高考三視圖問題常考題型及處理策略

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 程季康

三視圖問題是立體幾何的入門內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考點(diǎn).翻閱近年來的高考試卷，三視圖問題是高考的必考內(nèi)容；在學(xué)習(xí)之余，結(jié)合近年的高考真題，我總結(jié)近年來高考對三視圖的考查主要有以下幾個(gè)方面，現(xiàn)分類例析，供參考：

一、判斷幾何體的三視圖問題

給出一個(gè)幾何體的直觀圖，然后根據(jù)幾何體的形狀判斷其三視圖的問題.由于其難度較小，因此這類直接判斷型問題高考基本沒有涉及過.但在2013年和2014年的高考中，曾以空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)來表示幾何體，利用考生的想象能力來判斷幾何體的三視圖的問題.

例1（2014年湖北卷）在如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）.

圖1

（A）①和② （B）③和①

（C）④和③ （D）④和②

解析：如圖2，將四面體放入正方體中，四面體ABCD即坐標(biāo)系中四個(gè)點(diǎn)所圍成的四面體，顯然可以看出其正視圖為④，俯視圖為②，故選D.

圖2

例2（2013年全國卷Ⅱ）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 分 別 是 （1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到正視圖可以為（ ）.

解析：在空間直角坐標(biāo)系中，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)先畫出四面體O-ABC的直觀圖，再以zOx平面為投影面，沿y軸負(fù)半軸方向看去則得到正視圖，如圖3可以觀察得到A符合要求，故選A.

圖3

點(diǎn)評(píng)：上述兩題給出的均是空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由點(diǎn)的坐標(biāo)想象出空間幾何體的形狀，然后再判斷其三視圖，理論上是可以，但實(shí)際操作難度較大；此時(shí)將該幾何體在空間直角坐標(biāo)系中還原，則判斷其三視圖的問題即可迎刃而解.

二、利用幾何體的三視圖還原幾何體并計(jì)算

縱觀近年來的高考試題，大多數(shù)試題是先給出幾何體的三視圖，要求計(jì)算幾何體的體積、表面積及其他量.其中以計(jì)算幾何體的體積的問題居多，其次是計(jì)算幾何體的表面積，有時(shí)也會(huì)要求計(jì)算棱長或其余與幾何體有關(guān)的量.

1.利用幾何體的三視圖計(jì)算幾何體的體積

例3（2017年北京卷）某三棱錐的三視圖如圖4所示，則該三棱錐的體積為（ ）.

（A）60 （B）30 （C）20 （D）10

圖4

圖5

解析：根據(jù)幾何體的三視圖，還原其直觀圖，如圖5，可以看出該幾何體底面三角形兩條直角邊長為3和5，高為4，其體積為

點(diǎn)評(píng)：對于空間幾何體的三視圖問題，一般首先要觀察幾何體的三視圖，找出其特征及數(shù)量關(guān)系，再還原該幾何體的直觀圖；在還原幾何體的直觀圖時(shí)，對于規(guī)則的幾何圖形，一般將其放到長方體中來觀察特征，進(jìn)行還原，最后根據(jù)還原后的圖形計(jì)算幾何體中邊角關(guān)系.需要注意的是本題中俯視圖中的圖形不是幾何體的底面，它只是俯視時(shí)看到的圖形而已.

例4（2017年全國卷Ⅱ）如圖6，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）.

（A）90π （B）63π

（C）42π （D）36π

圖6

解析：由網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1可以看出該幾何體的正視圖由一個(gè)邊長為6的正方形和一個(gè)直徑為6的半圓組成，其側(cè)視圖由一個(gè)長為6，寬為4的長方形和一個(gè)直角邊長為6的等腰直角三角形組成，其俯視圖是一個(gè)直徑為6的圓；因此該幾何體的下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱；上面部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱切去一半所得的部分.所以其體積為.故選B.

例5（2015年課標(biāo)全國卷Ⅱ）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖7所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）.

圖7

圖8

解析：根據(jù)題意，該幾何體是由一個(gè)正方體截去部分后剩下的圖形，由該幾何體的三視圖還原其直觀圖得到正方體ABCD-A1B1C1D1截去了一個(gè)三棱錐A-A1B1D1后的圖形如圖8所示.易知

點(diǎn)評(píng)：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.

2.利用幾何體的三視圖計(jì)算幾何體的表面積

例6（2017年全國卷Ⅰ）某多面體的三視圖如圖9所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（ ）.

（A）10 （B）12 （C）14 （D）16

圖9

圖10

解析：根據(jù)該幾何體的三視圖可以看出該幾何體是一個(gè)三棱錐疊放在一個(gè)三棱柱上面形成的，其直觀圖如圖10所示，從直觀圖可以看出該幾何體有2個(gè)全等的梯形，其上底為2，下底為4，高為2，所以其面積之和為S=2×12.故選B.

點(diǎn)評(píng)：對于根據(jù)幾何體的三視圖計(jì)算幾何體的表面積問題，一般先要根據(jù)幾何體的三視圖還原其直觀圖，再根據(jù)直觀圖觀察該幾何體各個(gè)面的形狀，從而計(jì)算其表面積.

自2007年以來，埃塞通過國際竹藤組織的竹子項(xiàng)目引進(jìn)了約20多個(gè)竹種試種，大多數(shù)竹種表現(xiàn)良好，其中龍竹(Dendrocalamus giganteus)、馬來甜龍竹(D.asper)、版納甜龍竹(D.hamiltonii)、黃竹(D.membranaceus)和龍頭竹(Bambusa vulgaris)建議大規(guī)模種植。

例7（2016年全國卷Ⅲ）如圖11，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）.

圖11

解析：根據(jù)三視圖，可以看出該幾何體是一個(gè)斜四棱柱，其底面是一個(gè)邊長為3的正方形，高為6；其正視圖看到的平行四邊形即為該幾何體的前面，顯然其是一個(gè)平行四邊形，底為3，高為6，面積為S1=3×6=18；其上下兩個(gè)面是兩個(gè)邊長為3的正方形，每一個(gè)面的面積為S2=3×3=9；其左右兩個(gè)面是兩個(gè)豎著放的長方形，底為3，高為正視圖中平行四邊形的一個(gè)邊長度為，即每一個(gè)側(cè)面的面積為.綜上，該幾何體的表面積為S=2（S1+S2+S3）=54+18.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題將三視圖放在網(wǎng)格中，其目的就是給出計(jì)算所需要的邊的長度.本題中幾何體的前后兩個(gè)面和上下兩個(gè)面很直觀，與其正視圖及俯視圖類似，但左右兩個(gè)側(cè)面是兩個(gè)豎放的長方形，其高線的長需要引起注意，防止出錯(cuò).

3.利用幾何體的三視圖計(jì)算幾何體中棱長或球體的半徑

例8（2017年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖12所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（ ）.

圖12

圖13

解析：根據(jù)該幾何體的三視圖，還原該幾何體如圖13所示，可以看出該幾何體是邊長為2的正方體中所截得到部分，其底面是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)垂直于底面.顯然其最長棱為圖中棱PA，其長度為|PA|=.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體三視圖的識(shí)別及幾何體邊角的計(jì)算，首先要根據(jù)其三視圖還原其直觀圖，再從其直觀圖中判斷出其中最長的邊，最后根據(jù)給出的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.

例9（2015年全國卷Ⅰ）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖14所示.若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（ ）.

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

圖14

解析：由三視圖可知，此組合體的前半部分是一個(gè)底面半徑為r，高為2r的半圓柱（水平放置），后半部分是一個(gè)半徑為r的半球，其中半圓柱的一個(gè)底面與半球的半個(gè)圓面重合，所以此幾何體的表面積為2πr2=4r2+5πr2=16+20π，解得r=2.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題只給出了三視圖中的兩部分，解決的關(guān)鍵仍然是從正視圖及俯視圖中確定幾何體的形狀.從正視圖是個(gè)圓可以確定該圓柱是橫放，從俯視圖中的長方形和半圓型可以確定半球在圓柱的后面，從而利用圓柱和球體的表面積公式計(jì)算出球的半徑.

4.利用幾何體的三視圖既計(jì)算體積又計(jì)算表面積

例10（2016年全國卷Ⅰ）如圖15，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）.

圖15

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

點(diǎn)評(píng)：本題解題的突破口在由三視圖觀察出幾何體的形狀，從而根據(jù)體積的值計(jì)算出球體半徑的長度，最終計(jì)算出球體的表面積.

例11（2016年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖16所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2，體積是_____cm3.

圖16

圖17

解析：根據(jù)三視圖，可以發(fā)現(xiàn)該幾何體是兩個(gè)相同的長方體靠在一起而形成的，它們的底面是邊長為2的正方形，高是4，其中一個(gè)“站立”，另一個(gè)“平躺”.其直觀圖如圖17所示.所以其表面積為S=2×（2×2×2+2×4×4）-2×2×2=72（cm2），體積為V=2×2×2×4=32（cm3）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖的識(shí)別與幾何體的表面積與體積的計(jì)算.先根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，再計(jì)算其表面積與體積.

從上面近年來的高考真題可以看出，三視圖問題往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合，解決此類問題的關(guān)鍵是由幾何體的三視圖準(zhǔn)確確定幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征，然后再根據(jù)要求進(jìn)行計(jì)算.一般說來，其難點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：一是根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)量關(guān)系；二是根據(jù)相關(guān)數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.只要解決了這兩個(gè)難點(diǎn)，三視圖問題一般都能迎刃而解.