概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學方法初探

武杰+黃昭+程適

摘 要 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是講解生活中隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律的課程，旨在提供一種分析與理解自然界隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性工具。作為大學本科的基礎(chǔ)必修課程，該課程不僅具有較強的理論性，還具有廣泛的實踐性。因此，在教學過程中，如何實現(xiàn)課程內(nèi)容的有效組織；以何種方式引導學生逐步深入，進而構(gòu)建自己的知識體系是本課程老師應(yīng)該深入思考的問題。本文作者結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，對本課程的教學方法和策略進行了探討。

關(guān)鍵詞 教學方法 事例引導 定理證明 邏輯思維

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.11.055

Abstract The probability theory and mathematical statistics is commonly applied to explain the inherent law of random phenomena in our daily life， and its target is providing a tool for statistical analysis and understanding of the nature of random phenomena. As a basic course of the undergraduate students， the curriculum is not only a theoretical course but also a practical course. Therefore， in the process of this course， the corresponding teachers should give a deeply thinking on how to effectively organize the content of the curriculum， and how to help the students to learn about the knowledge and construct their own knowledge system. In this paper， from authors own experience on the teaching of this course， some teaching methods and strategies are discussed.

Keywords Teaching methods； case based guiding； theorem proving； logical thinking

0 引言

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”[1]不僅是一門數(shù)學類的基礎(chǔ)理論課，還是一門與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的方法類課程。它已經(jīng)滲透到計算機科學、工商管理、金融分析、生物醫(yī)學、工業(yè)工程等高新技術(shù)領(lǐng)域，是經(jīng)濟、管理、理工科等學科各專業(yè)學生的必修基礎(chǔ)課程之一。然而，目前的教學中多數(shù)教師往往側(cè)重對抽象理論、抽象概念等的講解，忽視了本課程在現(xiàn)實生活中對事物現(xiàn)象發(fā)生規(guī)律的解釋能力以及在管理與決策中的支撐作用。這使得一些學生對本課程的重要性認識不足，對抽象理論概念的認識不清晰，進而產(chǎn)生厭學情緒，不利于本課程教學的順利開展。因此，如何有效地把握課程內(nèi)容，合理地組織課堂教學活動，充分體現(xiàn)本課程的實用價值，提高學生的學習興趣是本課程教學的核心問題之一。

1 課程教學方法與策略

1.1 由具體現(xiàn)象引入課程內(nèi)容，激發(fā)學生興趣

作為一門數(shù)學基礎(chǔ)課程，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”包含有大量的抽象理論。而鑒于之前高等數(shù)學的抽象性，多數(shù)同學認為本課程同樣會很單調(diào)、枯燥，距離現(xiàn)實生活很遠，從而產(chǎn)生消極學習的懈怠情緒。因此，在教學的時候，教師應(yīng)注重營造寬松的學習氛圍，適當降低前期教學內(nèi)容的復雜程度，給學生一種輕松的感覺[2]。

同時，由于本課程內(nèi)容所涉及的每一個概念和問題都可以與現(xiàn)實生活的實際現(xiàn)象相關(guān)聯(lián)，因此，可以從具體的實踐活動（特別是學生參與過或可參與的活動）出發(fā)，逐一對照分析相關(guān)概念與具體活動之間的關(guān)聯(lián)性，使學生對抽象概念產(chǎn)生形象化的感知，從而加深對相關(guān)概念定義的理解，為進一步學習建立在這些概念定義之上的定理奠定良好的基礎(chǔ)。如在介紹樣本、樣本空間和頻率的概念時，可以類比擲硬幣的活動。由于硬幣最終的面向是具有隨機性，因此硬幣拋擲一次即為一次“隨機試驗”。而每一次拋擲（隨機試驗）所得到的結(jié)果即為隨機試驗的一個“樣本”，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（如，正面和反面）就構(gòu)成了該試驗的“樣本空間”；接著，通過將記錄中各個樣本（正面或反面）出現(xiàn)次數(shù)除以總的拋擲次數(shù)，即得到各個樣本出現(xiàn)的“頻率”；最后，通過利用“樣本空間”的子集來描述“隨機事件”（如，硬幣正面向上這個事件），實現(xiàn)對事件發(fā)生頻率的計算。

1.2 以遞進方式分析事例，引導學生思考

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，為了更有效地利用現(xiàn)有的理論進行推導，往往需要將具體的事件符號化（如，隨機變量的引入）。然后，利用一些抽象的定理來計算或挖掘具體現(xiàn)象活動的特性。因此，定理的學習是本課程教學的主要內(nèi)容之一。然而，由于沒有形象化的感知體會，學生在學習定理時會感到很吃力，往往只是對定理進行簡單的記憶，并沒有真正了解定理所揭示的現(xiàn)實物理意義。而在面對相應(yīng)的實際問題時，學生往往不知所措，無法將記憶中的定理應(yīng)用到實際問題的求解過程中。因此，教師在講解具體定理和定義的時候，不僅要從具體的事例出發(fā)，層層遞進，逐步引導學生的思維向?qū)⒁v解的定理或定義上靠攏[3]；還要適當?shù)鼗氐骄唧w事例中，讓學生自動建立事例現(xiàn)象與定理應(yīng)用之間的關(guān)聯(lián)性。如在講解貝葉斯公式時，可以以兩個都裝有蘋果和桔子的袋子為例：A袋子有mA個蘋果和nA個桔子，B袋子有mB個蘋果和nB個桔子，若選擇A袋，則取出一個水果為蘋果的概率是多少？若假設(shè)兩個袋子沒有任何區(qū)別，那么從中取得桔子的概率是多少？若取得的水果是桔子，則該水果是從B袋中取得的概率是多少？顯然，第一問需要求解一般性的條件概率，第二個問是在第一問的基礎(chǔ)上利用全概率公式求解，第三問則需要使用前兩問的結(jié)果，通過貝葉斯公式公式進行計算。雖然前兩問并不是利用貝葉斯公式求解，但經(jīng)過這樣逐層地求解操作，學生可以了解貝葉斯公式的知識基礎(chǔ)是什么，公式使用中需要哪些要素。同時，在計算完成之后，再返回到例子，結(jié)合貝葉斯公式的使用過程分析一下使用該公式求解的具體問題應(yīng)具有什么樣的特性，進而加深學生對定理公式的理解。endprint

1.3 對照事例講解概念，加深學生理解

概念作為知識的基石，是知識構(gòu)成的重要組成要素。因此，教師在講解每一個知識點時，應(yīng)著重把基本的概念講解清楚、講透徹。對于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”來說，它的基本概念往往比較抽象，具有很大的外延性。因此，如何讓學生理解相關(guān)概念的本質(zhì)是該課程教學的核心內(nèi)容之一。鑒于概率論與數(shù)理統(tǒng)計對于現(xiàn)實生活現(xiàn)象和人類活動的緊密聯(lián)系，教師可以利用具體事例進行解釋，通過同一事例的不同角度分析，強調(diào)相關(guān)概念的多樣化表現(xiàn)形式。如以“一次拋擲兩顆骰子，求得到的兩個骰子正面的點數(shù)之和為偶數(shù)的概率”為例來講解樣本、樣本空間的概念。顯然，如果以兩顆骰子一次拋擲點數(shù)來定義樣本，則其樣本空間為 ={}，樣本容量為36，故點數(shù)之和為偶數(shù)的概率為18/36=1/2。如果以每個骰子點數(shù)的奇偶性來定義樣本，則相應(yīng)樣本空間為 ={（奇，偶），（奇，奇），（偶，偶），（偶，奇）}，故其點數(shù)之和為偶數(shù)的概率為2/4=1/2。從上述例子，學生可以明白樣本定義的重要性。隨著樣本定義的不同，其所對應(yīng)的樣本空間也不同，求解時所采用的方法也會不同。

1.4 利用對比關(guān)聯(lián)前后知識，建立知識體系

在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的學習過程中，多數(shù)學生只是簡單地按照講課進度來安排自己的學習內(nèi)容。對于已經(jīng)講過但沒有深刻理解的知識內(nèi)容，他們很少會主動回顧復習。顯然，如何在以當堂內(nèi)容講解為主的前提下，讓學生積極主動地去復習之前所學的內(nèi)容，是本課程教師應(yīng)該注意的問題之一。因此，教師在安排講課內(nèi)容時應(yīng)當適當安排有關(guān)前后知識點關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容，即在講解某一知識點時，不應(yīng)只著眼于當堂知識點內(nèi)容的講授，而應(yīng)適當?shù)靥霰竟?jié)課所關(guān)注的內(nèi)容，從本課程整體知識系的角度分析當堂內(nèi)容與之前所講授內(nèi)容之間的關(guān)系和異同點。[4]這樣，不僅可以提醒學生及時回顧之前所學知識，還可以幫助學生主動去構(gòu)建關(guān)于已講授內(nèi)容的知識網(wǎng)絡(luò)，強化學生對本課程的理解。如，在講解“二元概率分布”時，通過回顧“一元概率分布”的特性及內(nèi)容，強化學生對概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)等內(nèi)容的理解，同時，通過回顧“隨機事件”和“條件概率”的內(nèi)容，強化學生對“條件概率”計算方法、“獨立性”條件等內(nèi)容的理解。這樣，通過教師上課過程的知識回顧與對比分析，不斷強化學生自己所搭建的知識網(wǎng)絡(luò)，不僅可以加深學生對課程內(nèi)容的理解和記憶程度，還能有效降低學生學期末的復習強度。

1.5 重視定理、定義的分析及證明演示

作為數(shù)學類的基礎(chǔ)課程之一，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”涉及了很多定理，而這些定理是對現(xiàn)實世界客觀規(guī)律的一種抽象描述。它與本課程的基本概念之間存在著非常嚴謹?shù)倪壿嬯P(guān)系，即，多數(shù)定理可利用一定的概念和相應(yīng)的邏輯推導過程進行證明。通常，學生在學習定理的時候，往往只是簡單地進行記憶，對定理中所涉及的邏輯性理解不清楚。這就導致了學生在解決問題時，不知道該如何使用定理。因此，教師在講授定理類的知識時，應(yīng)盡可能詳細地給出相應(yīng)的推導過程，并進行分析說明。這樣，可以使學生更清晰地理解定理的由來及使用條件，加深對定理的理解，從而培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。同時，在證明的過程中，或多或少會涉及到一些基本知識點，因此利用定理的推導過程可以強化學生對這些知識點的理解與掌握。

1.6 利用課堂翻轉(zhuǎn)進行習題講解，強化學生理解

由于課堂教學時間的有限性，教師不可能列舉很多相關(guān)的事例進行分析說明。因此，課后的習題演練是非常重要的。然而，一些學生由于課業(yè)任務(wù)量大，對于課后習題不重視，往往不經(jīng)過認真思考，直接參考相關(guān)書籍進行解答。這嚴重阻礙了學生對相關(guān)內(nèi)容的理解。因此，在本課程教學中適當?shù)匕才乓恍┝曨}課是非常重要的。在習題課上，教師不僅要對習題中的難點進行講解，也要適時讓學生展示自己對問題求解的能力。如，在習題課上，教師先把學生所遇到的難題進行講解。當學生理解明白后，可以采用課堂翻轉(zhuǎn)方式，要求學生對同類型難度適宜的題目進行上臺求解演示，進而加強學生對相關(guān)知識的理解。同時，教師在講解問題時，應(yīng)注意問題求解的多樣性，恰當?shù)乩貌煌嵌鹊姆治鱿驅(qū)W生展示數(shù)學的嚴謹性和多彩性，提高學生的學習興趣。

2 結(jié)束語

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”作為大學本科的必修數(shù)學課程之一，不僅具有很強的理論性，也是一門與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的課程。因此，在本課程的教學過程時，教師應(yīng)注重基本概念的講解，以具體事例的分析為基礎(chǔ)，以問題引導學生的思維，通過不同概念之間的對比分析，幫助學生構(gòu)建本課程體系的知識網(wǎng)絡(luò)。此外，教師也要注重教學內(nèi)容的習題講解環(huán)節(jié)，充分調(diào)動學生的積極性，把握好學生的探索心理，發(fā)揮學生的主觀能動性，為本課程教學的順利進行，課程教學質(zhì)量的提升提供助力。

參考文獻

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社（第四版），2015.

[2] 張迪，秦麗娟，牛雪娜，趙有益.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學方法的探索[J].甘肅聯(lián)合大學學報（自然科學版），2013（27）.

[3] 劉洋，張國輝，徐偉，趙鵬輝，李兆興.工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學方法探究[J].牡丹江師范學院學報（自然科學版），2013（4）.

[4] 肖波，鄧華玲，吳秋峰.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學方法的幾點探索[J].黑龍江科技信息，2012（24）.endprint