數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：導(dǎo)向?qū)W生的隱性知識(shí)增長(zhǎng)

【摘 要】教育要順應(yīng)人工智能時(shí)代的到來(lái)，必須著力培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)對(duì)不確定性的能力，隱性知識(shí)的重要性由此也變得日益凸顯。研究表明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)具有的具身認(rèn)知特點(diǎn)，能讓學(xué)生生成更多的實(shí)踐感悟；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料是生成性資源，易于學(xué)生形成個(gè)性化見(jiàn)解；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)引人入勝，能使學(xué)生產(chǎn)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力。這些特性都非常有利于增長(zhǎng)隱性知識(shí)，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)著眼這些特性的發(fā)揮，重視實(shí)驗(yàn)材料的選擇和實(shí)驗(yàn)任務(wù)的設(shè)計(jì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)； 隱性知識(shí)

一、隱性知識(shí)值得重視

英國(guó)的《金融時(shí)報(bào)》是一家創(chuàng)辦于1888年的世界著名的金融媒體，以報(bào)道權(quán)威的全球財(cái)經(jīng)新聞、分析以及評(píng)論著稱。2017年12月12日，在迎來(lái)創(chuàng)刊130周年的前夕，卻刊登了一篇和金融經(jīng)濟(jì)似乎無(wú)關(guān)的文章，標(biāo)題是《在這個(gè)智能時(shí)代，教育應(yīng)該如何變革才能順應(yīng)潮流：學(xué)校應(yīng)該教什么，不該教什么》。探討教育的文章上了經(jīng)濟(jì)類的權(quán)威媒體的現(xiàn)象并不多見(jiàn)，也因此引發(fā)了廣泛討論（中國(guó)的各大媒體也同時(shí)轉(zhuǎn)載報(bào)道）。作者是當(dāng)今頗有影響力的社會(huì)企業(yè)家歐文（Jo Owen）。他說(shuō)，為了應(yīng)對(duì)未來(lái)人工智能技術(shù)的挑戰(zhàn)，目前的學(xué)校教育應(yīng)該調(diào)整方向，“教育體系培養(yǎng)出的人比二流電腦強(qiáng)不了多少，因此，如果教育的重點(diǎn)繼續(xù)放在把顯性知識(shí)傳遞給下一代上，我們就有麻煩了”。他的意思是說(shuō)，人與機(jī)器去爭(zhēng)機(jī)器的特長(zhǎng)毫無(wú)必要。因?yàn)樵谥R(shí)系統(tǒng)中那些事實(shí)清楚、規(guī)則明確的顯性知識(shí)，就算是步驟復(fù)雜、結(jié)果多樣到天文數(shù)字的領(lǐng)域，如國(guó)際象棋、圍棋、數(shù)學(xué)推理證明等，機(jī)器都能快速給出結(jié)果。所以，他認(rèn)為，學(xué)校教育應(yīng)該轉(zhuǎn)向：“教育的標(biāo)準(zhǔn)，不應(yīng)該繼續(xù)衡量學(xué)校多擅長(zhǎng)去傳授顯性知識(shí)和事實(shí)技能，而應(yīng)該轉(zhuǎn)向隱性知識(shí)，比如如何處理不確定性。”教育是經(jīng)濟(jì)繁榮、社會(huì)進(jìn)步的基礎(chǔ)，歐文提出了一個(gè)應(yīng)對(duì)未來(lái)發(fā)展的建議被刊登在經(jīng)濟(jì)類權(quán)威媒體上，看似意料之外其實(shí)也在情理之中。

隱性知識(shí)存在于個(gè)人頭腦中，難以清晰表達(dá)，包括信念、經(jīng)驗(yàn)、思維、直覺(jué)、靈感等。其本質(zhì)上是一種理解力，是一種領(lǐng)會(huì)，是一種把握經(jīng)驗(yàn)或重組經(jīng)驗(yàn)，以期實(shí)現(xiàn)對(duì)事物理解控制的能力。作為國(guó)家學(xué)科教學(xué)的基本規(guī)范和質(zhì)量要求在要求我們重視基本知識(shí)和基本技能之外，還要重視思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，這可以看作是國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)隱性知識(shí)的教學(xué)要求。如何促進(jìn)隱性知識(shí)的發(fā)展？波蘭尼（1958年提出隱性知識(shí)概念）提出了“識(shí)知”的觀點(diǎn)，即需要個(gè)人在自己實(shí)踐和自我建構(gòu)的過(guò)程中才能形成和發(fā)展隱性知識(shí)。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)著力增長(zhǎng)學(xué)生的隱性知識(shí)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以有效地發(fā)展學(xué)生的隱性知識(shí)。對(duì)此，我們嘗試著從一年級(jí)起開(kāi)設(shè)了每周1節(jié)的數(shù)學(xué)拓展性課程——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，課程的主要目標(biāo)是瞄準(zhǔn)隱性知識(shí)的三個(gè)方面：數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與信念、數(shù)學(xué)思維與直覺(jué)、數(shù)學(xué)靈感和創(chuàng)造。即以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)隱性知識(shí)為目標(biāo)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中親歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與研究，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的好奇心和探究欲，促進(jìn)高層次思維能力的發(fā)展，為他們終身的學(xué)習(xí)和生活打好基礎(chǔ)。

進(jìn)一步地，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的三個(gè)顯著特征高度契合學(xué)生的隱性知識(shí)發(fā)展。

（一）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)具有的具身認(rèn)知特點(diǎn)，讓學(xué)生生成更多的實(shí)踐感悟

隱性知識(shí)因其“只可意會(huì)，無(wú)法言傳”的特征，所以從本質(zhì)上看，其獲得機(jī)制是實(shí)踐體驗(yàn)，這正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本活動(dòng)形式。特別地，根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)，我們把單純依靠紙筆的演算實(shí)驗(yàn)、單純依靠想象的思想實(shí)驗(yàn)排除在外，因此，我們所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是要有具體的實(shí)驗(yàn)材料，要能實(shí)際操作（可視性）。從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)來(lái)說(shuō)，要讓學(xué)生獲得豐富而又深刻的體驗(yàn)，就需要以手為基礎(chǔ)的多感官協(xié)同，這樣的認(rèn)知方式，是一種“具身認(rèn)知”，即以生理體驗(yàn)激活心理體驗(yàn)的認(rèn)知方式。比如在圖形認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)中，最重要的是圖形之間的“關(guān)系”，如圖形之間是如何拼合的，是先按邊拼合還是先拼角？用同一個(gè)三角形去和其他圖形拼，能拼出哪些圖形？把兩個(gè)圖形重疊在一起，如把一個(gè)三角形和一個(gè)正方形重疊在一起，重疊部分會(huì)是什么圖形？等等。這些圖形之間的形狀關(guān)系、位置關(guān)系、面積關(guān)系、周長(zhǎng)關(guān)系、拓?fù)潢P(guān)系等是隱性知識(shí)，重要但又難以一言蔽之。因此，與其費(fèi)盡心力“傳道”，不如讓學(xué)生用手拼擺圖形，用眼觀察圖形，用腦想象圖形，進(jìn)行觸覺(jué)、視覺(jué)、思維的有機(jī)整合，從而對(duì)圖形關(guān)系形成自己的理解，自己悟得“道理”。

以 “超級(jí)七巧板”[1]為例，我們對(duì)傳統(tǒng)的七巧板（4種形狀）進(jìn)行了調(diào)整，保留了七巧板的性狀（任意兩個(gè)圖形之間至少有一條邊或一個(gè)角相等），替換為7種不同類型的圖形（圖1）。學(xué)生利用材料可以做各種學(xué)習(xí)任務(wù)，通常這樣的課堂約有70%的時(shí)間是學(xué)生自己的操作與感悟，20%是學(xué)生分享與交流時(shí)間，10%的時(shí)間是教師組織課堂教學(xué)點(diǎn)撥學(xué)生。學(xué)生花在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上的大部分時(shí)間是自己在具身認(rèn)知，而不是用在理解教師的語(yǔ)言上。在這樣的課堂上有一個(gè)明顯的特征，就是不斷地能聽(tīng)到學(xué)生說(shuō)：噢，原來(lái)是這樣呀！啊，這樣也可以拼呀？怎么會(huì)這樣呢？哈，我又拼出了一個(gè)……雖然我們不知道學(xué)生具體在說(shuō)什么，但感受到學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中得到感悟的興奮心情。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師主要負(fù)責(zé)鼓勵(lì)學(xué)生或者幫助學(xué)生出主意，然后組織學(xué)生分享感悟（圖2）。教師不需要去傳授知識(shí)，而要讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)操作、觀察、思考、辯論、體驗(yàn)從而達(dá)到逐漸自我領(lǐng)悟，建構(gòu)起屬于個(gè)人的知識(shí)。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料是生成性資源，易于學(xué)生形成個(gè)性化的見(jiàn)解

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料往往能一物多用，像上文中的“超級(jí)七巧板”，除了用來(lái)“拼圖形”之外，還可以用來(lái)研究“分類”“密鋪”等?？梢跃屯粚?shí)驗(yàn)材料展開(kāi)不同的課題探究，是一種生成性的學(xué)習(xí)資源。相同的材料因?yàn)椴馁|(zhì)不同也會(huì)產(chǎn)生新的玩法。與“超級(jí)七巧板”類似，我們還常用一種透明材質(zhì)的彩色圖形片（見(jiàn)圖3）。因?yàn)橥该?，所以學(xué)生可以很方便地進(jìn)行圖形的重疊比較，從而多角度地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。我們利用“透明圖形片”，曾在上海、重慶等地

多次上過(guò)展示課。在上課伊始都提了一個(gè)相同的問(wèn)題“從這些彩色圖形片中，我們可以找到哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？”學(xué)生提出的問(wèn)題即是實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容。比如：

（1）重疊（見(jiàn)圖4）：哪兩個(gè)圖形疊在一起，它們的重疊面積會(huì)最大？3個(gè)圖形、4個(gè)圖形……疊在一起呢？

（2）分類：這些圖形可以分為哪幾類？按顏色分、按大小分、按邊分、按角分等。

（3）面積關(guān)系（見(jiàn)圖5）：哪些圖形的面積是相等的？哪些圖形之間可用“+-×÷”和“=”來(lái)連接？

A=D=C+C=2C

A=E+E=B+B+B+B=B×4=4B B=A÷4

F=A-B

2C+2B=A+E

A+D=B+C+E+F

（4）邊和角（見(jiàn)圖6）：梯形的內(nèi)角和是多少？六邊形的內(nèi)角和是多少？

……

在教學(xué)時(shí)，學(xué)生可以就自己感興趣的內(nèi)容進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)，分享交流時(shí)也是在自己組內(nèi)進(jìn)行進(jìn)行，不需要全班學(xué)生一起聽(tīng)。學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的方法各有千秋，如選擇探究面積關(guān)系的小組，學(xué)生有的用覆蓋法，因?yàn)橥该髌梢陨舷轮丿B擺放；有的用方格紙作測(cè)量工具，把透明片放在方格紙上，用方格測(cè)量；有的學(xué)生居然提出要用電子秤來(lái)找圖形關(guān)系，理由是這些圖形片雖然顏色不一樣，但是厚度相同（材料也相同），所以圖形面積越大重量也會(huì)越重，圖形之間的面積關(guān)系可以用重量關(guān)系來(lái)代換。事實(shí)上，學(xué)生已經(jīng)在不知不覺(jué)地進(jìn)行類比推理了，這正是創(chuàng)造性思維的重要來(lái)源。

“透明圖形片”適合三年級(jí)以上的學(xué)生，可以連續(xù)上3個(gè)課時(shí)，每一課時(shí)完成1～2個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生有機(jī)會(huì)從不同視角來(lái)看待同一種材料。在教學(xué)中，除第一次需要教師引導(dǎo)全班學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題外，其余的時(shí)間都宜放手讓學(xué)生自己做實(shí)驗(yàn)，必要時(shí)提供額外的實(shí)驗(yàn)工具（如微型電子秤），然后組織學(xué)生寫(xiě)下實(shí)驗(yàn)報(bào)告和交流匯報(bào)。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)引人入勝，能使學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)動(dòng)力

物理或化學(xué)實(shí)驗(yàn)常需要憑借重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到相同結(jié)果的方式來(lái)驗(yàn)證。與它們不同的是，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不需要承擔(dān)數(shù)學(xué)證明的“重任”。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)是純粹抽象的產(chǎn)物，是靠定義和邏輯來(lái)建構(gòu)的，不需要憑借重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到相同結(jié)果的方式來(lái)驗(yàn)證。如果把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為驗(yàn)證定理的方法，反而使學(xué)生產(chǎn)生獲得兩三次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果就能得出一般規(guī)律有時(shí)是錯(cuò)覺(jué)。所以我們?cè)谠O(shè)計(jì)時(shí)會(huì)特意避開(kāi)驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)，如三角形內(nèi)角和是180度等課本上已有的數(shù)學(xué)公式和定律。我們會(huì)把實(shí)驗(yàn)任務(wù)設(shè)計(jì)成看上去結(jié)果不顯然或者是結(jié)果讓人意外，讓學(xué)生感到神奇有趣，在任務(wù)完成過(guò)程中潛移默化傳遞著數(shù)學(xué)好玩又能玩好的信念。像上例的“超級(jí)七巧板”我們?cè)O(shè)計(jì)了2個(gè)有趣的任務(wù)，提供“透明圖形片”則是向?qū)W生提出實(shí)驗(yàn)任務(wù)。另外，我們還設(shè)計(jì)了系列“不可能的任務(wù)”以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，如“透視骰子”（見(jiàn)圖7）。把5個(gè)骰子疊在一起時(shí)，有些面能看到，有些面看不到，那些所有看不見(jiàn)的面（9個(gè)面）上的點(diǎn)子和是多少呢？有的學(xué)生說(shuō)，這很簡(jiǎn)單呀：一顆骰子六個(gè)面，面上的數(shù)字和是1+2+3+4+5+6=21，現(xiàn)在有5顆骰子，點(diǎn)子總數(shù)是105，減去那些能直接看到的點(diǎn)子數(shù)（能看到21個(gè)面），就是隱蔽著的點(diǎn)子總和。用這樣的方法當(dāng)然算得出來(lái)，但如果有更多的骰子疊在一起呢？比如10顆骰子，能直接看到的是41個(gè)面，按上面的方法，用總和210去減一連串41個(gè)數(shù)，這個(gè)方法雖然可行但計(jì)算實(shí)在是太繁瑣了。不過(guò)，對(duì)于具有“透視眼”的人來(lái)說(shuō)，不是一個(gè)問(wèn)題，這雙眼能看到一切隱藏的東西。就是那么巧，教師正好一眼就看穿了疊在一起的所有數(shù)字，知道它們的和是“34”。（讀者不妨用骰子疊起來(lái)自行檢驗(yàn)一下）學(xué)生非常好奇，老師真的具有“透視眼”嗎，還是另有玄機(jī)？在將信將疑中，學(xué)生開(kāi)始了探究。這是一個(gè)“模式與關(guān)系”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，剛開(kāi)始時(shí)，不少學(xué)生拿著5顆骰子翻來(lái)覆去地打量。經(jīng)驗(yàn)告訴他們，老師就是一個(gè)普通人，不可能真有“透視眼”，一定有什么奧妙在其中。好奇心激發(fā)著學(xué)生一定要破解這個(gè)謎團(tuán)！數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)猜想的源泉，更是一個(gè)體驗(yàn)平臺(tái)。通過(guò)挑戰(zhàn)不確定性，學(xué)生能在其中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。

三、增長(zhǎng)隱性知識(shí)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生是在新的情境、實(shí)驗(yàn)材料下進(jìn)行推斷、創(chuàng)新并且運(yùn)用，成長(zhǎng)的是思維、信念、好奇心等屬于個(gè)人的隱性知識(shí)。因此，教師在課堂中不需要多引導(dǎo)，也不需要特別的課堂教學(xué)藝術(shù)，學(xué)生巴不得教師少講話，自己早點(diǎn)動(dòng)手。事實(shí)上，學(xué)生往往還能玩出更多新花樣，常常令教師自嘆不如。在實(shí)驗(yàn)課上，教師也不用過(guò)多判斷結(jié)果對(duì)不對(duì)，這由實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)了算。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課我們主要采用兩條原則性的教學(xué)策略。

（一）讓實(shí)驗(yàn)材料能夠吸引學(xué)生多樣體驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料來(lái)源廣泛，大致有三類：①傳統(tǒng)學(xué)具。如七巧板、十四巧板、積木塊、圖形片等可以百搭百拼的學(xué)具，有較大的創(chuàng)作空間能創(chuàng)造出多種玩法，任何學(xué)生都能玩，想象力強(qiáng)的學(xué)生能玩得更好；②益智玩具。如九連環(huán)、華容道、魔方、魔球、迷宮拼圖等，這類益智玩具自帶玩法，有一定的挑戰(zhàn)性，結(jié)果具有明確的反饋，完成任務(wù)的學(xué)生有很強(qiáng)的自豪感；③自研學(xué)具。前兩種都是成品學(xué)具，我們還自制或改制了一些學(xué)具。比如磁性積木，改變了傳統(tǒng)的立方體只能單一地從下往上堆疊的慣例，磁性積木能使各種空間造型成為現(xiàn)實(shí)，極大地激發(fā)了學(xué)生的空間思維和創(chuàng)造力；數(shù)字天平，改變了只能用一種掛片擺位的局限，改進(jìn)后有3種不同質(zhì)量的掛片，便于學(xué)生做更多有趣的推理實(shí)驗(yàn)；等等。

（二）讓實(shí)驗(yàn)任務(wù)能夠促進(jìn)學(xué)生深入感悟

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)的設(shè)計(jì)不僅要讓學(xué)生覺(jué)得好玩，更要讓學(xué)生能玩出名堂。也就是說(shuō)，只有結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)涵來(lái)設(shè)計(jì)任務(wù)才能讓學(xué)生在體驗(yàn)中得到感悟。為此，我們參照數(shù)學(xué)課標(biāo)，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為5個(gè)模塊：數(shù)量與運(yùn)算、模式與關(guān)系、圖形與測(cè)量、拓?fù)渑c變換、統(tǒng)計(jì)與概率（表1），再找出知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)與影響，即“關(guān)系”，如數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、拓?fù)潢P(guān)系、數(shù)據(jù)關(guān)系等作為結(jié)合點(diǎn)。數(shù)學(xué)內(nèi)涵中的“概念”和“關(guān)系”都非常重要，我們之所以選擇“關(guān)系”，是因?yàn)椤案拍睢备m合日常教學(xué)，“關(guān)系”則難以言盡，更適合個(gè)人在數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)中領(lǐng)悟，是典型的隱性知識(shí)。數(shù)學(xué)課標(biāo)中數(shù)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、概率意識(shí)等都是隱性知識(shí)，適合在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中積累經(jīng)驗(yàn)和深入感悟。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課實(shí)施至今，我們已取得了一定成果，但還有一些問(wèn)題需要進(jìn)一步研究，最主要的有兩個(gè)，一是如何處理顯性知識(shí)與隱性知識(shí)的關(guān)系？具體地說(shuō)，要不要加入知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)？二是以隱性知識(shí)為目標(biāo)的教學(xué)，教師如何發(fā)揮作用？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課已在國(guó)內(nèi)不少學(xué)校實(shí)施，課程目標(biāo)不盡相同，我們以發(fā)展隱性知識(shí)為靶向，只是其中的一個(gè)案例，也期待能得到更多同行的指導(dǎo)。大家一起來(lái)研究，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不再只是甜點(diǎn)，更成為一道主菜。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅永軍，徐杭超，黃園園. 超級(jí)七巧板：以材料為中心的任務(wù)學(xué)習(xí)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（7）.

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院附小 310000）