淺談二次根式的運(yùn)算教學(xué)

摘要：二次根式概念的理解辨析;二次根式運(yùn)算法則及公式;運(yùn)算中常見(jiàn)錯(cuò)誤的分析;如何提高二次根式運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：二次根式;運(yùn)算法則及公式;常見(jiàn)錯(cuò)誤;運(yùn)算能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生們往往會(huì)淡化學(xué)生的計(jì)算問(wèn)題，甚至認(rèn)為計(jì)算錯(cuò)誤僅僅是粗心、失誤，其實(shí)上了中學(xué)以后，計(jì)算能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)能力要求不可或缺的重要部分，特別是二次根式的運(yùn)算，因數(shù)域拓展到實(shí)數(shù)，很多學(xué)生會(huì)停留在小學(xué)中的整數(shù)或分?jǐn)?shù)運(yùn)算模式中，沒(méi)有將數(shù)的運(yùn)算提升到“式”的運(yùn)算模型，導(dǎo)致運(yùn)算過(guò)程的種種錯(cuò)誤，如果不及時(shí)糾正引導(dǎo)，對(duì)以后的分式運(yùn)算、因式分解、解方程或不等式等都產(chǎn)生直接的影響，那么如何過(guò)好二次根式的運(yùn)算關(guān)呢？

一、 重視概念的理解辨析

數(shù)學(xué)概念定義作為知識(shí)模塊的基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中務(wù)必重視，分析到位，辨析清楚，后面的運(yùn)算法則、公式才能得以引出應(yīng)用。在與二次根式運(yùn)算相關(guān)的概念中，有兩個(gè)特別關(guān)鍵，一個(gè)是“平方根”，一個(gè)是“最簡(jiǎn)二次根式”：若一個(gè)數(shù)x，它的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x=±a。注意兩點(diǎn)：A. 它與平方是逆運(yùn)算，但不是一對(duì)一的逆運(yùn)算，即“一個(gè)數(shù)的平方的平方根不一定是本身，一個(gè)數(shù)的平方根的平方是原數(shù)！”剛開始學(xué)習(xí)學(xué)生對(duì)這一關(guān)系不好理解，可以舉個(gè)例子：小明的父親的兒子不一定是小明（可能是小明的兄弟）;張三的兒子的父親一定是張三！B. 它與算術(shù)平方根有區(qū)別，也就是±a與a的區(qū)別，算術(shù)平方根概念中是“一個(gè)正數(shù)x”，結(jié)果就是a。一個(gè)典型的例子：4的平方根是。（是±2，而不是2）

最簡(jiǎn)二次根式是指被開方數(shù)不含分母（其實(shí)還應(yīng)指出分母不含根式），也不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式。有關(guān)二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算首先應(yīng)將它們化為最簡(jiǎn)二次根式，而是否最簡(jiǎn)不是看形式結(jié)構(gòu)，而是上述概念中的兩個(gè)要求，例如12、15貌似簡(jiǎn)潔但不是最簡(jiǎn)。若遇到形如12+13的運(yùn)算必須將兩個(gè)數(shù)都化為最簡(jiǎn)二次根式，否則無(wú)法進(jìn)行求和。

二、 熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則及公式

A. 乘除運(yùn)算法（用字母表示，下同）：a·b=ab，（a≥0，b≥0），ab=ab，（a≥0，b>0）。這兩個(gè)法則是通過(guò)驗(yàn)算得到的，學(xué)生接受起來(lái)不難，但是不少同學(xué)會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為a+b=a+b或a-b=a-b！這是錯(cuò)誤的！可以通過(guò)多舉一些反例如：4+9≠4+9加以說(shuō)明。另外，還要注意a、b的取值范圍，特別是從左往右運(yùn)算的時(shí)候。

B. 加減運(yùn)算法：ma±na=（m±n）a。二次根式的加減運(yùn)算類似于合并同類項(xiàng)，但要求先化簡(jiǎn)，只有化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，才能進(jìn)行加減合并。教師教學(xué)過(guò)程中必須把A、B兩種運(yùn)算做全面對(duì)比，還要與整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行對(duì)比，才能更好掌握運(yùn)算法則，防止運(yùn)算錯(cuò)誤。

C. 乘方開方運(yùn)算法則：（a）2=a，a2=|a|。第一個(gè)式子可直接由概念引出，結(jié)合例子如（4）2=4，（7）2=7等理解。第二個(gè)式子特別難！學(xué)生很容易誤認(rèn)為a2=a。應(yīng)通過(guò)多幾個(gè)正反例子增加印象，并把例子適當(dāng)變形升級(jí)，如52=5;（-5）2=5;（x2+1）2=x2+1，（π-4）2=|π-4|=4-π。兩個(gè)乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，（a+b）（a-b）=a2-b2對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算幫助很大，必須熟練掌握！例如化簡(jiǎn)13-2，必須利用平方差公式將分子分母同乘3+2，才能化為最簡(jiǎn)：13-2=3+2（3-2）（3+2）=3+23-4=-3-2。而對(duì)于形如（25+2）2的運(yùn)算，應(yīng)注意利用公式當(dāng)成“式子”展開進(jìn)行：（25+2）2=（25）2+2×25×2+（2）2=20+410+2=22+410。

三、 常見(jiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤舉例分析

在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在進(jìn)行二次根式運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況五花八門，簡(jiǎn)直是應(yīng)有盡有、匪夷所思！但仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，主要是概念、法則理解掌握不牢，或與其他法則混淆。例如：

①2+3=5，錯(cuò)誤原因：與2×3=6混，運(yùn)算法則沒(méi)理解。

②57-37=2，錯(cuò)誤原因：合并同類項(xiàng)運(yùn)算不過(guò)關(guān)，丟失了7，它與5a-3a的運(yùn)算是類似的。

③（7-2）2=72-22=7-2=5，錯(cuò)誤原因：一方面表達(dá)不規(guī)范，（7）2，（2）2應(yīng)帶括號(hào);另一方面，乘法公式運(yùn)用錯(cuò)誤，漏了中間項(xiàng)。

④116=18，錯(cuò)誤原因：概念不清或誤以為82=16。

⑤9的平方根是。錯(cuò)誤答案一：3;錯(cuò)誤原因是直接求9=3。錯(cuò)誤答案二：±3，錯(cuò)誤原因是沒(méi)有將9的平方根與9的平方根區(qū)別開來(lái)。

⑥323+12-2=2+23-2=2，錯(cuò)誤原因：在化簡(jiǎn)323時(shí)，將根號(hào)內(nèi)外的3進(jìn)行約分了！

四、 如何提高二次根式的運(yùn)算能力

針對(duì)以上學(xué)生出現(xiàn)的二次根式運(yùn)算問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要注意運(yùn)算能力（準(zhǔn)確程度、合理程度、簡(jiǎn)捷程度及快慢程度）的培養(yǎng)！讓學(xué)生準(zhǔn)確理解和牢固掌握二次根式運(yùn)算所需的概念、公式、法則，注意例題的典型示范，明確解題的目標(biāo)、計(jì)算的步驟及其依據(jù)。通過(guò)典型示范比較順利的由理解知識(shí)，過(guò)渡到應(yīng)用知識(shí)，從而形成運(yùn)算能力。并時(shí)刻注意與其他知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比，如與整式運(yùn)算、與有理數(shù)運(yùn)算的對(duì)比。當(dāng)然，加強(qiáng)二次根式的運(yùn)算練習(xí)是必不可少的，任何能力都是在一定的實(shí)踐活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的，為了有效提高學(xué)生二次根式運(yùn)算能力就必須加強(qiáng)練習(xí)，我們?cè)谠O(shè)置練習(xí)時(shí)要有目的性、系統(tǒng)性、典型性。通過(guò)錯(cuò)題重做、一題多變、一題多改，培養(yǎng)運(yùn)算的準(zhǔn)確性、熟練性、靈活性，以題組訓(xùn)練形式培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中思維的深刻性，那么就一定能讓學(xué)生在二次根式運(yùn)算能力方面有一個(gè)全面的提高。

作者簡(jiǎn)介：

沈明俊，福建省漳州市，福建省詔安第一中學(xué)。