高觀點下高中數(shù)學(xué)解題之極限思想

林美琳

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中使學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想進行解題是幫助學(xué)生順利解決數(shù)學(xué)問題的一個有效的方法。對于高中階段的某些數(shù)學(xué)問題，使用極限思想來解決能使解題過程更加清晰明了。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用極限思想進行教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一。

關(guān)鍵詞：極限思想 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)

極限思想不僅是一種應(yīng)用在解題上的方法，同時還是一種重要的思維方式，在高中數(shù)學(xué)階段占據(jù)著重要的地位。極限思想是微積分的基本思想，在新課程改革中將微積分放在了高中數(shù)學(xué)課程的重要位置上，并且在內(nèi)容上都體現(xiàn)出了極限思想這一數(shù)學(xué)思想，說明了極限思想在高中數(shù)學(xué)階段的重要性。本文從極限的定義出發(fā)，闡述了極限思想的內(nèi)涵，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容，介紹了極限思想在數(shù)列、函數(shù)和解析幾何中的應(yīng)用，具體講解在其解題過程中是怎樣運用極限思想的。[1]

一、極限與極限思想解讀

1.極限的定義

極限的定義在人教A版教材中并沒有直接給出，只在選修課本中定義導(dǎo)數(shù)時用到了極限符號，但極限思想的應(yīng)用卻經(jīng)常要用到?？紤]到高中學(xué)生在對形式化極限概念上存在認知困難的情況，我們首先來了解一下函數(shù)的極限：當(dāng)x趨近于無窮時，函數(shù)f（x）存在一個無限接近的值，公式表示為x∞，f（x）=a，a就是函數(shù)f（x）的極限。數(shù)列的極限定義與極限定義與函數(shù)類似：在無窮數(shù)列{}中，若n趨近于正無窮時，的項也無限地與某一個常數(shù)接近，即|-a|近似于0，那么就說數(shù)列的極限為a。

通過上面極限在函數(shù)與數(shù)列中的兩種定于我們可以看出極限就是某一個變量在變大或者變小的過程中逐漸向某一個確定的數(shù)值移動、卻不能得到的過程，可以看出極限是一種對過程變化的描述。了解極限的定義是正確使用極限思想的基礎(chǔ)。[2]

2.極限思想的內(nèi)涵

極限思想是人們很早就在使用的一種數(shù)學(xué)思想，在過去的“窮竭法”和“二分法”中都蘊含著極限思想。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用極限思想。更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生具備使用極限思想進行思考和研究問題的能力，通過問題中的信息構(gòu)造出對應(yīng)的數(shù)列或者函數(shù)f（x），從而根據(jù)定義解決問題。

極限思想的科學(xué)使用可以幫助學(xué)生用發(fā)展的眼光看待問題和處理學(xué)習(xí)、現(xiàn)實中的問題，幫助學(xué)生完成思想上的跨越，對提升學(xué)生解決實際問題的能力具有十分重要的幫助。當(dāng)學(xué)生在面對某些難以解決的實際問題時，可以借鑒數(shù)學(xué)思想中的極限思想方法，將原本局限在一個點上的問題擴展到一個區(qū)間上進行研究，這個時候再回到起始的位置來研究這個問題，可以取得更好的效果。

二、極限思想的具體運用

1.極限思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是現(xiàn)如今高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要的組成部分，同時也是讓很多教師和學(xué)生困擾的一個內(nèi)容。在數(shù)列的運算過程中，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)無從下手的情況，而極限思想其實可以為解決這些問題提供很好的思路。下面，我們使用一些例題來探討極限思想在數(shù)列中的實際應(yīng)用范圍。

例題1：（2010年全國卷）已知數(shù)列{}中，=1，=c-

（1）設(shè)c=，=，求數(shù)列{}的通項公式

（2）求使不等式<<3成立的c的取值范圍

分析：問題（1）略過，在這道題的第二個小問題中要求學(xué)生求出未知數(shù)的取值范圍，根據(jù)題目我們首先確定的是未知數(shù)c只存在于=c-這個式子之中，而是為止的，因此，要想直接地得出c的取值范圍是十分困難的，所以需要學(xué)生另辟蹊徑，找到合適的解決方法。可以使用極限思想來解決這個問題，可以針對和分別使用求極限的方式，因為當(dāng)n無窮大時，兩者是相等的，因此，可以得出一個等式，求得的取值范圍。這種問題是利用極限思想求解的一種典型的問題，需要引起教師和學(xué)生的重點關(guān)注，利用極限思想的方法使這個問題簡單化。

解題步驟：由題干<<3可以首先確定an是一個遞增的數(shù)列，且因為=1，所以數(shù)列是正的，有上界為3，因此，我們可以根據(jù)極限的定義推斷出是存在的，那么不妨先設(shè)=m，則=m，且1

從上述問題可以看出在數(shù)列中求取值范圍的問題時可以利用到極限思想的使用，在求解這類問題時，首先需要學(xué)生細心地觀察數(shù)列的變化趨勢，將可以得到的條件列出來，如是否是等比數(shù)列、是遞增還是遞減、是正數(shù)還是負的、是否有界等，然后再結(jié)合極限的定義和已知的定義來利用極限思想解決問題。[3]

2.極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用

極限與函數(shù)有著密不可分的關(guān)系，高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中有很多問題需要使用極限思想來解決，在極限的定義中也用到了專門用來解釋函數(shù)極限的內(nèi)容。作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點內(nèi)容，尤其是在新課程改革的環(huán)境下，運用數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的大勢所趨，因此，教師必須要幫助學(xué)生學(xué)會運用極限思想解決函數(shù)問題的方法。下面，我們先來探索一下利用極限思想解決函數(shù)問題的一般思路。

例題2（2011山東高考數(shù)學(xué)題）已知函數(shù)f（x）=+x-b（a>0且a≠1），當(dāng)2

分析：因為b是一個常數(shù)，我們可以很輕易地看出函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的，如果函數(shù)的零點∈（n，n+1）則f（n）<0，那么f（n+1）>0就是恒成立的，而當(dāng)a無限趨近于2并且b無限趨近于3的時候，f（n）是在無限趨近于+n-3的，所以，我們可以得出+n-3是小于等于0的，同理也可以得出+（n+1）-4≥0，根據(jù)題設(shè)的條件n∈，最終得到n=2的結(jié)論。

通過上面的例題我們可以看出極限思想在函數(shù)問題中經(jīng)常會用到的形式。一是在遇到求函數(shù)的取值范圍的問題時經(jīng)常會用到極限思想，學(xué)生可以先將函數(shù)可以取到的值放大到極限然后再求出范圍；另外還有像上述例題2這種求零點的問題時，要根據(jù)零點存在性的原則，將未知數(shù)的值取到極限從而得到相應(yīng)的函數(shù)的解析式，進而最終得到想要求取的值。

在函數(shù)問題中利用極限思想可以很好地將復(fù)雜的問題簡單化，幫助學(xué)生迅速地掌握問題的解決方法。

3.極限思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個教學(xué)難點，涉及到解析幾何的問題一般很容易理解，但是卻因為計算量的問題，學(xué)生很容易出錯。解析幾何問題的求解的特點就是用代數(shù)的方法求解題目中的幾何問題，學(xué)生在解決這類問題時要盡量地避免因為運算量過大而產(chǎn)生的影響解題速度和精準度的問題。利用極限思想可以幫助學(xué)生很好地優(yōu)化解析幾何中運算量過大的問題。

例題3（2012天津高考數(shù)學(xué)題）設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的左右頂點分別為A，B，點p在橢圓上且是異于A、B的一個點，O為原點坐標。

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；

（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>

分析：問題（1）略過，在這道解析幾何問題中，學(xué)生理解起來一般非常地簡單，按照一般的方法：找出k與離心率e之間的關(guān)系，再根據(jù)離心率的范圍是0

這道題的具體解題過程如下：做出一個以A為圓心、 OA為半徑的圓O，假設(shè)圓O與圓A相交于點N，所以可以得出|AO|=|AP|=|AN|=|ON|=a的結(jié)論，并且根據(jù)圖形可以得出三角形AOM是一個等邊三角形，所以∠AOM為60度，根據(jù)題目中的條件a>b>0，可以得出當(dāng)點P，N在x軸的上方時，<=-；當(dāng)點P，N在x軸的下方時>=-，根據(jù)上述結(jié)論最終可以得出證明直線OP的斜率k滿足|k|>。

在解答這道問題時主要用到的是利用橢圓的短軸在無限接近于長軸的過程中會呈現(xiàn)出一種橢圓趨近于圓的狀態(tài)，即將圓作為一種特殊的處于極限狀態(tài)的橢圓來解答這個問題，最終只運用了少量的計算就解決了這個問題。這樣，通過極限思想的使用極大的簡化了在解析幾何中的運算量，使問題變得簡單起來。

總結(jié)：綜上所述，可以看出極限思想在高中數(shù)學(xué)知識中有著廣泛的應(yīng)用，不僅是在數(shù)列、函數(shù)、解析幾何中，在立體幾何問題的解決中也有著巨大的優(yōu)勢。總之，在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生傳授極限思想的使用，不僅能使題目的解析更加簡潔，使解題思路豁然開朗，還能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。利用高觀點解決高中數(shù)學(xué)問題是新時期素質(zhì)教育下新課程標準提出的一個重點要求，需要得到廣大高中數(shù)學(xué)教師的充分認識，而極限思想則是高觀點應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的典型代表，幫助學(xué)生掌握極限思想這個有利的數(shù)學(xué)工具，能讓學(xué)生更加輕松快樂地面對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更加自信地應(yīng)對未來高考。

參考文獻：

[1]邵一丹.高中數(shù)學(xué)關(guān)于極限思想的內(nèi)容梳理及其教學(xué)研究[D].陜西師范大學(xué)，2017.

[2]方澤昱.高中數(shù)學(xué)解題過程中極限思想的運用體會[J].經(jīng)貿(mào)實踐，2016（23）：213.

[3]郭嬋嬋.極限思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2014（35）.