散斑可見度光譜法中的相干因子

張北帆+李然+楊暉

摘要： 散斑可見度光譜法是近年來興起的研究密集顆粒流運動的新方法。針對散斑可見度光譜法測取顆粒溫度的實驗中，如何消除相干因子測量過程中的誤差進行了研究。比較了靜態(tài)散斑對比度以及散斑對比度系數(shù)的計算方法以及消除相干因子的方法，實驗測量結(jié)果表明，由散斑對比度系數(shù)消除相干因子的方法能最大程度地保留測量準確度。該方法能夠消除由環(huán)境不同及激光不穩(wěn)定所帶來的誤差，使得同類實驗具有更好的對比性。同時給出了計算量較大導致的時間分辨率較低這一問題的解決方法。

關鍵詞：

散斑可見度光譜法； 相干因子； 顆粒流； 顆粒溫度

中圖分類號： TN 247；O 436.2

文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.06.007

Abstract：Based on the speckle visibility spectroscopy that is developed to study the dense particle flow in recent years，we discuss and compare the different methods to determine granular temperature through coherence parameter β，and draw a conclusion that using the method of calculating speckle visibility ratio to eliminate coherence parameter β can reduce the measurement error to the greatest extent.It makes better compared results from various experimental conditions because of elimination of the environmental error.Furthermore，we provide a solution to keep the high timeresolution，which is proved by experiments.

Keywords：

speckle visibility spectroscopy； coherence factor； particle flow； granular temperature

引言

散斑可見度光譜法（SVS）是近年來在擴散波光譜（DWS）理論基礎上發(fā)展的一種用于研究時變動力學的新方法[1]，該方法有效解決了DWS法不適用于非平穩(wěn)隨機過程的問題。其原理是利用各態(tài)遍歷系統(tǒng)具有時空等效的特點，用高速線陣CCD相機同時測量多個散斑，代替了DWS系統(tǒng)中只測量單個顆粒散斑的光電倍增管，通過空間遍歷代替時間遍歷的方法，實現(xiàn)了時變隨機過程的顆粒流動力學測量。目前該方法已經(jīng)被用于研究流化床中顆粒的碰撞運動[2]，沙堆表面的顆粒崩塌過程[34]，以及泡沫結(jié)構(gòu)的演變過程。

顆粒的均方速度也稱為顆粒溫度，是一個用于表征顆粒物質(zhì)間相互作用以及顆粒流運動活躍程度的重要參數(shù)。雖然SVS用于顆粒溫度測量的理論已經(jīng)基本完備，但到目前為止相關的研究和論述還很少，這是由于基于SVS測量顆粒溫度的理論還不夠系統(tǒng)和完善，使得大多數(shù)研究者都不能很好地理解和掌握；另一方面，由于對實際測量裝置中的一些參數(shù)還缺少系統(tǒng)的研究，這就阻礙了該方法成為一種通用的標準顆粒溫度測量方法，由此導致不同的研究結(jié)果之間可比性較差。鑒于此本文針對SVS中較為關鍵的相干因子β進行討論研究，希望能建立一套研究標準，使得同類方法的研究結(jié)果具有更好的可對比性與可參照性。

不同于DWS法中用光電倍增管測量單顆粒散斑，散斑可見度光譜法測量某區(qū)域整體散斑，如圖1（a）所示，當激光照射在密集的顆粒樣品表面時，一部分光可以在穿透一些樣品后最終從入射反方向離開，稱為后向散射光（也稱為背散射光），這部分后向散射光被CCD相機記錄。由于光的波粒二相性，當存在一對走過相同路程的光子時，它們之間就會產(chǎn)生干涉，如圖1（b）所示，從而形成亮暗相間的顆粒狀光強分布模式，稱為散斑效應。當照射區(qū)域內(nèi)顆粒發(fā)生運動時，光子的光程會發(fā)生變化，從而引起散斑圖像發(fā)生變化，稱為散斑可見度或時變散斑，并且散斑的變化速率與顆粒的運動速率呈正相關。

顆粒運動速率的表征可以借鑒氣體分子運動論的分析方法，將顆粒隨機運動與氣體分子的熱運動相比擬，用顆粒溫度描述由于碰撞造成的顆粒運動速度隨機脈動，其定義為顆粒脈動速度平方的總體均值：

δv2=1m∑mi=1（vi-v—）2

（1）

式中：m為總顆粒數(shù)；vi為第i個顆粒的運動速度；v—為全部顆粒運動的平均速度[5]。

SVS通常利用CCD相機進行散斑圖樣采集，根據(jù)成像原理，每一個像素輸出的灰度值即為該像素點表面光強在一定曝光時間內(nèi)的積分，所以在相同的曝光時間下，散斑隨時間變化越快，每一個像素點上的光強波動越劇烈，則CCD輸出的灰度值隨時間變化越平緩，該點的能見度越低。圖2所示為線陣CCD相機在相同的曝光時間T時，測得不同運動速度的顆粒所產(chǎn)生的散斑可見度圖像，其中橫坐標為檢測時間，縱坐標為CCD相機的像素。對于靜止的散斑圖像，CCD成像中每一個像素點測得的光強值不隨檢測時間改變，因此輸出的灰度值也不變，成像圖案表現(xiàn)為明暗相間的條紋，此時圖像的對比度最高。隨著散斑圖像的變化，CCD相機每一個像素點上的光強也隨時間發(fā)生變化，光強變化越劇烈，積分后輸出的灰度值越平緩，圖像對比度越低。因此，通過計量成像圖案隨時間變化的對比度，就可以度量顆粒的運動速率，即顆粒溫度。endprint

2散斑對比度V2（T）與相干因子β

根據(jù)統(tǒng)計光學理論[6]，散斑圖像的對比度V2（T）可以表示為光強平方的均值與光強均值的平方之比：

V2（T）=σTI2=I2I2-1

（2）

式中：T為曝光時間；σT為光強在曝光時間T內(nèi)的方差；I為散射光強。

對于CCD來說，其輸出的灰度值x等于曝光時間內(nèi)光強的積分大小，因此有

xi，T=∫T0Ii（t′）dt′/T

（3）

式中xi，T為CCD相機第i個像素在曝光時間為T時輸出的灰度值。

可得

I2=∑Ni（xi，T）2N=∑Ni∫T0∫T0Ii（t′）Ii（t″）dt′dt″/T22N

（4）

對于高斯光束有Siegert公式：

（Ii（t′）Ii（t″））=I2{1+β[g1（t′-t″）]2}

（5）

式中：β為系統(tǒng)的相干因子，主要與光學系統(tǒng)中的測量區(qū)域大小及其與探測器的測量距離有關；g1（t）為散射光場的自相關函數(shù)。將式（5）代入式（4）可得

I2=I2∫T0 ∫T0{1+β[g1（t′-t″）]2}dt′dt″/T2

（6）

再將式（6）代入式（2）得到散斑圖像的對比度為

V2（T）=β∫T0∫T0[g1（t′-t″）]2dt′dt″/T2=

β∫T021-tT[g1（t）]2dtT

（7）

圖1所示為顆粒物質(zhì)中兩路散射光經(jīng)過多次散射并最終產(chǎn)生固定相位差的示意圖。其中任一路光子的光程s為

s=∑Ni=0ri+1（t）-ri（t）=∑Ni=0kiki[ri+1（t）-ri（t）]

（8）

式中：ki為入射光經(jīng)過i次散射后的波矢；ri（t）表示在t時刻顆粒的位置。

在此過程中，光子的相位改變φ（t）為

φ（t）=∑Ni=0ki（t）[ri+1（t）-ri（t）]

（9）

探測器測得的光強為

E（t）=∑pEpexp[φ（t）]

（10）

式中Ep表示光程為p的光子的電場強度。

根據(jù)散射光場的自相關函數(shù)定義

g1（t）=E（0）E（t）E2

（11）

將式（8）～（10）代入式（11）可以得到

g1（t）=∑∞j=0P（sj）exp-N6q2Δr2（t）（12）

式中：P（s）為光子傳播路徑的概率分布；Δr2（t）=（δvt）2為顆粒均方位移；q為散射矢量，其值可表示為

q=ki-ki+1=2k0sinθ2

（13）

式中：k0=2πn0/λ為散射矢量，λ為入射光波長，n0為介質(zhì)的折射率；θ為散射角。

因此，有

q2=4k20（1-cosθ）=2k0（1-cosθ）=2k0l*l

（14）

式中：l*和l分別為光子傳播和散射的平均自由程。

將式（14）代入式（12）可得

g1（t）=∫∞0P（s）exp-13k20Δr2（t）sl*ds

（15）

求解g1（t）的核心問題是求解光子傳播路徑的概率分布P（s），P（s）是一個與待測顆粒樣本、激光入射位置以及散射光出射位置有關的函數(shù)，對于顆粒樣品厚度為L的后向散射結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻[7]的計算結(jié)果，g1（t）為

g1（t）=sinh（L-z0）l*k0Δr2（t）+23k0Δr2（t）cosh（L-z0）l*k0Δr2（t）1+49k20Δr2（t）sinhLl*k0Δr2（t）+43k0Δr2（t）coshLl*k0Δr2（t）

（16）

式中：z0為從激光入射到顆粒表面到開始擴散的距離。如果樣品的厚度足夠大，即Ll，則式（16）可化簡為

g1（t）=exp-z0l*k0Δr2（t）1+23k0Δr2（t）≈exp[-γk0Δr2（t）]

（17）

式中γ=z0l*+23是一個與顆粒大小和光學系統(tǒng)偏振態(tài)有關的常數(shù)。

將Δr2（t）=（δvt）2和k0=2πn/λ代入式（17），考慮到SVS系統(tǒng)的γ值在2左右，空氣的折射率為1，得到

g1（t）≈exp（-4πδvt/λ）=exp（-Γt）

（18）

式中Γ=4πδv/λ為自相關函數(shù)g1（t）的衰減線寬。

將式（18）代入式（7）并進行積分，可以得到散斑對比度V2（T）與衰減線寬Γ的關系為

V2（T）=βexp（-2ΓT）-1+2ΓT2（ΓT）2

（19）

至此，建立了散斑對比度V2（T）與相干因子β和衰減線寬Γ的關系，其中V2（T）由成像系統(tǒng)直接采集，衰減線寬Γ與δv呈線性關系，因此求解顆粒溫度轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庀喔梢蜃应碌膯栴}。

3相干因子β的計算與消除

3.1由靜態(tài)散斑對比度V2（T）s計算相干因子β

根據(jù)散斑對比度的定義可知，當散斑靜止時，對比度達到最大值，此時系統(tǒng)的相干因子β即為靜態(tài)散斑對比度：

β=V2（T）s

（20）

式中：V2（T）s為顆粒系統(tǒng)靜止時的散斑對比度。

由于β只與光學系統(tǒng)參數(shù)有關，與顆粒物質(zhì)的運動狀態(tài)無關，因此在測得系統(tǒng)的相干因子β后，代入動態(tài)散斑可見度對比度V2（T），可以得到散射光場衰減線寬Γ，再由δv2=Γλ4π2可以計算得到顆粒流的顆粒溫度。endprint

3.2由散斑對比度系數(shù)R（mT） 消除相干因子β

通過測量靜態(tài)散斑對比度V2（T）s計算相干因子β的方法在實際應用時可能存在2個問題：1） 由于外部環(huán)境和CCD相機自身的噪聲影響，通過靜態(tài)散斑測量系統(tǒng)的相干因子β存在一定的誤差；2） 如果要檢測的對象無法靜止，則無法測得系統(tǒng)的相干因子β。

為了解決上述問題，可以計算2組不同曝光時間下散斑圖像的對比度，然后將2組對比度相除就可以消去系統(tǒng)的相干因子β。

定義散斑對比度系數(shù)R（mT）為

R（mT）=V2（mT）V2（T）=exp（-2mΓT）-1+2mΓT[exp（-2ΓT）-1+2ΓT]m2，m=2，4，8，16，…

（21）

mT表征了不同的采樣時刻，其中m為倍率，通過計算臨近時刻散斑對比度V2（T）的比值可以消去相干因子β，即得到散斑對比度系數(shù)R（mT），再由R（mT）計算出衰減線寬Γ，最后由δv2=Γλ4π2計算出顆粒流的顆粒溫度δv2。散斑對比度系數(shù)R（mT）法和散斑對比度V2（T）法相比，消除了系統(tǒng)的相干因子β的影響，能提高測量的準確性。但另一方面，該方法增加了系統(tǒng)運算量，降低了時間分辨率。

4實驗對比分析

為了驗證以上理論分析，針對兩種計算顆粒溫度的方法分別進行了實驗對比，實驗裝置如圖3所示。裝置由透明水平滾筒（直徑110 mm，長度200 mm）、波長為532 nm的激光器、線陣CCD相機及其他光學器件組成；滾筒內(nèi)填充粒徑為1.5 mm的透明玻璃珠，填充度為50%；滾筒由直流電機驅(qū)動勻速轉(zhuǎn)動。隨著滾筒轉(zhuǎn)動抬升，顆粒呈現(xiàn)周期性崩塌，對比實驗通過測取該過程顆粒溫度從而比較兩種方法的測量結(jié)果。

根據(jù)van CittertZernike定理[13]，直徑為dm的散射區(qū)在距離為D的CCD相機表面形成的散斑尺寸ds為

ds=4λDπdm

（22）

應保證散斑尺寸ds大于CCD像素尺寸的2倍以上。

4.1由靜態(tài)散斑對比度V2（T）s計算相干因子β

根據(jù)式（20），可以通過測量顆粒靜止時的散斑對比度V2（T）s來計算相干因子β。理論上，靜態(tài)散斑對比度不因激光功率改變而改變，因此不同入射光功率下系統(tǒng)的相干因子β應一致。為驗證該理論，測量5組不同激光功率入射下的相干因子β，每組實驗測量10次，并進行對比。β的計算結(jié)果如圖4所示。

由圖4可見，在不同功率下以及同一功率下的多次測量結(jié)果中，相干因子β值都有較明顯差異。這說明靜態(tài)散斑對比度法對噪聲干擾敏感：入射激光太弱時，信噪比過低；激光太強時對比度過小。

另外，改變CCD相機與滾筒的距離，并在不同距離D時分別測取顆粒溫度（以方便與散斑對比度系數(shù)法進行比較）。測量距離直接影響CCD成像區(qū)域大小，對相干因子β以及顆粒溫度結(jié)果均有影響。激光功率恒定300 mW時，不同測量距離D下的顆粒溫度結(jié)果如圖5所示。

可以看出靜態(tài)散斑對比度法的測量結(jié)果受接收距離D的影響較大。隨著D的增大，所測得的顆粒溫度整體呈現(xiàn)降低趨勢。這使得同種方法的測量結(jié)果無法比較，因而不是理想的結(jié)果。

4.2由散斑對比度系數(shù)R（mT）計算顆粒溫度

采用散斑對比度系數(shù)法測取顆粒溫度來進行對比，測量時滾筒轉(zhuǎn)速以及環(huán)境與之前保持一致。實現(xiàn)效果如圖6所示。

可見選取不同的系數(shù)m對于測量結(jié)果影響不大，均能較好地反映顆粒流運動劇烈程度，可根據(jù)實驗需求的時空分辨率選擇對比系數(shù)m。在此選擇對比系數(shù)m=2來進行實驗，對比與靜態(tài)散斑對比度法同樣的接收距離D下所測得的顆粒溫度，實驗結(jié)果如圖7所示。

可以看出，在不同的接收距離D下，散斑對比度系數(shù)法的測量結(jié)果較為相近。這說明采用散斑對比度系數(shù)法能較好地避免由于背景噪聲與接收距離系統(tǒng)參數(shù)不同而造成的誤差。

總體來說，靜態(tài)散斑對比度法對噪聲敏感，環(huán)境變動對實驗結(jié)果影響較大，而散斑對比度系數(shù)法則能消除環(huán)境影響，具有更高的準確性。隨著計算機處理能力的快速提升，超大運算量的計算已不需要像以往那樣花費大量時間，在處理時間可接受的前提下，采用散斑對比度系數(shù)R（mT）來消除相干因子β可在最大程度上保障測量準確性。同時圖像采集過程與計算處理過程獨立進行能在保障采樣時空分辨率的同

時保留最大的測量準確性。實驗中，顆粒溫度的

時間分辨率主要受限于線陣CCD的采樣速率，CCD相機的快速發(fā)展也使得實驗中的時間分辨率不再是需要考慮的主要問題。

5結(jié)論

系統(tǒng)地探討了散斑可見度光譜法中相干因子β的計算與消除方法，結(jié)果發(fā)現(xiàn)利用散斑對比度系數(shù)R（mT）來消除相干因子β能最大程度地避免由于外部環(huán)境或噪聲影響而帶來的誤差，可以避免測量系統(tǒng)繁瑣的停轉(zhuǎn)與開啟過程以及該過程所引入的誤差；同時給出了散斑對比度系數(shù)

法中計算量較大導致的時間分辨率較低這一問題的解決方法。采用散斑對比度系數(shù)法計算得

出的顆粒溫度由于方法統(tǒng)一，消除了外部環(huán)境不同造成的測量結(jié)果差距較大的問題，使得不同時段不同操作環(huán)境的實驗結(jié)果具有可比性。

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（編輯：張磊）endprint