區(qū)間值最小二乘核仁解及在供應(yīng)鏈合作利益分配中的應(yīng)用

劉家財，李登峰，胡勛鋒

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院工商管理研究院，福建 福州 350116；2.福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，福建 福州 350002)

1 引言

合作對策的重要解概念有很多，比如，核心、核仁、夏普利值，等。上述解概念均是基于經(jīng)典合作對策即清晰聯(lián)盟及清晰效用函數(shù)的情形下提出。事實上，任何合作對策都需要考慮環(huán)境與條件的不確定性[1-2]、信息的不準(zhǔn)確性[3]、局中人目標(biāo)的多樣性與不確定性[1,4]、局中人的主觀期望與風(fēng)險態(tài)度[1,5-6]、局中人參與聯(lián)盟的程度[7]等。換句話說，在現(xiàn)實的經(jīng)濟管理問題中，常存在不確定性及模糊性，導(dǎo)致局中人只能以一定的概率參與聯(lián)盟或者聯(lián)盟值(或特征函數(shù))無法用精確實數(shù)準(zhǔn)確表達。近年來，在合作對策的研究中，常用區(qū)間數(shù)來表示聯(lián)盟值(或特征函數(shù))，由此出現(xiàn)了一類支付值為區(qū)間數(shù)的合作對策，這類合作對策常被簡稱為區(qū)間值合作對策。區(qū)間值合作對策是模糊合作對策的一種重要形式。模糊合作對策是經(jīng)典合作對策的推廣，經(jīng)典合作對策的模糊延拓有三種形式：第一種是聯(lián)盟模糊而效用清晰的合作對策[7]。第二種是效用模糊而聯(lián)盟清晰的合作對策[8]。第三種是聯(lián)盟和效用均模糊的合作對策[9]。早在1974年，Aubin[7]利用美國著名控制論專家L.Zadeh教授提出的模糊集表示局中人參與聯(lián)盟的程度(或參與率)，提出了模糊聯(lián)盟的概念，這是合作對策最早涉及模糊不確定性的一類形式。隨后，Aubin[10-11]又定義了模糊合作對策的核心，為日后區(qū)間值合作對策核心的廣泛研究奠定了基礎(chǔ)。國外學(xué)者Branzei[12-14]、Alparslan[15-17]、Mallozzi[18]等圍繞區(qū)間值合作對策開展了大量研究。Branzei等[12]針對凸區(qū)間值合作對策，提出類似Shapley值的解，為模糊合作對策區(qū)間Shapley值的研究奠定了基礎(chǔ)。Branzei等[13-14]對區(qū)間值合作對策的研究進行了總結(jié)與展望，并對區(qū)間值合作對策的超可加性、凸性、區(qū)間優(yōu)超核心等進行了定義。Alparslan等[15-17]運用區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則對區(qū)間值合作對策重新進行定義，對確定條件下即經(jīng)典合作對策的部分重要解概念及其解法進行拓展，從而發(fā)展形成區(qū)間值合作對策的解概念及其解法，并對區(qū)間值合作對策的核心的一些重要性質(zhì)進行了探討。Mallozzi等[18]拓展區(qū)間值合作對策模型，提出一種求解區(qū)間值合作對策的類似于核心的解概念，并提出一種確保類核心的解非空的均衡性條件。

我國也有諸多學(xué)者圍繞區(qū)間值合作對策做了相關(guān)研究，如，李登峰[19]針對聯(lián)盟值(或特征函數(shù))表示為區(qū)間數(shù)的多人合作對策，通過研究其合作對策分配值(即解)具有的單調(diào)不減性質(zhì)，提出了相應(yīng)的簡化約束條件，從而利用聯(lián)盟區(qū)間值的左、右端點值，簡單、快捷地確定每個局中人分配值(區(qū)間值)的左、右端點值，進而確定區(qū)間值多人合作對策的區(qū)間值分配解，相繼提出了區(qū)間值合作對策的多種區(qū)間值分配解，如，區(qū)間值Shapley值，區(qū)間值團結(jié)(solidarity)值，區(qū)間值Banzhaf值，區(qū)間值核心分配解，等，并研究了它們的一些重要性質(zhì)。于曉輝、張強[20]利用區(qū)間數(shù)運算的性質(zhì)，將經(jīng)典Shapley值的三條公理拓廣到區(qū)間值合作對策中，提出具有區(qū)間支付的Shapley函數(shù)的具體形式，并且通過論證，證明區(qū)間Shapley函數(shù)和經(jīng)典的Shapley函數(shù)具有形式上的一致性。高作峰等[21]給出了區(qū)間合作對策在增廣系統(tǒng)上的定義，并利用相應(yīng)的公理體系及區(qū)間數(shù)運算的性質(zhì)，構(gòu)造出區(qū)間合作對策在增廣系統(tǒng)上的區(qū)間Shapley值，并對該區(qū)間Shapley值的一些重要性質(zhì)進行探討。由此可看出，區(qū)間值合作對策的研究引起國內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注。

在經(jīng)典合作對策中，核心是1953年Gillies[22]引進，后經(jīng)著名對策論專家Shapley和Shubik[23]發(fā)展成為合作對策的解概念。核心是目前使用較多的合作對策的集合解概念，要求滿足個體合理性、集體合理性與聯(lián)盟合理性。核仁是1969年Schmeidler[24]以超量衡量聯(lián)盟的滿意程度，并從最小化聯(lián)盟的不滿意程度出發(fā)，提出的合作對策的解概念。核仁后來又進一步發(fā)展為多種形式，比如，最小核仁、弱核仁、比例核仁等。盡管在經(jīng)典合作對策中，核心、核仁等解概念要么包含很多(甚至是無窮多)個元素，要么一個也沒有即為空集，我們?nèi)匀幌Ｍ趨^(qū)間值合作對策中尋找其核心解，給出核心解存在的條件，并討論其重要性質(zhì)。本文的主要工作是提出區(qū)間值合作對策的最小二乘法預(yù)核仁和核仁，并討論諸如存在性、可加性、匿名性等區(qū)間值合作對策解的一些重要性質(zhì)。與供應(yīng)鏈合作利益分配同類研究[25-26]相比較，本文提出的模型與方法考慮了供應(yīng)鏈節(jié)點企業(yè)開展合作時經(jīng)常出現(xiàn)的模糊不確定性，著重研究聯(lián)盟的收益表示為區(qū)間數(shù)時的合作利益分配策略，不僅如此，利用多維線性拓展方法，還可將本文提出的區(qū)間值最小二乘核仁解自然拓展至聯(lián)盟收益表示為三角(梯形)模糊數(shù)以及三角(梯形)直覺模糊數(shù)的情形。容易證明，利用該方法得到的模糊合作對策的最小二乘核仁解，均具有存在性和唯一性、有效性、匿名性、對稱性等合作對策解的良好性質(zhì)。

2 預(yù)備知識

2.1 支付值為區(qū)間數(shù)的合作對策

2.2 區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁和核仁及其解概念

(1)

和

(2)

(3)

(4)

和

(5)

即，

(6)

利用同樣的方法，有，

(7)

至此，引理1得證。

根據(jù)式(1)、式(4)和式(6)，結(jié)合區(qū)間值運算規(guī)則[27]，式(3)可改寫成如下形式：

(8)

3基于平方超量的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁和核仁的二次規(guī)劃求解方法

3.1 考慮有效性的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁

引理2 區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁是基于最小化平方超量之和且滿足有效性的區(qū)間值合作對策的一種分配方案，解二次規(guī)劃模型(8)便可得區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁。

證明 根據(jù)拉格朗日乘子法，模型(8)可寫成如下形式，

(9)

和

(10)

由于

(11)

根據(jù)式(9)和(11)，可得，

又因為

(12)

(13)

其中，s表示聯(lián)盟S?N的個數(shù)。

將式(13)代入式(12)，有，

(14)

(15)

下面，我們討論區(qū)間值合作對策的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁的一些重要性質(zhì)。

證明 根據(jù)式(14)和(15)，定理1直接得證。

證明 根據(jù)式(14)和(15)，結(jié)合區(qū)間值運算規(guī)則[25]，有，

證明 根據(jù)式(14)，有，

證明 對于局中人i∈N和k∈N(i≠k)，根據(jù)式(14)，有，

和

證明 由式(14)和(15)，定理5容易得證 (證明過程略)。

3.2 同時考慮有效性和個體合理性的區(qū)間值最小二乘法核仁

(16)

(17)

特別地，令mL=mR=0,很明顯可看出，模型(8)的區(qū)間值最優(yōu)解等價于模型(18)的區(qū)間值最優(yōu)解，即，

(18)

模型(16)的區(qū)間值最優(yōu)解等價于模型(19)的區(qū)間值最優(yōu)解，即，

(19)

區(qū)間值最小二乘法核仁的下界和上界的算法流程分別如圖1、2所示。

圖1 區(qū)間值最小二乘法核仁下界算法流程

圖2 區(qū)間值最小二乘法核仁上界算法流程

結(jié)合上面的討論，給出求解區(qū)間值最小二乘法核仁的步驟框圖，如圖3所示。

圖3 區(qū)間值最小二乘法核仁的求解框圖

4 供應(yīng)鏈合作創(chuàng)新利益分配實例應(yīng)用

由于現(xiàn)實經(jīng)濟管理活動存在諸多不確定性和模糊性，區(qū)間值合作對策在經(jīng)濟、政治、管理、環(huán)境等多個領(lǐng)域均有著廣泛應(yīng)用。下面結(jié)合供應(yīng)鏈合作創(chuàng)新中的利益分配問題，驗證本文所提方法的實用性和合理性。

4.1 案例背景描述

根據(jù)式(14)，可得區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁的下界，即，

利用同樣的方法，可計算得到，

根據(jù)算法1，有，

令局中人1所分配得到的收益為0，將-1.5625平均分攤給局中人2，3和4，得，

40.4167,41.6667)T

78.125)T

[37.9167,70.625],[40.4167,83.125],[41.6667,78.125])T,

即，四個節(jié)點企業(yè)的區(qū)間值收益分別為：

4.2 計算結(jié)果分析

在本例中，假設(shè)四個節(jié)點企業(yè)均無法單獨研發(fā)新產(chǎn)品，即，如果供應(yīng)鏈協(xié)同創(chuàng)新系統(tǒng)中的四個節(jié)點企業(yè)不尋求合作，他們將無法獲得任何收益。然而，通過參與大聯(lián)盟聯(lián)合開發(fā)新產(chǎn)品后，四個節(jié)點企業(yè)均獲得了極為可觀的收入。具體如下：通過合作，原材料供應(yīng)商(即局中人1)能獲得最少為0、最多為18.125的收益；生產(chǎn)商(即局中人2)能獲得最少為37.9167、最多為70.625的收益；分銷商(即局中人3)能獲得最少為40.4167、最多為83.125的收益；零售商(即局中人4)能獲得最少為41.6667、最多為78.125的收益。根據(jù)Moore[25]的區(qū)間值運算規(guī)則，可知四個節(jié)點企業(yè)參與合作獲得的區(qū)間值收益均遠遠大于單干時的收益，即，最終分配結(jié)果滿足個體合理性。

為驗證本文所提的模型和方法的合理性和有效性，用Lingo軟件對上述實例進行求解。根據(jù)式(19)，在代碼窗口中編寫如下語句：

min=(xL1-0)2+(xR1-0)2+(xL2-0)2+(xR2-0)2+(xL3-0)2+(xR3-0)2+(xL4-0)2+(xR4-0)2+(xL1+xL2-0)2+(xR1+xR2-0)2+(xL1+xL3-0)2+(xR1+xR3-0)2+(xL1+xL4-0)2+(xR1+xR4-0)2+(xL2+xL3-80)2+(xR2+xR3-110)2+(xL2+xL4-80)2+(xR2+xR4-100)2+(xL3+xL4-80)2+(xR3+xR4-120)2+(xL1+xL2+xL3-85)2+(xR1+xR2+xR3-130)2+(xL1+xL2+xL4-90)2+(xR1+xR2+xR4-120)2+(xL1+xL3+xL4-100)2+(xR1+xR3+xR4-150)2+(xL2+xL3+xL4-100)2+(xR2+xR3+xR4-150)2+(xL1+xL2+xL3+xL4-120)2+(xR1+xR2+xR3+xR4-250)2;

xL1+xL2+xL3+xL4=120;

xR1+xR2+xR3+xR4=250;

點擊Lingo軟件的Solve按鈕，可得到與用算法1、2求解完全一致的結(jié)果。

5 結(jié)語

本文提出的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁和核仁的求解方法具有如下4個明顯優(yōu)點：

(1)方便、快捷、計算量小。據(jù)式(14)、(15)及算法1、2，可快速獲得區(qū)間值合作對策的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁和核仁。

(2)有效避免區(qū)間值減法運算。本文提出的方法未直接使用區(qū)間值減法運算，可有效避免由于區(qū)間值減法運算導(dǎo)致的不確定性放大等問題。

(3)分配結(jié)果合理、有效。利用部分現(xiàn)有區(qū)間值合作對策的求解方法，局中人分配得到的收益可能為負值，這不符合實際情況。運用本文所提方法，特別是區(qū)間值最小二乘法核仁，能確保局中人獲得非負收益。

(4) 提出的解滿足若干合作對策解的重要性質(zhì)。本文提出的區(qū)間值最小二乘法預(yù)核仁和核仁滿足諸如存在性、唯一性、有效性、可加性、對稱性、匿名性等良好的性質(zhì)。

本文所提方法可以很好的解決合作聯(lián)盟產(chǎn)生的收益為區(qū)間值時的供應(yīng)鏈合作利益分配問題，并且可以運用到經(jīng)濟、軍事、環(huán)境、教育、科技等其他具有模糊性和不確定性的復(fù)雜合作聯(lián)盟中，為其合作利益的分配提供一種新的行之有效的解決方法。盡管如此，在現(xiàn)實的很多經(jīng)濟管理問題中，有時用區(qū)間值難以貼切地表達其中的模糊性和不確定性?，F(xiàn)實中的各種經(jīng)濟管理系統(tǒng)不僅涉及系統(tǒng)內(nèi)部的人、物、資金、資源、信息等眾多要素，而且涉及系統(tǒng)外的政策、環(huán)境、人文、社會習(xí)俗與行為規(guī)范等多種因素。特別地，經(jīng)濟管理系統(tǒng)不僅涉及到人，而且人是作為經(jīng)濟管理系統(tǒng)的決策主體。決策主體行為的復(fù)雜性、目標(biāo)的多樣性、知識經(jīng)驗的局限性等，進一步增加了經(jīng)濟管理系統(tǒng)的復(fù)雜不確定性。在此情境下，運用具有兩標(biāo)度特征的直覺模糊集能更加細膩、有效、貼切地刻畫模糊性，因此，聯(lián)盟值(或特征函數(shù))表示為直覺模糊數(shù)的合作對策預(yù)核仁解和核仁解將是進一步研究的重要方向。

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