構造函數解決極值點偏移問題

☉武穴市教育科學研究院 劉全豐

☉武 穴 市 育 才 高 中 吳加興

近年來，導數一直是高考的壓軸題，常常需要構造函數，但是如何構造，一直是函數的難點，也是高考的熱點.近幾年高考題中出現(xiàn)了很多需要構造函數的題，其中不乏一些偏移點的問題，這更是讓學生感覺無從入手，部分學生有思路，但是沒有方法.本文就對函數的偏移點問題談一點想法，希望能夠對學生有一些幫助.

例1設函數（fx）=lnx-ax（2a∈R）.

（2）在（1）的條件下，若有（fm）=（fn），m＜n，證明：m+n＞4a.

（2）證法1：因為f（m）=f（n），

所以lnm-am2=lnn-an2，

a（m2-n2）=lnm-lnn，

為了消元，達到構造的目的，對于本題我們不妨兩邊同時乘以（m+n），要使不等式成立，令即證（m+

所以原不等式成立.

f′（x）＞0，0＜x＜1；

f′（x）＜0，x＞1.

所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，如圖1.

構造g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），

圖1

g（x）在（0，1）上單調遞減，

故g（x）＞g（1）=0.

所以f（2-x）＞f（x），f（2-m）＞f（m）=f（n）.

所以2-m＞1，n＞1，所以2-m＜n，所以m+n＞2.

這種解法它主要是通過數形結合建構m，n之間的關系，把m，n轉換到同一個單調區(qū)間上.本題由結論我們可以知道n＞2-m＞1，所以f（n）＞f（2-m），即f（m）＞f（2-m），因此可以構建新函數g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），從而很容易得出.

（A）f（′x0）＞0（B）f（′x0）=0

（C）f′（x0）＜0（D）f′（x0）不確定

所以f″（x）=0存在零點x0.

因為x1，x2∈（0，π），x1≠x2且（fx1）=（fx2），

F（′x）=f（′x）+f（′ π-x）=2-2sinx＞0，

所以f（x）＜f（π-x）.

令x=x1，f（π-x1）＞f（x1）=f（x2），

所以π-x1＜x2，

圖2

例3（2016年全國卷Ⅰ）已知（fx）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

解析：（1）a∈（0，+∞），過程略.

（2）不妨設x1＜x2，由（1）易知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），又f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，如圖3.

構造函數g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1，

g（x）=（x-2）ex+xe2-x，

g′（x）=（x-1）（ex-e2-x）.

當x＜1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）＜g（1）=0，

所以f（x）＜f（2-x），

所以f（x1）＜f（2-x1），

所以f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，

圖3

所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

x2＜2-x1，x1+x2＜2.

本題也是為了得到x1，x2之間的關系，從而構建g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1.這樣能夠把x1，x2轉化到同一個單調區(qū)間上，利用單調性來進行處理.

【問題反思】極值點偏移：對于函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個極值點x0，方程f（x）=0的解分別為x1，x2，且a＜則稱y=f（x）在（x1，x2）上極值點x0偏移.當，則稱函數y=（fx）在區(qū)間（x1，x2）上極值點x0向左偏移；當，則稱函數y=（fx）在區(qū)間（x1，x2）上極值點x0向右偏移.

圖4

解決方法：（1）若y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個極大值點x0，則其大致圖象如圖4，則可以發(fā)現(xiàn)：若x1到x0的距離為x，當x0左移時，f（x0+x）＞f（x0-x）；當x0右移時，f（x0+x）＜f（x0-x）.此時0＜x＜x0-a.所以我們可以構造函數g（x）=f（x0-x）-f（x0+x）（0＜x＜x0-a）.有時為了方便，不妨令t=x0-x（a＜t＜x0），因此對于此類問題我們也可以構造函數h（x）=f（x）-f（2x0-x）（a＜x＜x0），然后進行等價轉換即可求證.

（2）若y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個極小值點x0，做法同上，只是函數在各自的區(qū)間上單調性不同而已.

很多函數的題目看起來很難，只要我們把握住數形結合這個武器，克服畏難情緒，認真分析，注意細節(jié)，我們一定能夠體會到成功帶給我們的喜悅.