平面向量學(xué)習(xí)偶得

丁 昀

轉(zhuǎn)眼間高中前兩年就過(guò)去了，如今我已是一名高三學(xué)生了.老師在課上經(jīng)常講一些問(wèn)題的解題技巧，部分同學(xué)聽(tīng)了以后就去瘋狂刷題，但收效甚微，忘了老師指導(dǎo)我們不能只顧埋頭拉車(chē)，更要抬頭看路，即使記得的同學(xué)，對(duì)具體怎么看路，也表示很迷茫.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我還沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)瘋狂刷題的階段，因?yàn)槲铱傁胫芊癖M量少刷題，也能取得較好的成績(jī).琢磨多了以后，我對(duì)老師常說(shuō)的高考核心知識(shí)點(diǎn)的解題方法有了一些想法.利用暑假時(shí)間我定下心來(lái)整理了部分問(wèn)題，別說(shuō)，還真有豁然開(kāi)朗的感覺(jué).下面就以平面向量的部分問(wèn)題來(lái)談?wù)勎业母惺?

在平面向量問(wèn)題中，我們經(jīng)常要用到基底化方法和坐標(biāo)化方法，但僅僅知道這些是不夠的.

例1在△ABD中，AB＝2，AD＝，E，C分別在線段AD，BD上，且AE＝，則∠A＝_________.

解析根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)任一向量都可以用一對(duì)不共線的向量（基底）來(lái)線性表示，利用基底進(jìn)行運(yùn)算，即“基底化”，這是我們解決向量問(wèn)題的“看家本領(lǐng)”.

圖1

學(xué)習(xí)體會(huì)：用“基底化”方法解決向量問(wèn)題，也就是老師上課時(shí)經(jīng)常掛在嘴邊的“通法”.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，選擇合適的基底，直接影響到后續(xù)問(wèn)題計(jì)算量的大小，千萬(wàn)不可“亂點(diǎn)鴛鴦譜”，基底的選擇體現(xiàn)了我們對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解.我的經(jīng)驗(yàn)是，基底一般選擇長(zhǎng)度已知的向量、互相垂直的向量或者夾角已知的向量，再把問(wèn)題中的相關(guān)向量用基底表示出來(lái).

例2在矩形ABCD中，，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值為_(kāi)_______.

解析在該問(wèn)題中，由于點(diǎn)F的確切位置一開(kāi)始不明確，我考慮從反過(guò)來(lái)確定點(diǎn)F的確切位置.平面向量可用基底表示，還可以用坐標(biāo)表示，由于坐標(biāo)運(yùn)算的簡(jiǎn)便性，“坐標(biāo)化”也是解決向量問(wèn)題的最基本方法.

考慮到矩形ABCD的條件，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決起來(lái)就妥妥的了.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

圖2

學(xué)習(xí)體會(huì)：在整理的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)一般只要題目條件中出現(xiàn)了垂直結(jié)構(gòu)，那么不管是求數(shù)量積還是其他相關(guān)問(wèn)題，建立直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)化解決問(wèn)題往往比較順利！在建系的策略上，當(dāng)圖形為矩形、等腰三角形、圓等具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)時(shí)可以?xún)?yōu)先考慮建系.

例3將函數(shù)y＝f（x）的圖象按向量平移后得到函數(shù)y＝的圖象，求函數(shù)y＝f（x）的解析式.

解析按向量平移表示的含義是函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象.

將原有平移過(guò)程反過(guò)來(lái)，函數(shù)y＝中的x用“”替換，再將函數(shù)值增加2可得到函數(shù)y＝f（x）的解析式，即2＝sinx.

學(xué)習(xí)體會(huì)：函數(shù)圖象平移應(yīng)用廣泛，而沿向量平移后許多函數(shù)可以得到化簡(jiǎn)的功效，雖然兩者是相通的，但我和我的小伙伴們經(jīng)常傻傻地將兩者混為一談.這個(gè)問(wèn)題本身不是什么難題，但的確困擾了我好長(zhǎng)時(shí)間，所以印象特別深刻.在理解向量平移的意義后，不妨將向量平移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象平移問(wèn)題，更容易掌握.后來(lái)我慢慢體會(huì)到，像這類(lèi)在知識(shí)點(diǎn)交叉的問(wèn)題，厘清概念的本質(zhì)就顯得尤為重要，這是單純的刷題難以做到的.

你還別說(shuō)，有了剛才幾個(gè)問(wèn)題的整理過(guò)程，我對(duì)向量問(wèn)題的處理一下子自信了許多，下面來(lái)看一道思考題.

思考題如圖所示，AB是圓O的直徑，P是圓弧AB上的一點(diǎn)，M，N是直徑上關(guān)于O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且AB＝6，M N＝4，則＝________.

圖3

你會(huì)用幾種方法解這道題呢？

我想到了幾種方法，跟大家分享一下：

圖4

圖5

方法3以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），則，，且點(diǎn)P所在的圓O的方程為，.

圖6

方法4將點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓弧中點(diǎn)（特殊化），然后求，計(jì)算方法：

以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則P（0，3），，

圖7

學(xué)習(xí)體會(huì)：方法1和方法2是利用平面內(nèi)的同一組基底來(lái)求解，從不同基底方案的選擇中，我們可以體會(huì)到合理選擇基底的重要性.方法3是通過(guò)建立坐標(biāo)系解決問(wèn)題的，不同建系方案就不再比較了，相信大家都可以輕松搞定.一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于特殊的圖形往往用坐標(biāo)化的方法更加簡(jiǎn)捷有效.方法4可以說(shuō)是跳出了前面常規(guī)思路的限制，特殊化后，秒殺問(wèn)題，體現(xiàn)出思考后的智慧化解題策略.

王國(guó)維在《人間詞話》中說(shuō)：“詩(shī)人對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫(xiě)之.出乎其外，故能觀之.入乎其內(nèi)，故有生氣.出乎其外，故有高致.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有思考和反思能力，更需要具備舉一反三、觸類(lèi)旁通的靈動(dòng)性，不然就會(huì)迷失在茫茫題海中難以自拔.