小學數(shù)學教學中滲透模型思想的思考

張若璇 彭陽

【摘 要】小學數(shù)學教學中滲透模型思想是課程改革的一個重要方向，數(shù)學思想作為數(shù)學知識的載體，有助于培養(yǎng)小學生數(shù)學思維能力。在小學數(shù)學教學中應通過感知模型思想、發(fā)展模型思想、應用模型思想三個教學環(huán)節(jié)循序漸進滲透模型思想，讓學生在學習過程中自主構建模型思想的意識和觀念。

【關鍵詞】小學數(shù)學;數(shù)學模型;模型思想

引言

2011年《義務教育數(shù)學課程標準》在基本素養(yǎng)中增加了“模型思想”這一核心概念。注重數(shù)學思想滲透是當代數(shù)學教育的一個重要內涵，它反映了小學數(shù)學課程內容變革的一個基本方向。然而在小學日常課堂中滲透模型思想的教學并不多見。尤其是教師在指導和幫助學生在獲取數(shù)學知識與掌握數(shù)學技能的同時，在領悟數(shù)學模型思想這方面缺乏深入的研究。小學階段是學生數(shù)學思維形成的啟蒙時期，讓學生在小學階段累積一定的模型思想，并逐步體會數(shù)學建模過程是數(shù)學教學的核心目標之一，是學生數(shù)學素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。本文研究如何在小學數(shù)學教學中滲透模型思想。希望能為廣大師生進行相關研究提供參考。

一、數(shù)學模型與模型思想內涵認識

徐立治教授認為：“數(shù)學模型乃是參照某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量相依關系，采用形式化數(shù)學語言，概括的或近似地表述出來的一種數(shù)學結構?！睆膹V義上理解，數(shù)學模型包括數(shù)學概念、數(shù)學公式、數(shù)學理論體系以及由它們構成的算法系統(tǒng)，我們都可以把它們稱為數(shù)學模型。從狹義理解，數(shù)學模型單指那些反映了特定問題或特定系統(tǒng)的數(shù)學關系結構。小學數(shù)學模型一般取其廣義的理解，具體來講，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種公式、性質、定理、數(shù)量關系式、結構性算法、圖表、圖形等都是數(shù)學模型。

模型思想是利用數(shù)學知識建立數(shù)學模型以解決問題的一種數(shù)學思想方法。2011年《義務教育數(shù)學課程標準》前言部分指出：“從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化的規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識?！庇纱丝梢?，數(shù)學模型思想蘊涵于現(xiàn)實問題的數(shù)學化、模型化的過程中，它更多地是指用數(shù)學建模的思想和精神來指導數(shù)學教學。國內學者許衛(wèi)兵認為：運用建模思想來指導小學數(shù)學教學在很大程度上是要在學生的認知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學結構特征的“模型”載體，通過這樣具有“模型”功能的載體，幫助學生實現(xiàn)數(shù)學抽象，為后續(xù)學習提供強有力的基礎支持。

二、小學數(shù)學教學中有效滲透模型思想的策略

新數(shù)學課程標準并沒有對小學數(shù)學教學融入模型思想提出明確的要求，并不意味著在小學階段沒有必要滲透模型思想，實事上模型思想的形成是一個長期的過程，小學是模型思想形成的萌芽階段，用模型思想來指導小學數(shù)學教學，要結合學生的心理認知特點，有差異、分學段來逐步實施。

（一）引導低年級學生在現(xiàn)實情境中初步感知模型思想

小學階段的數(shù)學知識，是人類數(shù)學知識發(fā)展的初級階段，與生活實踐活動密切聯(lián)系，具有較強的直觀性和操作性，然而對于小學生來說，仍然是十分抽象難懂。對小學低年級學生而言，學習數(shù)學的過程實際上就是“數(shù)學化”的過程，即讓學生從現(xiàn)實的具體情境出發(fā)，經過觀察、歸納、抽象、概括等思維活動，獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學結論的過程，從而滲透和點化學生的“模型思想”意識。

例如：兒童對加法運算的掌握和理解是建立在對加法的意義和計算模型基礎上的，加法運算的本質是刻畫由兩個集合合并而生成的新集合的元素個數(shù)。因此，構造兩個不同的集合，并對這兩個集合的元素合并的問題情景，是學習加法運算的前提和基礎。教師在教學中，首先創(chuàng)設具體的問題情景，引導學生進行“合并”的思維活動，讓學生經歷觀察、操作、探索、體驗的過程，形成對加法運算意義的掌握，在合理的問題情境中構建抽象的加法計算算式，并讓學生繼續(xù)通過擺一擺的活動，理解加法算式的數(shù)學本質。恰如其分的情境對于學生體會加法運算模型的建立過程，初步感知模型思想，理解數(shù)學本質，培養(yǎng)抽象思維能力是非常重要的。

（二）讓高年級學生經歷和體驗數(shù)學發(fā)生的過程，發(fā)展模型思想

數(shù)學是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。引導小學高年級學生關注數(shù)學“模型”的存在，培養(yǎng)建模能力符合新課程觀的教育理念。教師在教學過程中引導學生將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋、運用和擴展的過程，實際上就是讓學生在具體的行為操作和思維探究中經歷“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程。只有經歷了這樣的探究過程，數(shù)學模型思想才能沉淀、豐厚，才能使學生更深入地體驗、感悟到數(shù)學問題的本質，逐步積累和發(fā)展模型思想。

例如：“服裝搭配數(shù)學問題”主要是向學生滲透有序搭配的方法，教師首先有意識的喚醒學生的圖表和符號意識，首先教師利用圖表或符號表示1件衣服和2條褲子的搭配方案，并列出數(shù)量關系式。接下來讓學生自己探究2件衣服3件褲子的搭配方案，引導學生明確有序搭配的思路，用圖表或符號來表示搭配方案，并列出數(shù)量關系式。在解決服裝搭配問題過程中，讓學生經歷了語言表述、圖表化、算式化表示的逐步抽象化過程，讓學生自己總結概括出“搭配方式的種類=衣服數(shù)×褲子數(shù)”。在整個教學中教師注重引導學生從無意識地簡化搭配線路圖到有意識發(fā)展學生數(shù)學符號思想過程，讓學生自主構建數(shù)學問題模型，使學生在探究問題中發(fā)展學生的模型思想意識和觀念。

（三）引導學生反思，應用模型思想

由于數(shù)學學習過程的抽象性決定了小學生不可能一次性把握數(shù)學學習活動的本質，必須要經歷多次的反復思考才能洞察數(shù)學活動的本質，逐步完善數(shù)學模型，并應用模型對問題進行拓展，讓學生體驗數(shù)學建模的豐富性和應用價值，從而培養(yǎng)數(shù)學建模能力。

例如：“植樹問題”在于引導學生建構“種樹棵樹=間隔數(shù)+1”，在教學中引導學生對基本問題進行反思，變式應用，讓“植樹問題”模型的建構過程具有層次感。首先讓學生觀察手，將手指當作樹，將指縫當作樹與樹的間隔，讓學生用自己的語言概括出“兩端都栽：棵樹=間隔數(shù)+1”。此時有些學生會以為問題已經解決，就會停下思考，教師適時提出路的一端或兩端都是墻角或者第一棵或最后一棵不算的情況等，再次吸引學生的注意力，提起學生興趣。學生在已有的解題方法上，再次思考，經過綜合和創(chuàng)造，概括出“兩端都不栽：棵樹=間隔數(shù)-1”和“一端栽樹：棵樹=間隔數(shù)”。當然，還可以有更深層次的問題，如已知路的長度，種了幾顆數(shù)，判斷間隔的米數(shù)這樣的逆向思維的題目等。在解釋應用模型的過程中，要引導學生掌握自主探究、遷移類比的有效方法，這樣學生對數(shù)學模型建構的認識變得豐富立體，同時也能更深刻地感受模型思想。

幫助學生形成模型思想是數(shù)學教育的一項長期任務。小學階段教師要積極挖掘教材中蘊含的模型思想，創(chuàng)設學生熟悉的生活情景，引導學生感知模型的存在，感受模型的作用，在教師的引導下建立簡單的數(shù)學模型，進而運用模型，促進學生了解數(shù)學知識的本質，形成模型思想意識，提高數(shù)學應用能力。

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（項目基金：2016年湖南省大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃項目（DXYC201608）：小學數(shù)學教學中滲透模型思想的應用研究。）