經(jīng)歷“生成”過程，讓新知自然“發(fā)生”——以《數(shù)系的擴(kuò)充》為例談概念課教學(xué)

江蘇省南京市第十二中學(xué) 韓 靜

概念課的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，而“概念不清”也是很多教師在進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí)對學(xué)生最多的評價(jià)，究其原因，很多是因?yàn)樵谛率谡n時(shí)教師本身忽視了概念課的教學(xué)，對于概念一帶而過，課堂上重練習(xí)輕理論。目前有一種新課模式就是：概念5分鐘，例題、練習(xí)一節(jié)課，這樣的課堂短期內(nèi)可能學(xué)生做題效果還不錯(cuò)，但對于學(xué)生數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)的培養(yǎng)是極其不利的。本文結(jié)合《數(shù)系的擴(kuò)充》這一課題，談?wù)勥@節(jié)課的設(shè)計(jì)及感想。

一、背景分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提道：在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

本節(jié)是蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2第三章第一節(jié)，復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)的概念的最后一次擴(kuò)充。本節(jié)課是該章的起始課、基礎(chǔ)課，是一節(jié)典型的概念課，在教學(xué)中起著承上啟下的作用，通過讓學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過程，能使學(xué)生對數(shù)的概念有一個(gè)初步完整的認(rèn)識，從而體會到虛數(shù)引入的必要性和合理性，學(xué)生通過理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為后續(xù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、設(shè)計(jì)思路

1．問題情境

從一個(gè)簡單的問題“求兩個(gè)數(shù)使得它們的和為10，積為21”開始，然后把“積改為22,再改成40”，將意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹遇到的問題進(jìn)行改編，用熟悉的解方程問題作為情境，從直接看出根到用求根公式再到Δ＜0，方程無實(shí)根，讓學(xué)生體會數(shù)的概念的擴(kuò)充過程，感受到現(xiàn)有的數(shù)不夠用了，形成認(rèn)知沖突，意識到實(shí)數(shù)系需要擴(kuò)充，充分激發(fā)其對研究新知識的欲望。

2．虛數(shù)單位i的引入

虛數(shù)單位i的引入是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，這也是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中一次重要的“發(fā)明”，而要突破這一難點(diǎn)，就需要學(xué)生回顧之前每一次數(shù)系擴(kuò)充的過程，并且認(rèn)識到在數(shù)系擴(kuò)充過程中所遵循的一般性原則，然后通過類比，才能夠讓i的出現(xiàn)水到渠成。

結(jié)合以上解方程環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的數(shù)，讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過的數(shù)集有哪些，圍繞三個(gè)問題：“1.每一次數(shù)系的擴(kuò)充是怎么做的？2.數(shù)系擴(kuò)充的原因是什么？3.引入新數(shù)后，對它的運(yùn)算又是如何規(guī)定的？”進(jìn)行小組討論并匯報(bào)。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回憶學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)集，在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生再次建構(gòu)數(shù)系的擴(kuò)充過程，這是本節(jié)課的生長點(diǎn)。組織學(xué)生小組討論，對前幾次數(shù)系的擴(kuò)充進(jìn)行梳理，讓學(xué)生感受到數(shù)系擴(kuò)充既是數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的需要，也是社會實(shí)際的需求，讓學(xué)生體會數(shù)的概念發(fā)展的合理性和必需性?？偨Y(jié)概括出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則：（1）引入新數(shù)；（2）在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來的數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾，為下面數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充做好理論準(zhǔn)備。

3．建構(gòu)數(shù)學(xué)

通過問題：“在引入i后，它在原來的實(shí)數(shù)集中是孤家寡人啊，要怎樣讓它去跟實(shí)數(shù)建立起關(guān)系呢？”再次類比每次數(shù)系擴(kuò)充的原則，得到對虛數(shù)單位的規(guī)定：①i2=-1；②實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立。有了這個(gè)規(guī)定，可以讓學(xué)生自己寫出一些新的數(shù)，鼓勵其多用原來的數(shù)和i進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，最后把這些數(shù)從特殊到一般進(jìn)行歸納，得到復(fù)數(shù)的一般形式。

在這個(gè)過程中，學(xué)生一開始會比較“保守”，只會寫出如“2i，3-i，5+i…”這樣的數(shù)，教師要耐心等待，也可以適時(shí)地自己寫出一個(gè)數(shù)，學(xué)生的思路一旦打開后，就不難寫出更加豐富多彩的數(shù)來了，如這時(shí)候，老師可以引導(dǎo)其總結(jié)以上數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)然對于學(xué)生寫出的一些“特別”的數(shù)，可以適當(dāng)化簡，有的還需要進(jìn)行解釋，如“l(fā)ni”，我們高中數(shù)學(xué)階段研究的對數(shù)中，真數(shù)都是大于0的實(shí)數(shù)，當(dāng)學(xué)生親身體驗(yàn)過這一過程并把心中的疑惑消除后，復(fù)數(shù)的一般形式a+bi（a,b∈R）便會很容易地從特殊中提取出來了，這時(shí)候再給出實(shí)部、虛部的定義，復(fù)數(shù)的分類，最后再進(jìn)行一些例題和練習(xí)的訓(xùn)練來鞏固對概念的理解和辨析。

三、課后反思

本節(jié)課是很多公開課以及賽課常選的課題，這節(jié)課的難點(diǎn)是在虛數(shù)i的引入這個(gè)環(huán)節(jié)上。

教材中給出了兩條平行的線索來敘述數(shù)系的擴(kuò)充過程：1.社會發(fā)展的需要；2.數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾驅(qū)使。在公開課中常見的引入是兩條線索齊頭并進(jìn)，一邊從社會發(fā)展、生產(chǎn)的需要來看，人們是怎樣經(jīng)歷從N→Z→Q→R的擴(kuò)充，一邊再由數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，如方程x+4=0在自然數(shù)集中無解，為此引入負(fù)數(shù)，方程3x-2=0在整數(shù)集中無解，為此引入分?jǐn)?shù)，方程x2-2=0在有理數(shù)集中無解，為此引入無理數(shù)，最終將數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集。這樣的兩條線均衡用力的方式，會削弱情境的價(jià)值，不能突出主題，讓學(xué)生有種被推著走的感覺。

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，所以，用問題串的方式來作為概念課引入的情境設(shè)置不失為一個(gè)好的模式。認(rèn)真重視概念課的教學(xué)，讓學(xué)生多經(jīng)歷、多感悟，參與“再創(chuàng)造”，才能使知識的獲得更加有效和長效。