小學(xué)“方程”教學(xué)現(xiàn)狀及重構(gòu)分析

傅贏芳

【摘 要】小學(xué)的方程學(xué)習(xí)是學(xué)生形成初步的代數(shù)思維的重要一步，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是要領(lǐng)悟方程的本質(zhì)。梳理已有關(guān)于“方程”意義的教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)，盡管教師對(duì)方程的認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確合理，但是教學(xué)設(shè)計(jì)卻沒(méi)能很好地體現(xiàn)方程本質(zhì)。為此，教師應(yīng)從“基于問(wèn)題解決”以及“基于未知量參與計(jì)算”這兩個(gè)本質(zhì)屬性考慮重構(gòu)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)。

【關(guān)鍵詞】方程；本質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

關(guān)于方程的教學(xué)，在20世紀(jì)90年代末，陳重穆先生就提出了一個(gè)觀點(diǎn)：“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。對(duì)于方程而言，要淡化的是“含有未知數(shù)的等式”這一定義。他指出，“不必在文字?jǐn)⑹錾舷鹿Ψ颍灰堰@些敘述當(dāng)成方程的正式定義，予以拔高”[1]。張奠宙先生也多次撰文強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，2011年，他對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些科學(xué)性問(wèn)題進(jìn)行了分析，其中就指出這一定義“只談了方程的表面，實(shí)在不重要”。同時(shí)，他還指出方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系[2]。2014年，他再次撰文強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)[3]。

那么，數(shù)學(xué)教師是否理解方程的本質(zhì)？是否以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式向?qū)W生詮釋方程的本質(zhì)呢？

一、現(xiàn)狀分析：教師對(duì)“方程”的認(rèn)識(shí)及教學(xué)設(shè)計(jì)

從相關(guān)的教學(xué)論文來(lái)看，小學(xué)數(shù)學(xué)教師普遍意識(shí)到“含有未知數(shù)的等式”這一定義是一種形式定義。同時(shí)，教師也明確了方程的本質(zhì)是一種問(wèn)題的解決過(guò)程，它不同于算術(shù)之處，在于方程對(duì)未知量與已知量一視同仁。

另一方面，分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)期刊中有關(guān)方程意義的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)，大致可以分為三類：（1）借助于天平，從“等價(jià)”以及“數(shù)量關(guān)系”著手生成方程，進(jìn)而概括屬性特征；（2）借助于情境產(chǎn)生等式與不等式以及方程，經(jīng)過(guò)兩次分類，進(jìn)而篩選出課程學(xué)習(xí)的主題詞“方程”；（3）用以前接觸到的“20÷□=4”這樣的式子來(lái)引入。那么，這些設(shè)計(jì)是否反映教師已經(jīng)理解方程的本質(zhì)？

（一）“天平”是否反映方程本質(zhì)

不同版本的教材在編排方程內(nèi)容時(shí)，都用到了“天平”這一情境，因此，教師在教學(xué)過(guò)程中也用到了“天平”或者天平的變體“蹺蹺板”。這可能與天平平衡狀態(tài)下兩邊質(zhì)量相等這一特征密不可分。當(dāng)數(shù)值從天平中抽象出來(lái)以后，自然就變成了左右兩邊相等的式子。因此，教師能很自然地突出式子兩邊等價(jià)這一屬性。延拓開來(lái)，就是在列方程過(guò)程中，需要找到這樣一種特殊的數(shù)量關(guān)系（等量關(guān)系）。那么，這是方程的本質(zhì)嗎？

誠(chéng)然，明確數(shù)量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵步驟。教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，也非常重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。但是，重要步驟是否就是方程的本質(zhì)？反過(guò)來(lái)想，在運(yùn)用算術(shù)方法求解問(wèn)題的過(guò)程中是否也存在數(shù)量關(guān)系的識(shí)別與運(yùn)用？在運(yùn)用算術(shù)方法求解問(wèn)題的過(guò)程中，實(shí)質(zhì)上是對(duì)原來(lái)的數(shù)量關(guān)系結(jié)合具體情境進(jìn)行了推理，使得未知量可以直接表示成已知量的某種或某幾種運(yùn)算的結(jié)果。但是，運(yùn)用方程方法求解問(wèn)題，卻只要直接寫出數(shù)量關(guān)系式，不必對(duì)數(shù)量關(guān)系本身的情境進(jìn)行推理（實(shí)際上是延后到了解方程中）。由此看來(lái)，數(shù)量關(guān)系的存在與否并不是構(gòu)成方程的核心或本質(zhì)。

從這個(gè)角度來(lái)看，用“天平”這一情境去引出方程并不能揭示它的本質(zhì)屬性。

（二）“用字母表示未知數(shù)”是否反映方程本質(zhì)

在現(xiàn)行的多版本教材中，都將“用字母表示數(shù)”作為“方程”這一課時(shí)的前提知識(shí)來(lái)編排。從知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)講，有其合理性。因?yàn)榉匠讨斜厝簧婕拔粗獢?shù)的表達(dá)和運(yùn)算，因此，提前學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”會(huì)有助于學(xué)生更快掌握方程內(nèi)容。

在這種框架下，很多教師在教學(xué)“方程”時(shí)，會(huì)盡可能把未知數(shù)引出來(lái)，以此得到方程形式定義中的又一屬性。但是，我們同樣需要反思，這個(gè)屬性是方程本質(zhì)嗎？

首先，用字母表示數(shù)，并不是方程所獨(dú)有的特征。在很多公式、規(guī)律或函數(shù)等的表達(dá)中，都會(huì)借助于字母來(lái)表示更一般的情形。比如，借助a+b=b+a來(lái)替代文字?jǐn)⑹觥粨Q兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變；借助于c=4a來(lái)表示正方形的周長(zhǎng)公式。其次，從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來(lái)看，方程思想的出現(xiàn)早于用字母表示數(shù)。遠(yuǎn)在公元前3000多年的古埃及文化中，就出現(xiàn)了一元一次方程形式，但直到十六七世紀(jì)，隨著笛卡爾和韋達(dá)的工作，用字母來(lái)表示數(shù)才得以規(guī)范化。

如此看來(lái)，用字母表示未知數(shù)也并不是方程的本質(zhì)，未知數(shù)可以用其他內(nèi)容物來(lái)表示。

（三）文字題20÷□=4是否反映方程本質(zhì)

張奠宙先生指出，方程是用以求解問(wèn)題的。僅從這一點(diǎn)來(lái)看，20÷□=4只是形式上與方程相像，與方程并沒(méi)有實(shí)質(zhì)的聯(lián)系。之所以這樣講，原因有二：其一，文字題缺乏情境，無(wú)須學(xué)生產(chǎn)生“要將未知數(shù)與已知數(shù)并列，并同等對(duì)待”的意識(shí)；其二，文字題是為練習(xí)乘法口訣而設(shè)，不涉及現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的意識(shí)與呈現(xiàn)。一言以蔽之，它充其量具有了現(xiàn)代方程的形式，卻不具備其精髓。因此，若是從這里引入方程，也還是落入了形式的窠臼。

因此，就現(xiàn)狀來(lái)看，教師雖然能準(zhǔn)確理解方程的本質(zhì)，但很難將其在教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)出來(lái)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的重構(gòu)：基于對(duì)方程的知識(shí)本質(zhì)

方程的本質(zhì)屬性可分為兩點(diǎn)：（1）方程的出現(xiàn)是基于問(wèn)題解決的。（2）區(qū)別于同樣是指向問(wèn)題解決的算術(shù)方法，方程的典型特征是承認(rèn)未知量與已知量具有同等地位，允許未知量參與計(jì)算。因此，方程教學(xué)的設(shè)計(jì)應(yīng)著重突破這兩個(gè)本質(zhì)屬性。

（一）基于問(wèn)題解決的本質(zhì)屬性進(jìn)行情境設(shè)計(jì)

方程是解決問(wèn)題的一種模型或方法，它與算術(shù)方法互為補(bǔ)充。因此，從這個(gè)特征出發(fā)，需要思考的教學(xué)問(wèn)題是：既然已經(jīng)有算術(shù)方法，為什么還需要引入方程方法來(lái)解決問(wèn)題？教師首先要從學(xué)理層面弄清楚這個(gè)問(wèn)題，并用情境將思考的結(jié)果體現(xiàn)出來(lái)，以引起學(xué)生的思考，最終使學(xué)生明白方程學(xué)習(xí)的意義所在。進(jìn)一步地，從認(rèn)知心理的角度來(lái)看，要使學(xué)生跳出原有方法的框架體系，以產(chǎn)生尋求新方法的意識(shí)，必然是處在一個(gè)認(rèn)知沖突的過(guò)程中的。也就是說(shuō)，教師需要構(gòu)建用算術(shù)方法較難解決的問(wèn)題。比如丟番圖的墓志銘就是一個(gè)很好的情境。由于這個(gè)情境比較復(fù)雜，在實(shí)際教學(xué)中，也可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，比如下面是一種簡(jiǎn)化的例子。

偉大的丟番圖一生的六分之一是幸福的童年，24年后，他有了孩子，可惜的是，他的孩子只活了父親壽命的一半。丟番圖把喪子之痛轉(zhuǎn)化為研究數(shù)學(xué)的動(dòng)力，就這樣又過(guò)了4年，他壽終正寢。

再比如，下面這個(gè)情境是根據(jù)北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下教科書的習(xí)題改編的，情境也符合設(shè)置要求。

一輛公交車到達(dá)某個(gè)站點(diǎn)時(shí)，下去了一半的人，又上來(lái)18位乘客，最后車上的人數(shù)是原有人數(shù)的兩倍。請(qǐng)問(wèn)公交車到達(dá)該站點(diǎn)前，原有多少人？

（二）基于未知量參與計(jì)算的本質(zhì)屬性進(jìn)行教學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)

當(dāng)尋求新方法的需求產(chǎn)生時(shí)，教師如何引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生產(chǎn)生“把未知量當(dāng)成已知的，進(jìn)而把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系直接表示出來(lái)”的想法至關(guān)重要。以簡(jiǎn)化后的丟番圖的墓志銘為例，分析如何引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“表示未知量”的意識(shí)，產(chǎn)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化的意識(shí)。

提問(wèn)的前提是假設(shè)學(xué)生無(wú)法用算術(shù)方法求解簡(jiǎn)化后的墓志銘問(wèn)題。

啟發(fā)式提問(wèn)1：現(xiàn)在，大家感到困難的地方在哪里？

目的是弄清楚現(xiàn)狀，并具體地表述出問(wèn)題所在。預(yù)設(shè)是學(xué)生能最終清晰地找到困難之處——無(wú)法用已知的數(shù)據(jù)直接算出丟番圖的年齡。如果一次無(wú)法達(dá)到預(yù)設(shè)，則分層次分析學(xué)生的回答，并進(jìn)一步引導(dǎo)，直至得到預(yù)設(shè)。

啟發(fā)式提問(wèn)2：現(xiàn)在我們無(wú)法直接算出丟番圖的年齡。那么，我們退回去重新思考：題目所給條件是否能算出丟番圖的年齡？

目的是對(duì)學(xué)生進(jìn)行潛移默化的數(shù)學(xué)思考的影響，當(dāng)我們的思路受阻時(shí)，回到問(wèn)題的最初狀態(tài)，重新審視問(wèn)題。預(yù)設(shè)是學(xué)生能給出肯定回答。

啟發(fā)式提問(wèn)3：是什么讓你堅(jiān)信能解出丟番圖的年齡？

目的是引導(dǎo)學(xué)生將焦點(diǎn)放在問(wèn)題所給的數(shù)量關(guān)系上。預(yù)設(shè)是學(xué)生會(huì)把題目中的數(shù)量關(guān)系重新表述一遍。

啟發(fā)式提問(wèn)4：既然這種數(shù)量關(guān)系如此重要，你能否用適當(dāng)?shù)姆椒ò阉硎境梢粋€(gè)數(shù)學(xué)式子？

目的是出現(xiàn)方程，未知數(shù)的表示可以任意。預(yù)設(shè)是學(xué)生能用文字加數(shù)字等方式表示出式子。未知部分也可以用任意符號(hào)占位。比如：

丟番圖的年齡×[16+24+丟番圖的年齡×12+4=丟番圖的年齡]。

啟發(fā)式提問(wèn)5：我們求丟番圖年齡的問(wèn)題現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成了什么問(wèn)題？

目的是使學(xué)生產(chǎn)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的意識(shí)。預(yù)設(shè)是學(xué)生能知道，現(xiàn)在只要能求出式子中的“丟番圖的年齡”或“[■]”即可。

解說(shuō)：像這樣的式子，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)它們非常常見(jiàn)，所以需要專門拿出來(lái)進(jìn)行研究。數(shù)學(xué)家們把它命名為“方程”，解答式子中未知數(shù)的值的過(guò)程則稱為“解方程”。

在解說(shuō)之前，教師可以根據(jù)課堂各要素綜合考慮是否插入若干個(gè)類似情境，以感受“這種式子的常見(jiàn)性”。

啟發(fā)式提問(wèn)6：解方程的問(wèn)題我們留到后面討論，今天首先把方程弄明白。這個(gè)叫作“方程”的數(shù)學(xué)對(duì)象與我們之前接觸到的“算式”有什么不同呢？

引例：已知丟番圖的孩子的壽命是42歲，他只活了丟番圖壽命的一半，請(qǐng)問(wèn)丟番圖的壽命是多少？42[÷1/2]=84。

目的是在感受方程產(chǎn)生必要性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確方程方法與算術(shù)方法的區(qū)別。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳重穆，宋乃慶. 淡化形式，注重實(shí)質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2（2）：4-9.

[2] 張奠宙. 小學(xué)數(shù)學(xué)中若干科學(xué)性問(wèn)題的探討（上）[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2011（1）：6-9.

[3] 張奠宙. 把數(shù)學(xué)思想方法適當(dāng)?shù)卣f(shuō)出來(lái)[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（10）：4-6.

（深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 518060）