立足教材 延伸課外

秦進(jìn) 陳明 張少華 代姍妮 簡(jiǎn)萱慧

基金項(xiàng)目：貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目（黔科合LH字（2015）7042號(hào)）。

摘要：教科書(shū)是根本，既要重視教材基本知識(shí)的普及，又要注重能力的提高，要對(duì)教材真正理解。本文從對(duì)教材的觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)、拓展內(nèi)容和思想延伸等幾個(gè)方面闡述了教材延伸是十分必要。

關(guān)鍵詞：教材;內(nèi)容;延伸

幾何內(nèi)容是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程重要的組成部分，教育部于2001年7月正式頒布了《全日制義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，在《標(biāo)準(zhǔn)》中將幾何作為重要的內(nèi)容列入到我國(guó)義務(wù)教育各階段的數(shù)學(xué)課程。義務(wù)教育階段七至九年級(jí)人教版、北師大版、華師大版等教科書(shū)中的幾何內(nèi)容比較接近，人教版安排在第四、第五、第六、第七、第十一章等共十三章。教科書(shū)中幾何內(nèi)容主要涉及圖形的認(rèn)識(shí)初步、平面直角坐標(biāo)系、勾股定理、投影與視圖等。教師應(yīng)該站在高度來(lái)審視教材，根據(jù)課程的需求對(duì)教材進(jìn)行分析，特別是對(duì)教材深入理解認(rèn)識(shí)，延伸拓展。以知識(shí)重構(gòu)為切入點(diǎn)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過(guò)程，運(yùn)用“高觀(guān)點(diǎn)”分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于提升教師的專(zhuān)業(yè)能力。

一、 觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)

人教版教科書(shū)是按照“簡(jiǎn)單說(shuō)理”“說(shuō)理”“推理”“用符號(hào)表示推理”等不同層次，分階段逐步加深安排的。通過(guò)活動(dòng)認(rèn)識(shí)圖形，十分重視學(xué)生的動(dòng)手操作和參與，教育部審定（2013）人教版教科書(shū)七年級(jí)上第四章圖形的初步認(rèn)識(shí)，注重利用實(shí)物和幾何模型進(jìn)行教學(xué)，采用實(shí)物入手，展示多彩的圖形世界與幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，第119頁(yè)，筆尖可以看作一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在紙上運(yùn)動(dòng)時(shí)形成線(xiàn)，節(jié)日的焰火也可以看成有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而成的，筆尖作為一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成圓（圖1），汽車(chē)雨刮器在擋風(fēng)玻璃上畫(huà)一個(gè)扇面（圖2）。點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何基本圖形，幾何圖形可看成是點(diǎn)的集合點(diǎn)，幾何圖形也可以理解為由線(xiàn)組成，點(diǎn)和線(xiàn)兩者是相互對(duì)應(yīng)的，點(diǎn)為元素的幾何觀(guān)點(diǎn)和線(xiàn)為元素的幾何觀(guān)點(diǎn)是統(tǒng)一的。平面可以看成點(diǎn)為元素的集合，也可以看成直線(xiàn)為元素的集合;圓可以看成由點(diǎn)構(gòu)成，也可以看成由直線(xiàn)構(gòu)成，如圖3所示，線(xiàn)包絡(luò)成圓?？梢砸渣c(diǎn)為元素來(lái)表達(dá)幾何對(duì)象，事實(shí)上，我們完全可以以直線(xiàn)為元素來(lái)表達(dá)幾何對(duì)象，幾何圖形看成是直線(xiàn)的集合。

1831年，普呂克在《解析幾何論》第二部分所述，將點(diǎn)坐標(biāo)與線(xiàn)坐標(biāo)進(jìn)行類(lèi)比“對(duì)偶”的方法建立解析幾何結(jié)構(gòu)，線(xiàn)幾何的觀(guān)點(diǎn)在射影幾何中體現(xiàn)十分顯著。點(diǎn)和直線(xiàn)的地位是平等！點(diǎn)有方程，直線(xiàn)有坐標(biāo)。平面可以看成直線(xiàn)為元素組成;錐面是由一簇直線(xiàn)構(gòu)成;單葉雙曲面、拋物雙曲面以及柱面等直紋面實(shí)質(zhì)上是由直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)生成的曲面;二次曲線(xiàn)看作點(diǎn)的軌跡，也可以看作直線(xiàn)的包絡(luò)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（蘇教版）選修21中“探究·拓展”內(nèi)容就體現(xiàn)了線(xiàn)幾何的觀(guān)點(diǎn)，引進(jìn)齊次線(xiàn)坐標(biāo)，打破了中學(xué)解析幾何點(diǎn)與數(shù)組一一對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)觀(guān)點(diǎn)，將以點(diǎn)為基本元素的點(diǎn)幾何學(xué)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)為元素的幾何學(xué)。平面上的基本元素直線(xiàn)與點(diǎn)，它們之間的關(guān)系是結(jié)合關(guān)系。滿(mǎn)足三元二次方程的點(diǎn)集合稱(chēng)為二次曲線(xiàn)（二階曲線(xiàn)），滿(mǎn)足三元二次方程的直線(xiàn)集合稱(chēng)為二次曲線(xiàn)（二曲級(jí)線(xiàn)），二次曲線(xiàn)是成射影對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線(xiàn)的集合。這樣高度概括的認(rèn)識(shí)，抓住事物的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，打開(kāi)認(rèn)識(shí)的視野。

二、 思想延伸

從數(shù)學(xué)文化的角度來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思想和方法是極為重要的。變與不變的數(shù)學(xué)思想和方法就是其中之一，可以說(shuō)它貫穿義務(wù)教育階段教科書(shū)的始終。教育部審定（2013）人教版教科書(shū)八年級(jí)下第十七章勾股定理，趙爽弦圖（圖4），趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以圍成一個(gè)大的正方形，中空部分是個(gè)小正方形（黃色），通過(guò)對(duì)圖形的切割，拼接，巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.所謂的“出入相補(bǔ)”原理。此方法嚴(yán)謹(jǐn)而簡(jiǎn)潔，這種證明的方法被一些數(shù)學(xué)家稱(chēng)為“最省力的證法”，證明過(guò)程顯示了圖形間的相互關(guān)系，特別是體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學(xué)思想。劉徽注《九章算術(shù)》時(shí)，也給了證明，留下注文：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也，合成弦之冪，開(kāi)方除之，即弦也。”由于劉徽使用的弦圖已經(jīng)失傳，后世數(shù)學(xué)家只能根據(jù)這段注文進(jìn)行多種解釋與推測(cè)，清代數(shù)學(xué)家李潢的補(bǔ)圖簡(jiǎn)單明了，接近劉徽之意?！俺鋈胂嘌a(bǔ)，各從其類(lèi)”，這個(gè)原理是說(shuō)一個(gè)平面圖形從一處移到另一處，面積不變，形狀可能發(fā)生變化，體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學(xué)思想?？v觀(guān)勾股定理證明的歐幾里得證明、美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明、辛卜松證明、梅文鼎證明、楊作玫證明、李銳證明等近20種方法都體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學(xué)思想。

幾何變換用近代數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看就是“幾何運(yùn)算”，幾何變換把一個(gè)幾何圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)幾何圖形，什么變了？什么沒(méi)有變？共同的屬性是變中有不變！教科書(shū)九年級(jí)下第二十九章投影，涉及平行投影與中心投影等。陽(yáng)光透過(guò)長(zhǎng)方形玻璃窗平行投影到地面上，地面上出現(xiàn)一個(gè)明亮的四邊形（如圖5），我們應(yīng)該關(guān)注這個(gè)幾何變換中的不變量與不變性質(zhì);如圖6，此中心投影將三角形變?yōu)槿切危螤顩](méi)有發(fā)生變化，三角形還是三角形，但是三角形的角的大小，邊的長(zhǎng)度可能發(fā)生變化了。用變換群去研究相應(yīng)的幾何學(xué)，闡述了幾何學(xué)的本質(zhì)是變中有不變，既要抓不變量與不變性質(zhì)的“不變”，又要抓量與性質(zhì)的“變”。多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，而多邊形的外角和恒等于360度;又如，等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和是常數(shù)（定值）等等均蘊(yùn)含變與不變的數(shù)學(xué)思想。

三、 內(nèi)容拓展

人教版教科書(shū)第二十四章圓安排了探索四點(diǎn)共圓的條件，利用探究過(guò)程，歸納出證明四點(diǎn)共圓的方法主要有四種：一是如果四點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，那么這四點(diǎn)共圓;二是四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;三是如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;四是如果兩個(gè)三角形有公共邊，公共邊所對(duì)的角相等，且在公共邊的同側(cè)兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，通過(guò)實(shí)踐探索對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行拓展。

第十三章中的軸對(duì)稱(chēng)中的最短路線(xiàn)問(wèn)題，可以延伸到作圖問(wèn)題，拓展到對(duì)稱(chēng)變換、平移變換以及旋轉(zhuǎn)變換等進(jìn)行理解，體會(huì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)圖形之間的關(guān)系。如圖7，左腳印和右腳印中鏈接一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分?？梢岳斫鉃橛夷_印可以通過(guò)左腳印經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換得到的。其中，P點(diǎn)變?yōu)镻′，這一對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)段被l平分。第二十七章相似中涉及長(zhǎng)度的測(cè)量，測(cè)量離不開(kāi)單位。測(cè)量長(zhǎng)度的常用工具有游標(biāo)卡尺、鋼卷尺、木尺等，如果測(cè)量的精度要求不高，可以用步長(zhǎng)、肘、拃（如圖8）來(lái)測(cè)量距離。測(cè)量依賴(lài)于測(cè)量工具，歸根結(jié)底緊緊依賴(lài)于單位！數(shù)軸的三要素坐標(biāo)原點(diǎn)、正方向以及長(zhǎng)度單位，單位取得不一樣，坐標(biāo)不一樣，直角坐標(biāo)系亦如此。直角坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)仿射變換后得到新的坐標(biāo)系——仿射射坐標(biāo)系的x軸與y軸的單位長(zhǎng)度也未必一樣。把一個(gè)正三角形分為全等的四個(gè)小正三角形，去掉中間一個(gè)正三角形，對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形再分別重復(fù)以上做法……將這種做法繼續(xù)下去，就能得到小格子越來(lái)越多謝爾賓斯基地毯（如圖9）。這個(gè)圖的大大小小的三角形之間關(guān)系是相似，局部與整體之間是自相似的關(guān)系。

圖7腳印圖8手的拃圖9Sierpinsk墊片

這種現(xiàn)象廣泛存在，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復(fù)雜而且不規(guī)則的。例如，海岸線(xiàn)、樹(shù)木、閃電、海浪等等，它們?cè)跉W氏幾何領(lǐng)域不可度量，而分?jǐn)?shù)維恰好反映了這種不規(guī)則性和復(fù)雜性。從傳統(tǒng)的幾何學(xué)出發(fā)，用什么樣的尺子都很難測(cè)量很復(fù)雜的幾何對(duì)象。從分形幾何學(xué)出發(fā)，我們用一個(gè)看起來(lái)很復(fù)雜的測(cè)量單位去測(cè)量幾何對(duì)象，所得的結(jié)果卻十分簡(jiǎn)單。

用好教材，必須真正理解教材，把握內(nèi)容之間的聯(lián)系，從另外一個(gè)視角來(lái)審視教材，注重觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)、拓展內(nèi)容和思想延伸顯得尤為必要。

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作者簡(jiǎn)介：

秦進(jìn)，陳明，張少華，代姍妮，貴州省遵義市，遵義師范學(xué)院;

簡(jiǎn)萱慧，貴州省遵義市，遵義市第十六中學(xué)。