenstein Homological Dimensions [J]. Journal of Pure Applied Algebra, 2004, 189(1/2/3): 167-193.

[9] Bennis D. Rings Over Which the Class of Gorenstein Flat Modules Is Closed under Extensions [J]. Communications in Algebra, 2009, 37(3): 855-868.

[10] YANG Gang, LIANG Li. All Modules Have Gorenstein Flat Precovers [J]. Communications in Algebra, 2014, 42(7): 3078-3085.

[11] Enochs E E, Estrada S, Iacob A. Cotorsion Pairs, Model Structures and Homotopy Categories [J]. Houston Journal of Mathematics, 2014, 40(1): 43-61.