核心素養(yǎng)整體觀下的說題

☉山東省單縣第一中學(xué) 衛(wèi)小國 王進(jìn)軍

說題愈來愈成為一線教師研究解題教學(xué)、提升教學(xué)效率的一種新的、重要的教學(xué)研討形式.高效的說題能揭示題目系統(tǒng)、教材系統(tǒng)與方法系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián).說題的素材可以是教材例題、習(xí)題和高考題；其過程是詮釋選題來源、命題立意、知識點(diǎn)、理解與分析、解題策略、延伸與拓展.新一輪的素質(zhì)教育提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，已為專家和教師認(rèn)同且愈來愈重視在教學(xué)中的實(shí)踐，為基于學(xué)科素養(yǎng)的說題提供了發(fā)展的機(jī)遇.數(shù)學(xué)學(xué)科層面上的核心素養(yǎng)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的；它們相對獨(dú)立、互相融合，是一個有機(jī)的整體.說題若以說題基本流程為明線，以核心素養(yǎng)的落實(shí)為暗線，則能為沒有基本模式的說題添上“思維的隱形翅膀”.本文中筆者試圖從核心素養(yǎng)的整體性出發(fā)，設(shè)計一道高考解析幾何題的說題，以供探討.

一、高考試題呈現(xiàn)

（1）略；

二、說題設(shè)計

1.說題目的背景與分析——落實(shí)數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象所含的大量數(shù)據(jù)，篩選出有價值的數(shù)據(jù)信息，并對抽取的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、代數(shù)組合、猜想推斷、理論證明和獲取結(jié)論的過程，是形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)學(xué)試題，尤其是解答題的信息量大，且條件內(nèi)在聯(lián)系錯綜復(fù)雜；只有對獲取的信息進(jìn)行辨識、遴選、重組，才能形成解題思路的雛形.要達(dá)成恰當(dāng)且合理、高效的審題，取決于是否將數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)落實(shí)到位.因此在分析試題背景與條件時，要突出解決“題目如何設(shè)計、條件如何解讀”，切實(shí)融入數(shù)據(jù)分析活動.

說題部分：本題是一道解析幾何題，取材于選修2-1中“圓錐曲線與方程”；考查知識綜合應(yīng)用能力與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想方法，涉及包括：伸縮變換、圓的方程、平面向量的數(shù)量積、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、直線的方程等知識點(diǎn).試題的重點(diǎn)是題設(shè)幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是選擇適合的化歸方式確定定點(diǎn).

解析幾何定點(diǎn)問題，其本質(zhì)是運(yùn)動變化過程中的二元變量恒成立問題，解答時要充分轉(zhuǎn)化題設(shè)幾何條件所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系，來實(shí)施減元，化歸為關(guān)于斜率與截距k，b的方程，論證參數(shù)b與k是常數(shù)倍關(guān)系，對任意的k恒成立；也可以直接假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接論證定點(diǎn)滿足題設(shè)中的幾何條件.

而本題核心的條件為：“點(diǎn)P在圓x2+y2=2上”“Q在直線x=-3上”“—1”“直線l過點(diǎn)P且垂直于OQ”，共四個，結(jié)論是“直線l過定點(diǎn)F（-1，0）”.明顯可見題設(shè)“隱藏”了多個隱含條件和多重關(guān)系，并且每一個條件蘊(yùn)含許多信息；譬如條件“點(diǎn)P在圓x2+y2=2上”可以延伸出多種信息，其中解答時可以采取直接對動點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)而不求、三角換元點(diǎn)P坐標(biāo)或者定值|OP|=2.條件之間會存在若干種不同的并聯(lián)或串聯(lián)的組合形式，自然而然就有許多可供選擇的解題路徑；而如何優(yōu)化解題將是數(shù)學(xué)運(yùn)算的主題了.

2.說題目的解法探究——優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)據(jù)分析對試題條件的解讀，探究解題思路之后，選擇最優(yōu)的運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算的程序、求得運(yùn)算結(jié)果.如何實(shí)現(xiàn)解答與運(yùn)算的優(yōu)化，關(guān)鍵是架構(gòu)條件綜合體與結(jié)論之間的有效聯(lián)結(jié).為使得數(shù)學(xué)運(yùn)算方向清、脈絡(luò)明，利用思維導(dǎo)圖將能一目了然地展示思維過程，達(dá)到“優(yōu)化解題策略、條理邏輯推理”，同時將數(shù)學(xué)運(yùn)算鍥入到解題流程的之中.

說題部分：本題證明直線過定點(diǎn)，若從結(jié)論入手需論證斜率與截距的等式關(guān)系；也可從條件入手直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，再輔以向量轉(zhuǎn)化、一般論證或三角換元.如是至少有三種易于操作的切入方式；而不同方式研究對象的不同，因此可以繼續(xù)優(yōu)化.下面選取其中的三種進(jìn)行敘述，其一設(shè)直線l的方程，可表示出直線OQ及與圓聯(lián)立的方程組；因此可得點(diǎn)Q和圓中弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入數(shù)量積等式即可獲取，流程如圖1.

圖1

解題過程詳述如下（證法一）：當(dāng)直線l斜率不存在時，由題意可知，P（-1，1），Q（-3，0），顯然滿足.當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+m，且可設(shè)OQ取直線l與圓的另一交點(diǎn)為R，且PR的中點(diǎn)為T.同時可知）.聯(lián)立直線l與圓的方程，得

第二種可選的方案是直接設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡得到它們之間的關(guān)系；再表示出直線l，觀察是否能確定定點(diǎn)（如圖2）.

圖2

具體的解題思路如下（證法二）：設(shè)點(diǎn)Q（-3，yQ），P（xP，yP），其中yQ≠0，由已知：=（xP，yP）·（-3-xP，

若yQ=0，則-3xP=3，xP=-1，yP=±1，

直線OQ方程為y=0，直線l方程為x=-1，

即過P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

而另一種優(yōu)化的解題策略，是典型的代入論證與三角換元的結(jié)合，從導(dǎo)圖（圖3）明顯可見解答更顯簡潔.

圖3

而橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），且

則過P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

解題策略的選定，是解題思路圖表與解題數(shù)學(xué)符號在語言轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)；通過導(dǎo)圖的方式表示，能將繁雜的代數(shù)關(guān)系直觀呈現(xiàn)出來，便于優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算與設(shè)計運(yùn)算程序.值得關(guān)注的是，導(dǎo)圖是解題算法的具體化，是解題過程的藍(lán)本，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)實(shí)踐的極佳素材.

3.說題目的來源——巧借數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍棄事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)；是從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言以表征，以實(shí)現(xiàn)將已知的數(shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形.解題的技能與思維水平，在特殊到一般的推廣過程中，獲得質(zhì)上的飛躍；在不斷的實(shí)踐中，追求直至達(dá)到觀察問題更精準(zhǔn)、分析問題更徹底、抽象本源更吻合.

說題部分：研究同一命題的上述三種不同證法，發(fā)現(xiàn)問題中的定直線x=-3，不可隨意假定，且定點(diǎn)的坐標(biāo)值也不隨直線與圓的變化而改變；簡而言之，就是定點(diǎn)不一定是動態(tài)變化時的橢圓的焦點(diǎn).筆者借鑒之前研究解析幾何經(jīng)典問題，總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)：解析幾何有強(qiáng)大的幾何背景；試題只是命題淵源的具體化、特殊化.破解命題者設(shè)計的“迷障”，抽象出一般結(jié)論的最好方式，是將問題數(shù)據(jù)字符化.經(jīng)歷多次嘗試，筆者修改問題中的數(shù)據(jù)信息，終有所獲；當(dāng)推廣至一般橢圓及其伴生圓時，驚嘆定點(diǎn)恒為（-1，0），且是一個優(yōu)美的結(jié)論.

解析幾何中的典型問題，常常抽取了幾何本質(zhì)、隱藏知識背景，內(nèi)在蘊(yùn)含著特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)抽象指引下可以弄清背景、探求本質(zhì)、正本清源，是思維從內(nèi)隱走向外顯.因此適當(dāng)作一般性結(jié)論推廣的猜想與論證，是必要且可行的；借助條件與結(jié)論的相互依存和聯(lián)系的特點(diǎn)，展開可逆性分析與外延、拓展，通常會在“蘑菇四周發(fā)現(xiàn)蘑菇群”.

4.說題目的變式與拓展4.1畫板導(dǎo)引直觀想象

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題；表現(xiàn)為借助圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，提升數(shù)形結(jié)合的能力的同時，探索和形成論證的思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，感悟事物的本質(zhì).將抽象出的一般問題所含的代數(shù)信息，轉(zhuǎn)譯為幾何語言，借用技術(shù)手段直觀化；利用直觀圖形論證不同的“條件與結(jié)論”組合方式的正確性.

說題部分：根據(jù)原試題數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，可見“Q在直線x=-（a2+b）2”“=a2+b2”與“直線l過定點(diǎn)（-1，0）”是相互關(guān)聯(lián)且互為條件的.借助幾何畫板以便從圖形中觀察并猜想規(guī)律，運(yùn)用代數(shù)語言進(jìn)行簡潔地翻譯；研究發(fā)現(xiàn)其中有規(guī)律的定值和定直線存在，且數(shù)據(jù)有明顯的聯(lián)系（見圖4、圖5）.

圖4

4.2 推廣靶向數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建解決問題；是數(shù)學(xué)應(yīng)用的范疇，是有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián).解析幾何通常有一個奇妙的源頭，也即是問題的一般性數(shù)學(xué)模型；緊跟數(shù)學(xué)抽象、直觀想象之后，自然能歸納出這個“源”.

說題部分：本題的推廣，可根據(jù)直觀感知與信息技術(shù)的融合，命題1可基于原有模型推廣而來；而以上兩動態(tài)圖呈現(xiàn)另一類“動中有定、變中有不變”的特點(diǎn)，形上用畫板即可論證，易于用數(shù)學(xué)語言概括的.圖4與圖5的結(jié)論可以以代數(shù)符號表述為如下面的命題2與命題3，命題2：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C：1伴生圓x2+y2=a（2a＞1）的上動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-（a2+b2）上，若過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過定點(diǎn)（-1，0），則

4.3 論證遵循邏輯推理

邏輯推理是以一些事實(shí)和命題為始發(fā)點(diǎn)，通過演繹推理或類比推理，推出其他命題的素養(yǎng)；旨在能邏輯地思考問題，發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)命題，并探索與表述論證過程.猜想是建立在想象與歸納的基礎(chǔ)之上，只有合理地、嚴(yán)密地、邏輯地推理，才能獲得最核心、最本質(zhì)的結(jié)論.

說題部分：本題背景改變后，針對上面的基于畫板的猜想，建立了不同情形下的數(shù)學(xué)模型.這都是典型的歸納總結(jié).而論證命題的真假，要進(jìn)行嚴(yán)密的證明，下面僅對命題3進(jìn)行證明，過程如下：

證明：設(shè)Q（xQ，yQ），P（xP，yP），

故點(diǎn)Q在直線x=-（a2+b2）上.

三、素養(yǎng)與說題融合的思考

說題能從宏觀上促進(jìn)教師的專業(yè)快速成長，從局部上來看，說題促使教師對試題進(jìn)行深入探究、挖掘試題的深層背景、理解試題的命題立意、把控試題的命題趨勢，提升備考的針對性和實(shí)效性.而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是一個整體性系統(tǒng)，能在概念教學(xué)中滲透，也能在解題教學(xué)中培養(yǎng)；以實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的顯化和具體化，一改一線教師認(rèn)為素養(yǎng)虛無的觀念.當(dāng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入說題活動，將為核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐開拓新領(lǐng)域，也為說題指引了明確的方向；使得抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)科功能，通過具體問題的解決獲得展現(xiàn).同時，核心素養(yǎng)指引下，說題的設(shè)計的目的性更強(qiáng)、更有效，必然在推動教師教研能力提升的同時，提高學(xué)科的教學(xué)效率與教育水平.

1.張玉珍，蘇洪雨.一道高中解析幾何題的說題設(shè)計探究［J］.數(shù)學(xué)通報2017（6）.

2.衛(wèi)小國.大道多至簡，取勢方明道——“析、譯、拓”解題教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（4）.