“否命題”等于“命題的否定”?

張圣官

現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)中，不少同學(xué)常常把“否命題”與“命題的否定”混為一談．其實(shí)這兩個(gè)概念是在不同的層面上研究問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的．“否命題”出現(xiàn)在“命題及其關(guān)系”中，指的是當(dāng)原有命題（即原命題）為“若p則q”形式時(shí)，同時(shí)否定它的條件和結(jié)論得到“若┐p則┐q（讀作若非p則非q）”，這稱為原命題的否命題；而“命題的否定”是指將命題p（通常是較簡(jiǎn)單的命題）直接進(jìn)行否定得到┐p，也即是直接得到命題的反面．

1.要寫出否命題，首先要將原命題改寫成“若p則q”形式

例1已知命題“全等三角形一定相似”，試寫出它的否命題，并判斷這兩個(gè)命題的真假．

解將原命題改寫為：若兩個(gè)三角形全等，則它們一定相似．其否命題即為：若兩個(gè)三角形不全等，則它們一定不相似．原命題為真，否命題為假．

點(diǎn)評(píng)將原命題首先改寫成“若p則q”形式，是正確寫出否命題的關(guān)鍵．當(dāng)然還要注意這里的“一定”是語(yǔ)氣助詞而不是謂語(yǔ)動(dòng)詞，有的同學(xué)會(huì)寫成：若兩個(gè)三角形不全等，則它們不一定相似．這樣寫就錯(cuò)了！違背了常用邏輯的基本規(guī)則．事實(shí)上，在處理命題中含有“一定”、“必然”等詞語(yǔ)的問(wèn)題時(shí)有一個(gè)辦法是切實(shí)可行的，這就是將它們?nèi)サ?，因?yàn)樗鼈儍H僅是加強(qiáng)語(yǔ)氣而已．

還有一點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)的是，原命題為真（假）時(shí)，否命題的真假性并不確定，即否命題可能為真也可能為假，這要根據(jù)具體的問(wèn)題結(jié)論來(lái)確定．在四種命題關(guān)系中，原命題與逆否命題真假性相同，逆命題與否命題真假性相同．

例2寫出命題p：“若a，b，c∈R，ac＜0，則方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的否命題．

分析本題中對(duì)“p”的理解很關(guān)鍵，“a，b，c∈R”必須當(dāng)做前提條件才行，而不能對(duì)它進(jìn)行否定．否命題應(yīng)該寫成“若a，b，c∈R，ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”．

如果命題中含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”時(shí)，那么在寫“┐p”和“┐q”時(shí)要注意利用等價(jià)命題的原理和規(guī)律．

例3寫出命題“若ab＝0，則a＝0或b＝0”的否命題，并判斷兩個(gè)命題的真假．

分析原命題是真命題，逆命題是真命題，因此寫出的否命題必須也為真命題才行．否命題應(yīng)該為“若ab≠0，則a≠0且b≠0”，假如寫成“若ab≠0，則a≠0或b≠0”的話就錯(cuò)了．

2.要寫出命題的否定，關(guān)鍵是要找到原有命題中省略的量詞

命題的否定是對(duì)命題p進(jìn)行直接否定，通常針對(duì)的命題p是較為簡(jiǎn)單的命題．例如要對(duì)命題p：3＞2進(jìn)行否定，當(dāng)然┐p就是“3不大于2”，也即是“3≤2”．再如，請(qǐng)寫出命題“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定，答案是“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不是正數(shù)”還是“不是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不是正數(shù)”呢？第二個(gè)邏輯上發(fā)生了混亂，這可不是對(duì)命題進(jìn)行否定，是不對(duì)的；第一個(gè)從邏輯關(guān)系上來(lái)講是對(duì)的，但寫法不太規(guī)范．究竟該怎樣才好呢？較為科學(xué)的做法是先找到原有命題中省略的量詞“任意”或“存在”．具體到這道題而言，命題“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”是指“任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”還是指“存在實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”？顯然指的是前者，這是一個(gè)全稱命題，即p：“任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)”，那么它的否定應(yīng)該是一個(gè)存在性命題，┐p：“存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)”．

寫命題p的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前加“不”，而要搞清這個(gè)命題研究的對(duì)象是個(gè)體還是全體．如果研究的對(duì)象是個(gè)體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對(duì)象不是一個(gè)個(gè)體，就不能這樣簡(jiǎn)單地處理了，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題．因此，在表述一個(gè)命題的否定形式的時(shí)候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，建議大家將常見(jiàn)關(guān)鍵詞及其否定形式做個(gè)統(tǒng)計(jì)分類，制成表格，以加深印象．

命題p與它的否定┐p的真假性一定相反，即命題p為真，┐p一定為假；命題p為假，┐p一定為真．利用其中的邏輯關(guān)系，有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．

例4已知命題p：“?x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析本題若直接求解則較為繁難，由于該命題是存在性命題，因此依據(jù)上述全稱命題與存在性命題的關(guān)系，將該命題的否定形式寫出，依據(jù) “命題真，其否定假；命題假，其否定真”可推知其否定形式必為真命題，從而求出滿足題設(shè)要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解因命題p：?x∈R，ax2－2ax－3＞0的否定形式為┐p：?x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知命題┐p是真命題．事實(shí)上，當(dāng)a＝0時(shí)，對(duì)任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，借助二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，很容易知道：不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等價(jià)條件是a＜0且其判別式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0．綜合以上兩種情形可知：┐p為真命題時(shí)，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3≤a≤0，即命題p是假命題時(shí)，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是［－3，0］．

點(diǎn)評(píng)這里巧妙地借助全稱命題與存在性命題的關(guān)系及真假的判定，將較為困難的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“在一個(gè)不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，使問(wèn)題得到了巧妙的化歸與轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易，避繁就簡(jiǎn)的目的．

3.當(dāng)“否命題”與“命題的否定”碰面時(shí)，關(guān)鍵是各行其道

“否命題”與“命題的否定”這兩個(gè)概念是在不同的層面上研究問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的，它們一般是不會(huì)碰面的．但是也需要注意一些特殊的情況下，既需要寫出一個(gè)命題的否命題，也需要對(duì)它進(jìn)行否定．這時(shí)怎么辦好呢？一言以蔽之，各行其道就行了．

例5已知命題“對(duì)頂角相等”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性．

分析寫否命題前，先將原命題改為“若p則q”的形式．命題“對(duì)頂角相等”怎么表述呢？“若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則它們相等”，這樣否命題寫成“若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則它們不相等”就行了；要對(duì)它進(jìn)行否定之前，先看看原命題可以加上什么量詞，是“任意”還是“存在”？發(fā)現(xiàn)命題“對(duì)頂角相等”是全稱命題，可以改為“任意兩個(gè)對(duì)頂角相等”，這樣它的否定是存在性命題，寫成“存在兩個(gè)對(duì)頂角，它們不相等”就行了．在該題中，否命題以及命題的否定均為假命題．

例6已知命題“若x≥1，則x2≥1”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性．

分析否命題為“若x＜1，則x2＜1”，是假命題；要對(duì)它進(jìn)行否定之前，先將原命題變?yōu)椤?x≥1，x2≥1”，這樣它的否定即為“?x≥1，使x2＜1”，該命題是假命題．