多方位審視問題思維方式的實(shí)踐性探討及教學(xué)啟迪

☉江蘇省江陰市華士高級中學(xué) 沈 毅

☉江蘇省江陰市華士高級中學(xué) 王文明

解析幾何這一數(shù)學(xué)學(xué)科的顯著特征就是通過坐標(biāo)系用代數(shù)方法進(jìn)行幾何問題的研究，平面幾何中探求平面內(nèi)動點(diǎn)軌跡方程與運(yùn)動規(guī)律的首選方法便是坐標(biāo)法，其幾何性質(zhì)對于動點(diǎn)“靈魂”的體現(xiàn)是其他表現(xiàn)形式所無法比擬的，有關(guān)動點(diǎn)幾何條件的諸多不同表現(xiàn)形式均有著不一樣的解法.下面通過解析幾何的實(shí)際例題進(jìn)行多方位審視問題思維方式的探究，使學(xué)生在審題、解題及拓展的深層次探究中夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并因此在教材回歸中獲得思想方法的感悟及思維能力的提升.

一、問題提出

筆者在“直線與圓”這一知識點(diǎn)的教學(xué)之后為學(xué)生提供了一道可以從多方位進(jìn)行問題審視的練習(xí)，主要是為了促進(jìn)學(xué)生審題、解題及拓展方面能力的提高，以下便以此案例進(jìn)行審題策略、方法等動態(tài)思維的整理分析.

例1 如圖1，C1：（x+3）2+（y-1）2=4、C2：（x-4）2+（y-5）2=4是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩個圓.

圖1

（1）若過點(diǎn)A（4，0）的直線l被圓C1所截的弦長為求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面xOy上的點(diǎn)，若過點(diǎn)P且相互垂直的無窮多對直線l1、l2分別與兩圓相交，且l1、l2被兩圓所截的弦長相等，試求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).

二、探究試題源頭

（一）分析特點(diǎn)，認(rèn)清立意

這是一道立足直線與圓并考查學(xué)生能力的練習(xí)題，考查的主要知識點(diǎn)是直線與圓的方程，以及兩者之間的位置關(guān)系.題目特點(diǎn)如下：

第（1）小題涉及了直線方程、圓的知識、垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式等多方面的知識與內(nèi)容.第（2）小題是提供給學(xué)生的探究性問題，由（1）到（2）呈現(xiàn)出了對學(xué)生能力考查的螺旋式上升，也顯現(xiàn)出了“變”和“不變”之間思維方式的運(yùn)動變化，因此，此題是一條值得探究的具備多層次、多方向思維方式的典型習(xí)題.

（二）由“點(diǎn)”及“面”，追尋源頭

所要解決的問題即為這里所說的數(shù)學(xué)解題中的“點(diǎn)”，解題中所有的展“線”鋪“面”也都是圍繞這個“點(diǎn)”才能進(jìn)行分析、拓展和延伸的.

1.分析關(guān)鍵詞，剖析內(nèi)涵與本質(zhì)

2.緊扣內(nèi)涵，數(shù)形結(jié)合

審視問題的條件并從“形”的視角進(jìn)行探究，可以得出一直線被兩等圓截得弦長相等會包含以下兩種情況：一是兩等圓圓心的連線所在的直線與該直線平行或者重合，具體表現(xiàn)如圖2所示；二是該直線經(jīng)過兩等圓圓心連線的中點(diǎn)并跟兩圓相交，相切情況不包含在內(nèi)，具體表現(xiàn)如圖3所示.

圖2

圖3

如果直線經(jīng)過平面內(nèi)某一點(diǎn)并被兩實(shí)線等圓所截弦長相等，該點(diǎn)P可以處于任意位置，如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

按題意中描述，最特殊的應(yīng)該是圖6中點(diǎn)P的位置，圖7中過點(diǎn)P的直線就無法完全具備本題中所要表達(dá)的全部含義.

圖6

圖7

特殊和一般的辯證關(guān)系在上述分析中展現(xiàn)無余，此題中隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)也在題意深入分析與理解的同時得到顯現(xiàn).

圖2無論怎樣旋轉(zhuǎn)都無法達(dá)成題中無窮多對直線的要求，但是將圖3進(jìn)行如圖8所示的旋轉(zhuǎn)與變化就會得到題中滿足條件的圖形，點(diǎn)P及其對稱點(diǎn)也就找到了.

圖8

從“數(shù)”的視角對此題進(jìn)行探究可以發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)圓心距相等是第（2）小題中所涉及的直線對所具備的特性，探尋題中各點(diǎn)各線所構(gòu)成的直角三角形，并依據(jù)勾股定理可知點(diǎn)P到弦心距的垂足的距離是相等的，聯(lián)想切割線定理、解析幾何知識也可求出點(diǎn)P的位置.最后再聯(lián)想圓冪定理進(jìn)行兩圓外離、相離情況的分析，此題所隱含的實(shí)質(zhì)得到了充分的顯露.

3.統(tǒng)一認(rèn)知，梳理思路

上述所有分析都是圍繞審題層面而進(jìn)行的探究，下面對解題思路與方法進(jìn)行綜合的梳理，也為解題后的探究打下基礎(chǔ).從數(shù)形結(jié)合的角度（如圖9）對此題進(jìn)行剖析與歸納有四點(diǎn)體會值得小結(jié).

圖9

第一，由一般到特殊，過一點(diǎn)的相互垂直的直線對可以退化成兩直線重合這一特殊情況，并因此展開弦長相等的探究；

第二，旋轉(zhuǎn)90°能夠找到滿足題意的直線對；

第三，由圓的方程進(jìn)行題中所求點(diǎn)的直線方程的探尋；

第四，將兩等圓退化成兩圓心進(jìn)行剖析與探究，最終所求點(diǎn)的位置得以確定.

第（1）小題中所描述的經(jīng)過點(diǎn)A的兩條割線，相對于第（2）小題來說正是其中的一個特殊情況，把圖9中的PC1與PC2這對直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，滿足題中條件的直線對也就得以實(shí)現(xiàn)了.

總之，經(jīng)過此題的具體解析與探究，我們可以看出題中所求最終因?yàn)閷訉犹骄颗c退化歸結(jié)是為了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的呈現(xiàn)，新課程所要體現(xiàn)的理念在此題的探究中展露無疑，專家命題的良苦用心也得到了最好的體現(xiàn).筆者在解題中所展現(xiàn)的審題、解題及探究思想也使得學(xué)生的思維層面隨之提升.

三、教學(xué)啟迪

1.注重知識轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生感悟知識關(guān)聯(lián)

教師在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)首先從自身意識上對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延加以關(guān)注與理解，并因此展開對概念的辨析以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的牢固掌握.教師在此過程中應(yīng)加強(qiáng)對概念產(chǎn)生與發(fā)展過程的分析，并從多角度對數(shù)學(xué)問題中的顯化形式與內(nèi)隱條件進(jìn)行深層次的挖掘，數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系也就能夠比較完整地展現(xiàn)在學(xué)生面前了，學(xué)生的思維能力在有意義的共同探究與感悟中快速提高，同時還能在經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題與困惑中提升自身的反思能力.例如，本文實(shí)例中確定所求點(diǎn)的位置時，直線方程、圓的方程、勾股定理、圓冪定理等在問題的分析中得到了綜合性的運(yùn)用，這也是數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系與整合運(yùn)用的具體實(shí)例，因此，教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生在此方面進(jìn)行知識的關(guān)聯(lián)想象、整合與運(yùn)用，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念生成的深刻感悟才能在這樣的強(qiáng)化分析與有意引領(lǐng)中得以實(shí)現(xiàn).

2.加強(qiáng)解題前后思想方法的提煉與總結(jié)

學(xué)生在綜合性強(qiáng)的數(shù)學(xué)題中如果能夠比較清晰地理解題中所給條件，自然是對題目的深層次剖析已經(jīng)到位的結(jié)果，將題中所給信息轉(zhuǎn)化成教材呈現(xiàn)的基礎(chǔ)知識也才能順利實(shí)現(xiàn)，學(xué)生在經(jīng)歷了這樣的審題之后才能對解題中顯化或者隱藏的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、總結(jié)與思考，后續(xù)學(xué)習(xí)中問題的提出、分析及解決能力才能獲得更好的鍛煉平臺.

總之，數(shù)學(xué)解題教學(xué)最終能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)全方位地審視問題的思維提升才是最有意義和價值的，學(xué)生在多視角的思維之中才能鍛煉自身的思維交會與拓展，課堂教學(xué)的活力與靈氣也才能得到最有力的激發(fā).因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要加強(qiáng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考與挖掘，并依此進(jìn)行學(xué)生多視角審視問題的培養(yǎng)與鍛煉.F