結(jié)果·過程·本質(zhì)
——高中數(shù)學解題反思能力的三條主線

☉浙江省臺州市第一中學 戴軍輝

高中數(shù)學教學中，我們要關(guān)注學生反思能力的培養(yǎng)，尤其是在圍繞數(shù)學問題的探索過程中，很多學生的研究止步于答案的得出，這顯然是不夠的.我們需要引導學生圍繞問題解決的一系列過程展開積極的反思，由此來培養(yǎng)學生的自我反饋能力和反思意識，進而提升學生的自主學習能力，這是課程改革背景下數(shù)學教師的重要職責，而且提升學生的反思意識不僅是培養(yǎng)學生自學能力的需要，它還將進一步改變學生的學習方法，推動課堂教學向更深層次發(fā)展.

一、對解題結(jié)果進行反思

學生對問題的解決不可避免地會出現(xiàn)一些錯誤，這并不可怕，關(guān)鍵是學生要善于對這些錯誤進行反思.學生錯誤的出現(xiàn)有時是由于知識上的缺陷造成的，有時是能力缺陷引起的，有時是邏輯和策略上的失誤造成的，還有是非智力因素形成的.所以，在解決完一個問題之后，教師都有必要引導學生對結(jié)果的正誤進行思考，探索錯誤發(fā)生的根源，明確錯誤產(chǎn)生的原因，進而找到正確的解決方法，并提出改進措施，引領(lǐng)學生積極展開糾正和提升工作.

例1 已知3x2+2y2=9x，求x2+y2的最大值.

反思：雖然以上采用兩種不同的分析思路得到了完全相同的結(jié)果，即x2+y2的最大值為，但是這些都是錯誤的，其原因在于學生沒有深入分析條件3x2+2y2=9x，由于2y2=9x-3x2是一個非負數(shù)，因此可知0≤x≤3.在錯誤解答1中，x=顯然不在上述關(guān)于x取值的限定范圍內(nèi)，所以答案肯定有誤；在錯誤解答2中，使用判別式進行解題的基本條件需要未知數(shù)的取值范圍是整個實數(shù)集，而現(xiàn)在x的取值范圍被限定，因此無法保證判別式能恒成立.

二、對解題過程進行反思

學生處理習題的主要目的是對所學的知識和技能進行鞏固，對所學的思想方法進行熟悉，對隱含于數(shù)學知識中的文化價值進行體會.因此，為了提升習題練習的效果，教師在學生完成解題后要積極展開思考，思考的問題可以是以下內(nèi)容：（1）問題分析過程的每一步推理和演算有什么依據(jù)，其中涉及怎樣的數(shù)學思想？（2）問題的處理中是否還需要補充哪些內(nèi)容，或是剔除某些環(huán)節(jié)？（3）圍繞問題的分析和解決過程，我們還可以得到哪些結(jié)論？（4）如果對題目的條件和圖形中的某些因素進行變換和表征，還能采用之前的方法來處理嗎？通過這一系列問題的處理和分析，我們可以引導學生對所學知識形成更加深刻的理解與認識，由此還能增強學生應用數(shù)學知識的基本意識，進而提高他們自主探索問題的主動性.

例2（1）已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，請確定實數(shù)a的取值；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，請確定實數(shù)a的取值.

解析：（1）對函數(shù)進行變形可得f（x）=-（x-a）2+a2+1-a，當0≤a≤3時，|f（x）|max=f（a）=a2+1-a?a=2；當a＜0時，|（fx）|max=（f0）=1-a=3?a=-2；當a＞3時，有|（fx）|max=（f3）=5a-8=3?a=，這不符合題意，因此舍去，即a的取值為2或者是-2.

（2）對函數(shù)變形可得（fx）=（x-a）2-a2+1-a，該函數(shù)圖像的開口向上，又考慮到給定區(qū)間的中點是，所以當a≥時，|（fx）|=（f0）=1-a=3?a=-2，這不符合題意，因此舍去；當a＜時，|（fx）|=（f3）=10-7a=3?a=1，這個數(shù)值與題意相符.

反思：在指導學生進行反思時，我們先要引導學生對一般化的問題：“求二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在區(qū)間［α，β］上的最大值”的處理方法進行概括：如果a＞0，則時，函數(shù)在x=α處可以取得最大值f（α）；時，函數(shù)在x=β處可以取得最大值f（β）.如果處可以取得最大值時，函數(shù)在x=α處可以取得最大值f（α）；當時，函數(shù)在x=β處可以取得最大值f（β）.

在對以上內(nèi)容實現(xiàn)概括的基礎上，學生進一步實現(xiàn)歸納：“求二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在區(qū)間［α，β］的最小值”的分析方法.

三、對問題的本質(zhì)進行反思

高中生在數(shù)學學習中的主要難點在于數(shù)學問題的千變?nèi)f化，很多問題在形式上雖然有不同，但是卻可以將其歸結(jié)到同一類題型上；有的問題形式類似，但是本質(zhì)有別，具有強烈的迷惑性.因此，我們在指導學生展開反思時，務必要深入問題的本質(zhì)，將形異質(zhì)同的問題進行歸類，由此引導學生總結(jié)出通性和通法；對那些形似而質(zhì)異的問題展開分析，提升學生的辨析能力，由此避免學生發(fā)生錯解.在具體的教學過程中，教師要鼓勵學生自主展開對問題本質(zhì)的探索并由此激活學生探索數(shù)學問題的興趣，進而幫助學生自主發(fā)掘?qū)W習潛能，提升學習的內(nèi)驅(qū)力.

例3 在橢圓1（a＞b＞1）上是否存在點P，使得∠APO=90°（其中O為原點，A為該橢圓的右側(cè)頂點）？

反思：問題的解決絕不是學習的終結(jié)，教師還要引導學生展開更深層次的探索和反思，基本的操作可以結(jié)合下列問題來展開.

在學生完成了例題的分析和求解工作之后，我們要進一步引導學生對類似的問題展開分析，學生通過研究會發(fā)現(xiàn)相關(guān)問題雖然在形式上存在差異，但是都屬于同一類問題，受之前解題思路的影響，學生充分發(fā)揮思維的遷移能力，妥善獲取了問題的結(jié)論.

綜上所述，高中數(shù)學教學要發(fā)展學生的自學能力，就要將其與數(shù)學思維能力、空間想象能力，以及實際問題的解決能力有機地整合在一起，須知反思僅僅只是手段，其目的是發(fā)現(xiàn)并解決問題，這樣不僅能優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，更加改善學生的學習方式，有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

1.劉希棟.高中數(shù)學反思性學習的實踐與思考［J］.數(shù)學教學研究，2004（10）.

2.白偉雄.淺談高中數(shù)學的反思性學習［J］.數(shù)學通報，2006（12）.

3.倪進.高中數(shù)學反思性學習的現(xiàn)狀調(diào)查［J］.中學數(shù)學雜志，2006（7）.F