小數(shù)比較大小錯誤分析

王露 郜舒竹

【摘 要】小學(xué)生在比較不同位數(shù)小數(shù)大小時會出現(xiàn)“越長越大”的錯誤，目前對這種錯誤的解釋主要停留在比較表面的層次，而“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律從學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗出發(fā)，解釋了錯誤背后更深層次的原因。在此基礎(chǔ)上，可以利用直覺規(guī)律設(shè)計教學(xué)活動，設(shè)置認知“沖突”，弱化直覺規(guī)律對學(xué)生的影響。

【關(guān)鍵詞】直覺規(guī)律；小數(shù)比較；錯誤

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)錯誤，是一種必然而且普遍的現(xiàn)象。教師面對學(xué)生的錯誤，如果采用憤怒與指責(zé)的消極態(tài)度，顯然無益于教學(xué)與教育。反過來采用積極的寬容態(tài)度，針對學(xué)生的錯誤開展研究，有效地診斷錯誤原因，由此了解學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，有效地應(yīng)用學(xué)生的錯誤進行教學(xué)設(shè)計，應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)質(zhì)量提升的有效途徑。

一、“越長越大”的錯誤

在不同位數(shù)小數(shù)大小的比較中，學(xué)生普遍地會出現(xiàn)“越長越大”的錯誤，即“小數(shù)的位數(shù)越多，看起來越長，小數(shù)的值就越大”，簡稱“越長越大”。如在比較小數(shù)12.178和12.2的大小時，學(xué)生會認為“12.178>12.2，因為12.178比12.2的位數(shù)多，看起來更長”。

國內(nèi)外的已有研究發(fā)現(xiàn)，不同國家、不同年齡的學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)的大小比較時都會出現(xiàn)此類錯誤。美國教育心理學(xué)家勞倫雷斯尼克（Resnick）對美國的五年級學(xué)生、以色列的六年級學(xué)生和法國的四、五兩個年級的共[113]名學(xué)生進行了小數(shù)比較大小的測試。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)“越長越大”的錯誤率分別為35%、19%、41%、18%；[1]墨爾本大學(xué)凱文·莫洛尼（Kevin Moloney）教授的研究發(fā)現(xiàn)，澳大利亞一所學(xué)校42%的四年級學(xué)生和19%的五年級學(xué)生也會出現(xiàn)此類錯誤；[2]在國內(nèi)，臺灣學(xué)者阮麗蓉和曹雅玲在研究四、五年級臺北小學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)時的迷思概念時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)“越長越大”的錯誤率分別為[26%]和[13%]等。[3]可以看出，“越長越大”的錯誤具有普遍性，因此，我們需要進一步知道為何學(xué)生在小數(shù)大小比較時會如此普遍地出現(xiàn)這種錯誤？它又是如何形成的？

以色列教授斯塔維（Stavy）和蒂羅什（Tirosh）等人經(jīng)過測試和研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時會遵循一種直覺上的規(guī)律，即學(xué)生會依據(jù)與題目不相關(guān)的某些明顯的外在特征和生活經(jīng)驗來解題，卻沒有看到題目的本質(zhì)，斯塔維（Stavy）等人稱這些規(guī)律為“直覺規(guī)律”，“越A-越B（MoreA-MoreB）”就是其中的一種。

二、直覺規(guī)律

“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律是當(dāng)兩個系統(tǒng)或者物體在[A]量上有明顯的不同，表示為[A1>A2]，要求學(xué)生去比較另一個[B]量的大小時，會受到[A]量的影響而做出[B1>B2]的錯誤判斷。斯塔維（Stavy）教授對二、四、六年級的學(xué)生做了角的大小比較的測試，如圖[1]所示。兩個角的大小相同，邊長（[A]量）表現(xiàn)為[∠β]兩邊的邊長長于[∠α]兩邊的邊長，讓學(xué)生判斷哪一個角（[B]量）更大時，87%、88%、38%的二、四、六年級學(xué)生的回答是“[∠β>∠α]，因為[∠β]兩邊的邊長更長，所以[∠β>∠α]”。[4]很明顯，這是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響導(dǎo)致的錯誤。同樣地，學(xué)生在比較小數(shù)大小（[B]量）時受到具有明顯差異的小數(shù)位數(shù)（[A]量）的影響，認為“小數(shù)的位數(shù)越多越長，小數(shù)的值越大”，這個錯誤也是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響產(chǎn)生的?？梢钥闯觯瑢W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會受到“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響而出現(xiàn)各種錯誤。因此，為了減少錯誤的發(fā)生，我們需要知道它是如何形成并影響學(xué)生學(xué)習(xí)的。

斯塔維（Stavy）教授認為，直覺規(guī)律是對成功經(jīng)驗的過度概括，[5]即人們把某些特定的情況下獲得的一些類似的成功經(jīng)驗進行過度的概括，形成了一種直覺理解和規(guī)律，習(xí)慣性地應(yīng)用在所有與之相類似的情況中。如學(xué)生將以前“越長越大”“越多越大”或“越大越大”等這一系列類似的成功經(jīng)驗進行過度總結(jié)和概括，最終形成了直覺上的“越A-越B（MoreA-MoreB）”規(guī)律，并廣泛地應(yīng)用在生活和學(xué)習(xí)中。本文中“越長越大”的錯誤是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響產(chǎn)生的，而“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律又形成于“越長越大”的一些成功經(jīng)驗，那么學(xué)生在比較不同位數(shù)小數(shù)大小時所用的“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律是基于哪些“越長越大”的成功經(jīng)驗形成的呢？

三、直覺的來源

“越長越大”的錯誤反映的是數(shù)量的多少與數(shù)的大小之間的關(guān)系。從學(xué)生的生活經(jīng)驗來看，這種關(guān)系在生活中也可以表現(xiàn)為物體的大小與物體所包含的數(shù)量之間的關(guān)系，而反映這種關(guān)系的“越長越大”的正確經(jīng)驗有許多，如學(xué)生知道同一種公交車，越長的越大，里面可以坐更多的人；同一種文具盒，越長的越大，里面可以放更多的文具等等。

從知識經(jīng)驗來看，反映上述關(guān)系的正確經(jīng)驗也有許多，如學(xué)生在一年級學(xué)習(xí)[20]以內(nèi)數(shù)的認識及大小比較時，能夠通過插圖直觀地看出某個物體的長度越長，表示這種物體的個數(shù)就越多，所代表的數(shù)字也越大，即“越長越大”。若讓學(xué)生比較圖[2]所示的兩排三角形中哪一排的三角形代表的數(shù)字更大時，學(xué)生不用數(shù)三角形的個數(shù)就可以直觀地看出是第一排的三角形，因為第一排三角形的長度比第二排長，所包含的三角形的個數(shù)也就越多，那么它所代表的數(shù)字也越大。學(xué)生在一、二年級學(xué)習(xí)整數(shù)的大小比較時，根據(jù)整數(shù)大小的比較規(guī)則形成了“位數(shù)越多越長，數(shù)值越大”的認知，即“越長越大”的經(jīng)驗；學(xué)生在二年級學(xué)習(xí)了“認識時間”這一內(nèi)容后便會知道，分針走過的小格越多，表示走過的距離越長，走過的時間越長，那么表示所走過的時間的數(shù)值也越大，即“越長越大”，如分針從[1]走到[2]，表示[5]分鐘，從[1]走到[6]，表示[30]分鐘等等。

以上這些“越長越大”的生活和知識經(jīng)驗都是正確的經(jīng)驗，學(xué)生將這些正確經(jīng)驗過度概括并作為一種直覺上的規(guī)律——“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律，習(xí)慣性地應(yīng)用在生活和學(xué)習(xí)中，導(dǎo)致各種錯誤的產(chǎn)生。

四、運用直覺進行教學(xué)設(shè)計

從以上“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的形成過程來看，直覺規(guī)律的形成是在許多成功經(jīng)驗的基礎(chǔ)上慢慢地過度概括而形成的，所以，學(xué)生因直覺規(guī)律的影響而出現(xiàn)的錯誤不會輕易消失。因此，我們可以根據(jù)直覺規(guī)律的功能，將直覺規(guī)律應(yīng)用在教學(xué)中，并設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)活動，以減少錯誤的發(fā)生。

以色列學(xué)者斯塔維（Stavy）教授提出，直覺規(guī)律有強大的預(yù)測功能，可以預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)中的錯誤。[6]因此，教師可以通過直覺規(guī)律，在認識了學(xué)生做題時的思考過程的基礎(chǔ)上，預(yù)測學(xué)生在做相類似的題目時可能會出現(xiàn)的錯誤，如根據(jù)小數(shù)比較中“越長越大”的錯誤，教師可以大膽地預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)與比較小數(shù)大小相類似的知識，如分數(shù)、代數(shù)式、負數(shù)等的大小比較時可能也會出現(xiàn)類似的錯誤，并根據(jù)預(yù)測有針對性地設(shè)計相關(guān)的學(xué)習(xí)活動，在活動中培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和自主探究能力等，同時減少錯誤的發(fā)生。

斯塔維（Stavy）教授等人根據(jù)直覺規(guī)律的預(yù)測作用，提出了“沖突教學(xué)法”，[7]即給學(xué)生呈現(xiàn)兩道在本質(zhì)上相似的題目，分別引出學(xué)生錯誤和正確的答案，并引發(fā)他們對不同的結(jié)果產(chǎn)生認知上的沖突，最后讓學(xué)生自己探索其中的原因并達到正確的認識，弱化直覺規(guī)律對他們的影響。

教師在教學(xué)中可以借鑒“沖突教學(xué)法”設(shè)計學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在認知上產(chǎn)生“沖突”，并能夠通過一系列學(xué)習(xí)活動認識到錯誤的原因，掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。如在學(xué)習(xí)小數(shù)大小的比較時，教師可以這樣設(shè)計學(xué)習(xí)活動：首先設(shè)計兩組題目，其中一組是不同位數(shù)的小數(shù)大小比較，使學(xué)生在解題時受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響出現(xiàn)錯誤，如：[3.60]○[3.6]，[5.783]○[5.92]，[8.308]○[8.38]；另外一組是相同位數(shù)的小數(shù)大小比較，讓學(xué)生不受直覺規(guī)律的影響并得出正確的結(jié)論，如：[3.60]○[3.60]，[5.783]○[5.920]，[8.308]○[8.380]。然后通過這兩組題的對比讓學(xué)生產(chǎn)生認知上的沖突，最后讓學(xué)生在自主的探索與交流中認識錯誤產(chǎn)生的原因，進而實現(xiàn)更加深入的理解。

參考文獻：

[1]Resnick，L.B.，Nesher，P.，Leonard，F(xiàn).， Magone，M.，Omanson，S.， Peled，I. Conceptual Bases of Arithmetic Errors： The case of decimal fractions[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1989， 20（01）：8-27.

[2]Moloney，K.，Stacey，K.Changes with Age in Students' Conceptions of Decimal Notation[J].mathematics Education Research Journal， 1997，9（1）：25-38.

[3]阮麗蓉，曹雅玲.臺北地區(qū)國小學(xué)童小數(shù)迷思概念之研究[J].臺北市教育大學(xué)數(shù)學(xué)資訊教育研究所，1994（10）.

[4]紀宗秀.從直觀法則分析學(xué)童的迷思概念及概念改變之研究[D].國立花蓮師范學(xué)院，2005.

[5][6]Stavy， R.， &Tirosh;， D.. Intuitive Rules： A Way to Explain and Predict Students' Reasoning[J].Educational Studies in Mathematics， 1999（38）：51-56.

[7]紀宗秀.從直觀法則分析學(xué)童的迷思概念及概念改變之研究[D].國立花蓮師范學(xué)院，2005.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）