直線與圓錐曲線交點問題錯解分析

單建軍 錢 慧

同學(xué)們在做直線與圓錐曲線交點相關(guān)題目的過程中，經(jīng)常會犯一些錯誤，現(xiàn)舉兩例加以說明.

例1已知曲線與直線y＝-x+m只有一個公共點，則m的取值范圍是________.

錯解曲線可化為，與y＝-x+m聯(lián)立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.

錯因剖析方程與方程并不等價，實際上變形過程中擴大了y的范圍，從而引起錯誤.

正解曲線可化為，表示上半個橢圓，與y＝-x+m聯(lián)立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.再借助于數(shù)形結(jié)合易知-2≤m＜2或.

例2過點A（0，1）且與拋物線y2＝4x有且只有一個公共點的直線方程為_______.

錯解設(shè)直線方程為y＝kx+1，與方程y2＝4x聯(lián)立方程組消去y可得（kx+1）2＝4x，即k2x2+（2k-4）x+1＝0.

（1）當(dāng)k＝0時，方程組有一解，此時直線方程為y＝1；

（2）當(dāng)k≠0時，由Δ＝（2k-4）2-4k2＝0得k＝1，此時直線方程為y＝x+1.

綜上，y＝1或y＝x+1.

錯因剖析在設(shè)直線方程時沒有討論斜率不存在的情形，即要注意到y(tǒng)＝kx+1并不能表示所有過點A（0，1）的直線，從而引起漏解.

正解（1）當(dāng)斜率k不存在時，直線方程為x＝0，滿足題意.

（2）同錯解.

綜上直線方程為x＝0或y＝1或y＝x+1.

在處理直線和圓錐曲線問題的過程中，變形的等價性、直線方程的斜率不存在情形的討論以及聯(lián)立方程組判別式使用的條件等都是易錯之處，尤其值得同學(xué)們引起重視.