視角發(fā)散，價(jià)值多元
——以平面向量數(shù)量積問題為例

晉 杰

平面向量數(shù)量積是向量知識(shí)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題.我們?cè)诮鉀Q平面向量數(shù)量積問題時(shí)一般采用的方法是基底法或解析法.把握好問題的本質(zhì)，快速、準(zhǔn)確地解決平面向量問題，達(dá)到“事半功倍”的效果，這是我們每一個(gè)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)努力的方向.下面我們就以一道高三模擬考試中出現(xiàn)的考題為例，剖析如何在多元視角下處理好一類平面向量數(shù)量積問題.

試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB＝2，△BCD是等邊三角形，若，則AD的長(zhǎng)為________.

圖1

試題分析應(yīng)用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何問題，是高考的熱點(diǎn)問題.本題中是以四邊形和三角形為基本圖形背景，數(shù)量積為題眼（核心條件）.如何處理好這個(gè)數(shù)量積是我們首先需要思考的問題.對(duì)于數(shù)量積的處理，我們通常從兩個(gè)角度考慮：①基底法，抓住向量的模和夾角的關(guān)系；②解析法，將向量坐標(biāo)化以后再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.若采用角度①，直接將轉(zhuǎn)化為模與夾角的關(guān)系，則無法發(fā)現(xiàn)與所求邊長(zhǎng)AD的關(guān)系，因此選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將?shù)量積中的部分（或全部）向量分解，架起已知量與未知量之間的“橋梁”，勢(shì)在必行.那么如何選擇基底？分解還是，抑或是兩個(gè)向量都分解，值得我們好好推敲.若采用角度②，如何合理地建立坐標(biāo)系也是個(gè)大問題.

下面嘗試從多個(gè)視角剖析這個(gè)問題，希望對(duì)讀者有所啟發(fā).

視角一由于AD是四邊形的一條邊，故可選取四邊形的相鄰兩邊為基底，把對(duì)角線所在向量問題轉(zhuǎn)化到所求模長(zhǎng)的向量上來.同時(shí)準(zhǔn)確地運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，找準(zhǔn)向量的夾角，以及余弦定理的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.

將上面的兩個(gè)結(jié)論以及等邊△BCD中DC＝BC，AB＝2均代入（＊）式，

即可求出AD的長(zhǎng)度.

視角二整體代換，優(yōu)化解題，化繁為簡(jiǎn).這需要同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，細(xì)心觀察，理清思路，不能急于求成.

視角三利用平面圖形的特征，因?yàn)锳B與AD都集中在△ABD中，若取線段BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，則，而，即以為基底分別將分解，至此AB（已知）與AD（所求）建立了聯(lián)系，但還缺少“橋梁”（方程），而就是一個(gè)方程，此時(shí)我們只需將也用為基底分解即可.不難發(fā)現(xiàn)，而 △BCD為等邊三角形，恰巧CM⊥BD，則，問題得到圓滿解決.

解析取線段BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，CM.

圖2

視角四采用解析法時(shí)，如何合理建系是我們首先需要反復(fù)權(quán)衡的問題.我們可以抓住等邊三角形的圖形特征，合理建系、設(shè)點(diǎn).雖然解題中會(huì)出現(xiàn)多元變量，但是整體代入的思想和方程思想的滲透，以及設(shè)而不求的解題方法的靈活運(yùn)用，最終達(dá)到消元的目的.

解析等邊三角形建系（如圖3，可以把圖形適當(dāng)旋轉(zhuǎn)），引入A（m，n），B（t，0），D（-t，0）這三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，易求得C（0，，于是得到下 面的解 法：，所以2tm＝1①.又因?yàn)?，所以?

圖3

視角五利用“四點(diǎn)向量定理”：平面四邊形ABCD中，，快速解題.該定理的證明過程可以參考視角一的路徑②，有興趣的同學(xué)可以自己嘗試證明，這里不再贅述.

解析由“四點(diǎn)向量定理”，得，又因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，BC＝DC，故，得解.

解題感悟在處理平面向量數(shù)量積的有關(guān)問題時(shí)，基底法和解析法是兩種基本方法.視角一從定義出發(fā)，上手雖容易，但在求cosθ時(shí)容易卡殼，考試時(shí)不易深入，但平時(shí)學(xué)習(xí)，如能繼續(xù)探究，雖然有些繁，但若將平面向量和解三角形相結(jié)合，對(duì)高三復(fù)習(xí)的知識(shí)融合一定有所幫助.視角二是對(duì)視角一的有力補(bǔ)充，降低了視角一的運(yùn)算量，但對(duì)學(xué)生的觀察能力和信息的整合能力有較高的要求.視角三“以巧撥千斤”，首先要對(duì)平面向量的幾何運(yùn)算熟悉，就能有效解決此問題，這是解決此類問題的通性通法.視角四通過建系，借助向量的坐標(biāo)表示，成功將幾何問題變成了代數(shù)問題，體現(xiàn)了平面向量的代數(shù)表征.視角五，獨(dú)辟蹊徑，抓住四邊形對(duì)角線數(shù)量積與四邊的關(guān)系，巧用“四點(diǎn)向量定理”，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面.上面五種不同的視角體現(xiàn)了平面向量“數(shù)與形”的特征.

高考與平時(shí)學(xué)習(xí)并不完全是同一回事.高考注重解題時(shí)效，即在最短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地解決問題.而我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要善于通過分析，多角度思考，縱橫聯(lián)系，充分暴露思維的過程，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的，找到最優(yōu)解，價(jià)值多元.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)要能堅(jiān)持這樣做下去，并輔以適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，及時(shí)歸納、整理、提煉，方能在高考中輕松應(yīng)對(duì).