解直角三角形的類型和應(yīng)用

江西省贛州市南康區(qū)連城初中 曾凡廷

解直角三角形是空間與圖形中的重點(diǎn)內(nèi)容，它是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長(zhǎng)、角度和面積以及相關(guān)的幾何圖形的數(shù)量，同時(shí)是解決實(shí)際生活問題中的重要數(shù)學(xué)模型。中考數(shù)學(xué)試題主要是考查學(xué)生對(duì)解直角三角形知識(shí)的理解以及解決實(shí)際生活問題的能力，在中考試題中占有較大的比例（約10%左右）。

一、解直角三角形的基本類型和方法

要解直角三角形，在給出的兩個(gè)元素中（除直角外），至少有一個(gè)是邊。解直角三角形可分為兩大類，其一為已知一條邊和一個(gè)銳角，其二為已知兩條邊。四種基本類型和解法列表如下：

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此類題型在中考試題中主要是以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查特殊角的三角函數(shù)值及三角函數(shù)定義。

例1 如圖1，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，且∠A＝30°，AE＝2，則AB=___。

解析：所求是Rt△ABC的斜邊，但在Rt△ABC中只知一個(gè)銳角A＝30°，暫不可解。先在Rt△ADE中，已知一直角邊及一銳角可求得：AD=AE÷cos30°=2÷cos30°，然后在Rt△ACD中求出最后求出AB。

圖1

說明：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形。對(duì)于這樣的問題，先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使問題獲得解。

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn),若，求AD的長(zhǎng)。

圖2

說明：解直角三角形時(shí)，直角三角形中有關(guān)圖形之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問題，應(yīng)注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，能夠建立已知與未知的聯(lián)系，然后找到解決問題的突破口。

二、解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

此類題型在中考試題中主要是以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題，重點(diǎn)考查由直角三角形中的有關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力和以三角函數(shù)為題設(shè)條件的三角型綜合題。

利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題，主要包括度量工件、測(cè)量距離、工程技術(shù)等方面，而解決問題的關(guān)鍵是要從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，找出數(shù)學(xué)模型（解直角三角形），使實(shí)際問題得到解決。

例3 如圖3，某勘測(cè)隊(duì)要測(cè)一座山的高度，先在山腳（點(diǎn)B）測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?6°，沿傾斜角為20°的山坡前進(jìn)600米（點(diǎn)D），又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0°，求山的高度（精確到0.1米，可用計(jì)算器）。

圖3

分析：如圖可知，AC為山高，BD為山坡，∠DBC＝20°，∠ABC＝36°（仰角為視線與水平線的夾角），BD＝600米，∠ADE＝60°，要直接在Rt△ABC中求BC條件不夠，必須設(shè)法先求出AB，這就需要構(gòu)造新的直角三角形。

解：過D作DF⊥AB于F，在Rt△BDF中，∠DBF＝36°-20°＝16°，

∴BF＝BD·cos∠DBF≈600×0.9613＝576.76（米），DF＝BD·sin∠DBF≈600×0.2756＝165.38（米）。

在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°-36°＝24°，∴AF＝DF÷tan∠DAF≈165.38÷0.4452＝371.44（米）。

∴AB＝AF＋BF＝371.44＋ 576.75＝948.19（米）。

在Rt△ABC中，AC＝AB·sin∠ABC≈948.19×0.5888＝557.3（米）。

答：山高為 557.3米。

說明：應(yīng)用問題的題型千變?nèi)f化，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，從而得解（必要時(shí)應(yīng)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形）。

說明：

1.測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度的問題，通常是根據(jù)兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，列出含有被測(cè)物體高度的方程；

2.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度的問題，常采用如下模型和公式：如圖4，已知CE＝a，CD＝b，∠ACE＝α，則AB＝AE＋b＝a·tanα＋b。

圖4