高中立體幾何常見題型及解題技巧

☉河北省武安市第一中學(xué) 李瀟陽

空間圖形問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為平面問題，而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決問題的重要思想方法.利用直線與直線的位置關(guān)系，研究直線與平面的位置關(guān)系，利用直線與平面的位置關(guān)系研究平面與平面的位置關(guān)系，反過來，由平面與平面位置關(guān)系又可進(jìn)一步掌握直線與平面的位置關(guān)系，由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系又可進(jìn)一步確定直線與直線的位置關(guān)系.一般情況下，高中立體幾何的題型在解析中都具有一定的規(guī)律.在解填空題時，可以采用排除法、直接計(jì)算法等多種方法來進(jìn)行解題.在實(shí)際運(yùn)用中，有時需要采用多種不同的解題方法，以提高立體幾何的解題效率和正確率.

一、高中立體幾何的基礎(chǔ)知識整合

平行和垂直是空間中兩種重要的位置關(guān)系，平行關(guān)系、垂直關(guān)系是其他位置關(guān)系的基礎(chǔ)，在線線平行與垂直、線面平行與垂直、面面平行與垂直這些位置關(guān)系中，線面平行與垂直起著承上啟下的作用.因?yàn)樗N(yùn)含著平移，線線平行（或垂直）、面面平行（或垂直）相互轉(zhuǎn)化，空間問題與平面問題相互轉(zhuǎn)化.

由上表可見，線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）是可以相互轉(zhuǎn)化與化歸的，通過轉(zhuǎn)化可以實(shí)現(xiàn)降維.

1.線面、面面平行的證明方法

證明線面平行常用方法有：（1）定義法：線面沒有公共點(diǎn)；（2）線面平行的判定定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理.

在解題時，一般運(yùn)用后兩者.在判定兩個平面是否平行時，首先需要對線線平行以及線面平行的問題進(jìn)行考慮［1］.可以根據(jù)定義來判定兩個平面是否有公共點(diǎn).此外，還可以根據(jù)面面平行的判定定理來判斷.

2.線面、面面垂直的證明方法

證明線面垂直常用方法有：（1）定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，則這條直線垂直于平面；（2）線面垂直的判定定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理.

在解題過程中，一般常用后兩者，尤其是性質(zhì)定理的合理使用會顯著提升解題的效率.

3.空間角的計(jì)算方法

空間角包括異面直線所成角、線面角、二面角，在計(jì)算空間角時，可以利用降維的思想方法，首先通過平移得到平面角，然后借助平面幾何的知識解三角形求出角的大小.

二、高中立體幾何常見題型的解題案例分析

1.立體幾何選擇題的解題技巧

例1（2012年陜西卷）已知六棱錐P—ABCDEF的底面是正六邊形，如圖1，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

（A）PB⊥AD

（B）面PAB⊥平面PBC

（C）直線BC∥平面PAE

（D）直線PD與平面ABC所成角為45°

圖1

解析：本題的四個選項(xiàng)分別給出了線線垂直、面面垂直、線面平行和線面角的判定，重點(diǎn)考查了三垂線定理及線面角，其每一個選項(xiàng)的設(shè)計(jì)都考查了學(xué)生的邏輯思維能力.這類題是歷年高考考查的重點(diǎn).在本題的解題過程中，可以綜合利用三種解題方法［2］.

對于選項(xiàng)A，可以直接利用定理：

因?yàn)镻A⊥平面ABCDEF，所以PB在平面ABCDEF內(nèi)射影為AB.

若PB⊥AD，則AB⊥AD，（三垂線定理的逆定理）

而AB不垂直AD，故選項(xiàng)A不正確.

直接應(yīng)用定理解題是一種較為直觀的、常用的解題方法.

對于選項(xiàng)B和C，可以利用反證法：若平面PAB⊥平面PBC，作AG⊥PB于G，則AG⊥平面PBC，所以BC⊥AG，又BC⊥PA，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB，而BC與AB不垂直，所以選項(xiàng)B不正確.

若直線BC∥平面PAE，注意到BC∥AD，而AD與平面PAE相交，所以BC與面PAE相交，故選項(xiàng)C不正確.

反證法同樣是一種較為常見的解題方法，尤其是在選擇題的解答中，合理利用反證法能夠有效提升解題的效率.

對于選項(xiàng)D，可以利用定義法：PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PDA中，因?yàn)锳D=2AB=PA，所以∠PDA=45°.

定義法在立體幾何的解題應(yīng)用中，具有簡單明了、速度較快的特點(diǎn)，但對于一些復(fù)雜的題型，定義法解題就顯得有些難度.

2.立體幾何解答題的解題技巧

例2（2015年湖北卷）在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥平面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).證明：直線MN∥平面OCD.

分析：在線面平行的證明中，通常有多種不同的證明方式，一般較為常用的方法有兩種：

證法1：判定定理直接應(yīng)用法.

如圖2，取OD中點(diǎn)E，連接ME，EC，易知ME∥NC.

所以四邊形MNCE是平行四邊形，

則MN∥EC.

又MN?面OCD，EC?平面OCD，

所以MN∥平面OCD.

圖2

圖3

證法2：可以采用面面平行的性質(zhì)定理，但不容易思考到.［3］

如圖3，取OB中點(diǎn)E，易知ME∥CD，又EN∥OC，可分別證得ME∥平面OCD，EN∥平面OCD.

所以平面MNE∥平面OCD.

因?yàn)镸N?平面MNE，所以MN∥平面OCD.

三、結(jié)語

高中立體幾何的解題技巧可謂是千變?nèi)f化.但是萬變不離其宗，要以不變應(yīng)萬變：點(diǎn)線面體心中留，轉(zhuǎn)化思想少不了，若要解題解得妙，八般武藝才更好.在解題過程中，要時刻謹(jǐn)記轉(zhuǎn)化與降維的思想，同時眼觀六路耳聽八方，不能總是局限于一種解題的方案上，應(yīng)當(dāng)嘗試綜合運(yùn)用多種解題方式，從而做到枯藤老樹發(fā)新枝，柳暗花明又一村.

1.張娜.立體模型在高中立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用探究［J］.課程教育研究，2017（18）.

2.杜瑞姣.高中立體幾何高考試題分析及教學(xué)對策研究［D］.洛陽師范學(xué)院，2016.

3.佟麗麗.高中立體幾何教學(xué)的研究［D］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2015.