海倫三角數(shù)

所謂“海倫三角形”是這樣一類三角形：其三邊的邊長(zhǎng)及面積的數(shù)值都是正整數(shù)。而如果海倫三角形△ABC對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c則a，b，c稱為一組“海倫三角數(shù)”，我們簡(jiǎn)稱之為“海倫數(shù)”。為方便計(jì)，在以下的討論中我們總是假定三角形△ABC的最大角是角C。

為了便于論述，我們把三條邊的邊長(zhǎng)及面積均為有理數(shù)的三角形稱為“準(zhǔn)海倫三角形”，相應(yīng)的邊長(zhǎng)為a，b，c稱為“準(zhǔn)海倫三角數(shù)”，簡(jiǎn)稱為“準(zhǔn)海倫數(shù)”。相似地，如果一個(gè)直角三角形的三邊均為有理數(shù)，則稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)勾股三角形”，稱這組數(shù)為“準(zhǔn)勾股數(shù)”。根據(jù)勾股數(shù)所滿足的公式（不熟悉這方面內(nèi)容的讀者可參考相關(guān)資料，例如本刊2015年第10期），我們不難得到如下結(jié)論：

結(jié)論1 任意一組勾股數(shù)都是一組海倫數(shù)，任意一組準(zhǔn)勾股數(shù)都是一組準(zhǔn)海倫數(shù)。

另一方面，如果海倫三角形A對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c從角C作AB的垂線CD，則由于邊長(zhǎng)與海倫三角形的面積都是正整數(shù)，因此這條垂線CD的長(zhǎng)度h是有理數(shù)。同時(shí)，由余弦定理知cosA是有理數(shù)，所以線段AD也是有理數(shù)，故垂線CD將底邊c分成兩個(gè)有理數(shù)。也就是說，垂線CD把△ABC分割成兩個(gè)直角三角△ACD和△BCD，它們的邊長(zhǎng)是兩組有理數(shù)。因此有：

結(jié)論2 任何海倫三角形都由兩個(gè)準(zhǔn)勾股三角形拼接而成。

下面我們來研究海倫數(shù)的構(gòu)造。設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)三邊分別為a，b，c，s為△ABC的半周長(zhǎng)，r為其內(nèi)切圓半徑，S為面積。其中a，b，c及S都是正整數(shù)。endprint