化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

☉蘇州大學(xué)附屬中學(xué) 吳 進(jìn)

數(shù)學(xué)思想的掌握不是一蹴而就，而是需要經(jīng)歷一個(gè)較為漫長(zhǎng)的過程，因此在日常的教學(xué)中，教師要有意地反復(fù)向?qū)W生講解各種數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生潛移默化中掌握數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的目標(biāo).而化歸思想作為解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，它在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著非常崇高的位置，因此本文中，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，探究了化歸思想滲透的教學(xué)策略.

一、研讀教科書，提煉隱含的化歸思想

化歸思想往往會(huì)隱含在教科書的基礎(chǔ)知識(shí)中，因此作為一線的教育工作者，要正確對(duì)待教科書，深入挖掘、提煉教科書中隱含的化歸思想，而在課堂上，教師要合理地運(yùn)用化歸思想，引導(dǎo)學(xué)生用“已掌握知識(shí)”同化“新知識(shí)”，幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)于新知識(shí)的理解和掌握.例如，“函數(shù)的單調(diào)性”章節(jié)中，首先映入師生眼簾的是學(xué)生較為熟悉的“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”的圖像.深入研讀教科書發(fā)現(xiàn)，本節(jié)的教學(xué)素材就是基本的函數(shù)圖像，并遵照由“形”到“數(shù)”、由“特殊”到“一般”的原則，讓學(xué)生通過一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)圖像上升、下降過程中的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，推廣到“函數(shù)單調(diào)性”的定義.整體來(lái)講，本章節(jié)內(nèi)容可以分為三個(gè)階段：觀察圖像、歸納規(guī)律、得到結(jié)論，并且每個(gè)階段的活動(dòng)，都是學(xué)生認(rèn)知上的升華，且整個(gè)過程環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地完成學(xué)習(xí)目標(biāo).

二、關(guān)注通性通法，奠定化歸思想解題的基礎(chǔ)

“通性通法”是化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，換言之，“通性通法”與化歸思想具有一樣的普遍意義.通過查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，通性通法的知識(shí)就是化歸思想教學(xué)中的本原問題、標(biāo)準(zhǔn)問題，而在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重本原文本和標(biāo)準(zhǔn)型問題的分析與教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將對(duì)象轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，從而提高解題的效率和正確率.從數(shù)學(xué)問題的類型來(lái)講，確實(shí)呈現(xiàn)多樣性，但是就數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)來(lái)講，是不變的.因此，只要抓住問題的本質(zhì)，就能夠?qū)崿F(xiàn)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，更能夠?qū)⒅R(shí)與能力融為一體.例如，在學(xué)習(xí)“數(shù)系”時(shí)，為了掌握“復(fù)數(shù)系”的運(yùn)算法則，筆者通過研究整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系的運(yùn)算規(guī)律和運(yùn)算性質(zhì)這一“通性”.這樣不僅能夠消除學(xué)生對(duì)于“復(fù)數(shù)系”的陌生感，還能夠加深學(xué)生對(duì)于“復(fù)數(shù)系”的理解.

三、引導(dǎo)發(fā)散思維，提高學(xué)生的遷移能力

要想學(xué)生更好地領(lǐng)悟“化歸思想”，就要采用“啟發(fā)式”教學(xué)，使學(xué)生從不同角度思考問題、解答題目，進(jìn)而使學(xué)生的活躍思維得帶培養(yǎng)，同時(shí)還能夠使學(xué)生運(yùn)用“化歸思想”的能力得到鍛煉和提升.在考試、練習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到變式類比的題目，這就要求學(xué)生能夠做到“活學(xué)一題，貫通一類”，而解決變式類比的題目最注重的就是能夠合理地運(yùn)用化歸思想.

例1 關(guān)于x的方程|x-2|+|x+1|=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥3.

課堂上，筆者講解完例1后，緊接著給出了兩個(gè)變式，分別為變式1、變式2.具體如下：

變式1 關(guān)于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： 設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+1|，則有f（x）=由已知條件可知，存在x使不等式|x-2|+|x+1|≥a成立.通過運(yùn)算，得出f（x）≥3，即|x-2|+|x+1|能取大于或者等于3的所有實(shí)數(shù).所以，當(dāng)a取任何實(shí)數(shù)時(shí)，不等式|x-2|+|x+1|≥a有解.

變式2 關(guān)于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由已知可知，實(shí)數(shù)a不大于|x-2|+|x+1|的所有值.設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+1|，則有f（x）≥3.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤3.

評(píng)注：例1、變式1、變式2是題目的變式類比，也是化歸思想的具體應(yīng)用之一.這三個(gè)題目是根據(jù)方程有解、不等式有解、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，而解決這類問題的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)的最值問題.

變式類比的題目在日常的練習(xí)和考試中經(jīng)常遇到，它的解決確實(shí)需要能夠靈活運(yùn)用化歸思想.而一題多解、正難則反的題目也較為常見，而解決問題也需要運(yùn)用到化歸思想.因此作為一線的教育工作者，要為學(xué)生創(chuàng)造和諧、愉悅的氛圍，萬(wàn)不能禁錮學(xué)生的思維，還要注重引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而使學(xué)生的遷移能力得到鍛煉和培養(yǎng)，更能夠提高學(xué)生解決問題的能力.

四、聯(lián)系新舊知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是孤立存在的，因此在日常的教學(xué)中，教師要盡可能實(shí)現(xiàn)“溫故知新”，使學(xué)生的大腦中形成具有自身特色的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).從某種角度來(lái)講，學(xué)習(xí)的過程就是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步擴(kuò)張的過程.而高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容是小學(xué)、初中數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)張和完善，而高中數(shù)學(xué)知識(shí)的顯著特點(diǎn)就是各分支之間的聯(lián)系更為緊密，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的難度更大，甚至部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)本身就存在矛盾性.但是，若能夠合理地運(yùn)用化歸思想將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化成為舊知識(shí)，這樣不僅能夠加快學(xué)生學(xué)習(xí)新知的速度，還能夠使學(xué)生盡快地將新知融入到已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，進(jìn)而使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量得到提高.作為一線的教育工作者，一定要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的零散，更要能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，將零碎的知識(shí)吸附到一起，形成完善、科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

例如，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.基本性質(zhì)及前n項(xiàng)和都可看成其遞推關(guān)系的推廣和應(yīng)用.但是，由于受到各種因素的影響，大多數(shù)學(xué)生會(huì)認(rèn)為等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，兩者之間聯(lián)系并不緊密，甚至部分學(xué)生認(rèn)為等差數(shù)列和等比數(shù)列之間毫無(wú)關(guān)系.而作為一線的教育工作者，就要做到聯(lián)系新舊知識(shí)，使學(xué)生就數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，形成一個(gè)完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖1.

圖1 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

五、分析反饋信息，開展針對(duì)性、目的性教學(xué)

教師的“教”是為學(xué)生的“學(xué)”提供服務(wù)的，因此作為一線的教育工作者，要學(xué)會(huì)聆聽學(xué)生的意見和反饋，更重要的是，教師要認(rèn)識(shí)到學(xué)生反饋信息的重要性，并能夠結(jié)合班級(jí)學(xué)生的實(shí)況，分析反饋信息，從而開展具有針對(duì)性、目的性的教學(xué).在日常的教學(xué)中，教師要尊重學(xué)生的個(gè)性差異，盡可能為學(xué)生提供展現(xiàn)自身“閃光點(diǎn)”的空間與平臺(tái)，同時(shí)還要盡可能彌補(bǔ)學(xué)生自身的不足，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，進(jìn)而使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力得到提升.學(xué)習(xí)過程就是逐步解決問題的過程，因此學(xué)生出現(xiàn)問題時(shí)，教師不要急于講解，更不要直接告知答案，而是要結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，最終解決問題，整個(gè)過程中有助于學(xué)生形成具有自身特色的學(xué)習(xí)策略.

例如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)性質(zhì)”這一章節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者以“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”為載體，了解了班級(jí)學(xué)生相關(guān)知識(shí)的掌握情況.對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，筆者讓學(xué)生思考課后的“探索與研究”，為學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)”奠定基礎(chǔ)；而對(duì)于基礎(chǔ)較為差的學(xué)生，筆者則通過“啟發(fā)式”的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生完成“函數(shù)性質(zhì)”的研究，在有必要的情況下，可以花費(fèi)2～5分鐘的時(shí)間，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)初中階段學(xué)過的“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”的相關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上在引導(dǎo)學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法.

綜上所述，教科書是課堂教學(xué)的主要載體，所以作為一線的教育工作者，要深入研讀教科書，挖掘、提煉蘊(yùn)含的化歸思想，進(jìn)而使學(xué)生的綜合素養(yǎng)和數(shù)學(xué)技能得到鍛煉和提升.同時(shí)，在日常教學(xué)的課堂上，教師應(yīng)在日常教學(xué)過程中有意地反復(fù)向?qū)W生講解化歸思想方法，使學(xué)生逐漸達(dá)到一定的認(rèn)識(shí)高度，最終能自覺地運(yùn)用.除此之外，教師還應(yīng)該注重反思，及時(shí)分析學(xué)生的反饋信息，不斷地創(chuàng)新和完善教學(xué)方法，開展具有針對(duì)性、目的性的教學(xué)，真正地貫徹“以生為本”的教學(xué)理念，落實(shí)素質(zhì)教育.

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