淺談過程性教學(xué)中“彎路”的重要性

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學(xué) 湯 鴻

學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的快樂往往源于兩個方面：一是利用數(shù)學(xué)上巧妙的結(jié)論對數(shù)學(xué)問題實行“秒殺”獲得愉悅；二是通過對數(shù)學(xué)問題的探索獲得享受，但時常走彎路，好似古人說的“曲徑通幽處”.所以作為教師在教學(xué)時也經(jīng)常會遇到讓學(xué)生走“彎路”還是直接給“捷徑”的選擇，面對這種選擇，筆者結(jié)合實際教學(xué)，從教學(xué)設(shè)計、例題選擇、解題方法三個方面談?wù)剬Υ说恼J識，回答為什么高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要“過程結(jié)論需并重，彎路捷徑兩相宜”，以期拋磚引玉.

一、探究中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，“彎路”通幽處

案例1 《橢圓焦點三角形的面積問題》的教學(xué)設(shè)計.

學(xué)習目標：結(jié)合解三角形知識解決焦點三角形的面積問題.

重點、難點：理解橢圓的定義，掌握橢圓性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

1.創(chuàng)設(shè)情境，特例激疑

師：橢圓上的點P符合怎樣的條件？

圖1

生1：|PF1|+|PF2|=10 3 .

師：條件∠F1PF2=90°的等價條件是什么？

生2：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=200.

師：如何求△F1PF2的面積？

2.分析探究，認知類比

問題2：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=60°，如圖2，結(jié)果如何？

生4：條件|PF1|+|PF2|=10不變，由∠F1PF2=60°得到|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=

圖2

師：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=∠120°，結(jié)果如何？

生5：簡單，將問題中的60°換為120°即可，我已經(jīng)算出來了，S=25

師：好，我們一起來再將問題1進行變式.

問題3：去掉題中的條件∠F1PF2=90°，求△F1PF2面積的最大值.

師：非常好，現(xiàn)在大家回頭看看我們剛剛碰到的三種情況，有沒有什么問題？

生7：好像真有問題，∠F1PF2=120°時得到的面積超出了最大值，為什么??？

生8：因為∠F1PF2根本就取不到120°，當P在橢圓上運動時，只有當P落在短軸端點時∠F1PF2最大（如圖3，不要求證明），而此題中最大的∠F1PF2明顯小于120°.

圖3

師：所以和生5一樣想法的同學(xué)，沒注意到這個細節(jié)，導(dǎo)致錯誤了.

3.完善知識，歸納引申

圖4

生9：|PF1|+|PF2|=2a，

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|2.

說明：通過特例的研究，要使學(xué)生從低級的理論提升到高級的理論，從已有的認知結(jié)構(gòu)同化或順應(yīng)成為高一級的新認識結(jié)構(gòu).為此，適時歸納總結(jié)，適當反思評估，對實現(xiàn)“遷移應(yīng)用”層次具有重要作用.教學(xué)過程中，讓學(xué)生先“犯錯”再“糾錯”，而且學(xué)生錯得有價值，層層遞進似“彎”實“直”，方法過程與結(jié)論皆在其中，表面上的彎路卻和本質(zhì)上的結(jié)論同等地位，這樣的教學(xué)效果遠比教師直接將結(jié)論告知學(xué)生要好很多.

二、訓(xùn)練中提煉結(jié)論，“彎路”是階梯

案例2《和定點、定直線距離相關(guān)的軌跡問題》的教學(xué)設(shè)計.

1.問題的提出

圓錐曲線的“第二定義”，在新課程的教材中被隱去，可是通過對新教材的研讀，發(fā)現(xiàn)教材編者對該知識點的“戀戀不舍”之情.文2中P47例6，P59例5都是“不舍之情”的真實流露.“通過具體的例子使學(xué)生感受橢圓（雙曲線）的另一種定義方式，教學(xué)時要注意控制難度，不要對學(xué)生提出橢圓的“第二定義”的概念，更不要提出建立圓錐曲線方程的要求.”這是教材指導(dǎo)用書對上課教師的要求.針對這種情況，筆者采用的是題組教學(xué)法：

2.題組的呈現(xiàn)

題目：求滿足下列條件的點M的軌跡.

（1）點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=

（2）點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和它到直線l：x=

（3）點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=-4的距離之比是常數(shù)1.

3.選題的依據(jù)

“過程與方法”是新課程標準的一項課程目標.這一目標變“追求學(xué)習的結(jié)果”為“強調(diào)學(xué)習的過程”，注重學(xué)生學(xué)習過程的積極體驗和科學(xué)方法的掌握與內(nèi)化.這就要求教師不僅要關(guān)注學(xué)生對知識目標的認知和追求，更要關(guān)注學(xué)生個性的差異，關(guān)注學(xué)生能力的發(fā)展，注重學(xué)生對學(xué)習方法的主動探究，遵循學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的潛能.選用的例題作為教材例題具有代表性和權(quán)威性，也符合比較和類比學(xué)習的過程要求，順應(yīng)學(xué)生的認知規(guī)律.

說明：通過題組訓(xùn)練，學(xué)生重溫了直接法求點的軌跡的方程的過程，感受了常數(shù)對軌跡的影響，在不違背《指導(dǎo)意見》的前提下，讓學(xué)生充分體會，同時對引出拋物線的定義也就顯得自然了.

三、考試中運用結(jié)論，“捷徑”變“效益”

在平時的教學(xué)過程中，讓學(xué)生做一些“思考”“探究”，甚至犯一些錯誤，適當?shù)刈咭蛔摺皬澛贰保坏珜W(xué)生的意志品質(zhì)有所鍛煉，也有助于學(xué)生對知識點的深入理解和透徹認識，但往往要耗費大量的時間和精力，老師在講評試卷的時候，經(jīng)常會被學(xué)生追問有沒有簡單的方法.必須承認的事實，目前為止，考試是檢驗學(xué)生學(xué)習效果的最有效手段，傳授給學(xué)生一些實用的結(jié)論，以及適當?shù)慕忸}方法和技巧有助于提高解題效率，省時省力.

案例3 極化恒等式的引進和應(yīng)用.

題目：設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足且對于邊AB上任一點，恒有的形狀為___________.

常規(guī)解法：解決向量問題一般有兩條思路：利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化為基底的線性運算，建系設(shè)點坐標化處理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.沿著這兩條思路，學(xué)生比較容易想到的解法如下：

方法2：（利用捷徑）基本定理的方式是向量問題解決之本，但是需要花費一定的時間，適時地拋出“極化恒等式”的理論，告訴學(xué)生有一種方法能節(jié)省時間，立刻就能讓學(xué)生充滿好奇心和求知欲.極化恒等式b）2-（a-b）2］.

說明：在有限的考試時間內(nèi)，如果能給學(xué)生一個行之有效的方法，不僅僅是時間上的節(jié)省，也是對學(xué)生信心的提升和考試心態(tài)的良好調(diào)節(jié)，此時選擇走“捷徑”才是明智之舉.類似極化恒等式的結(jié)論，在考試過程中經(jīng)常會被應(yīng)用到的常見結(jié)論有：阿波羅尼斯圓，拉格朗日定理，洛必達法則等.

在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以以自己的經(jīng)驗節(jié)省學(xué)生的學(xué)習時間，往往造成的后果是學(xué)生變成做題的工具，對結(jié)論一知半解，缺乏必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的正確方向；另一方面，在緊張的考試過程中，如果平時不介紹一些思想方法、解題技巧和常用結(jié)論，會讓學(xué)生陷入大量運算之中，進而導(dǎo)致無法在有限的時間內(nèi)完成答題，會讓學(xué)生充滿挫敗感的負面情緒.教師在教、考之間，如何安排好過程和結(jié)論的比重，是一個值得思考的問題.

1.中華人民共和國教育部·普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中華人民共和國教育部·普通高中課程標準實驗教科書：數(shù)學(xué)選修2-1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.葉國芳，蔣青松.對一道高考題的通法研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（12）.F