從數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵，談運(yùn)算能力的培養(yǎng)

☉湖 北 省 黃 石 市 第 七 中 學(xué) 朱 瀟

☉貴州省貴陽市北京師范大學(xué)貴陽附屬中學(xué) 李鴻昌

一、問題提出

在執(zhí)教過程中，很多一線教師都有這樣的感受：學(xué)生的運(yùn)算能力欠佳，經(jīng)常出現(xiàn)“一聽就懂，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象.為什么會(huì)產(chǎn)生這種現(xiàn)象？到底何為運(yùn)算能力？如何培養(yǎng)運(yùn)算能力？僅僅只是耳提面命的說“同學(xué)們，你們要多算啊，運(yùn)算能力很重要！”這種“正確的廢話”就夠了嗎？從“數(shù)學(xué)育人”的目標(biāo)來看，肯定不是這樣.

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為核心素養(yǎng)之一，是指學(xué)生在學(xué)生明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，根據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的一種素養(yǎng).它主要包括理解運(yùn)算對象、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等能力.［1］本文以上述內(nèi)涵為著手點(diǎn)，結(jié)合具體實(shí)例，談?wù)勌岣邔W(xué)生運(yùn)算能力的一些想法.

二、實(shí)例分析

1.理解運(yùn)算對象，探究運(yùn)算方向

例1 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若A—→P=λA—→B+μA—→D，求λ+μ的最大值.

思路：如圖1，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，1），B（0，0），C（2，0）.

圖1

分析：本題系2017年全國卷3的壓軸選擇題，很多學(xué)生不知道如何下手，原因就在于沒有理解運(yùn)算對象——向量，而理解運(yùn)算對象是解題的第一步.向量溝通了代數(shù)、幾何和三角，是解決高中很多數(shù)學(xué)問題的有效工具.18世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，將平面上的點(diǎn)用向量表示出來，坐標(biāo)法的思想應(yīng)運(yùn)而生，坐標(biāo)法是解決向量問題的得力方法.由于缺少對向量的正確認(rèn)識和理解，學(xué)生很難將思維遷移到建立坐標(biāo)系上，而一旦知道建系后，學(xué)生就恍然大悟了.當(dāng)然，此題除了建系解決外，還有其他很多方法，就不再贅述了.

點(diǎn)評：學(xué)生為什么會(huì)想不到坐標(biāo)法？本質(zhì)就在于運(yùn)算對象理解不透.教師在教學(xué)中首先應(yīng)該不遺余力地讓學(xué)生理解一個(gè)個(gè)的運(yùn)算對象，理解其本質(zhì)以及常用處理方法.比如，通常怎么解決垂直問題，怎么解決直線與圓相交問題等等，而不是只追求運(yùn)算方法和技巧.只有理解了運(yùn)算對象，才知道怎么處理對象，運(yùn)算才有方向感.

2.選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序

思路：（法1）設(shè)直線l方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程，將=2轉(zhuǎn)化為x1，x2關(guān)系，利用韋達(dá)定理構(gòu)建等式求解.

運(yùn)算程序?qū)Ρ龋?/p>

?

分析：學(xué)生在不斷練習(xí)解析幾何問題后，頭腦中已經(jīng)形成了一個(gè)模式：“聯(lián)立、化簡、判別式、韋達(dá)定理”，但往往還是算不完整.由于解析幾何運(yùn)算量大，理解了運(yùn)算對象，知道運(yùn)算方向，但如果運(yùn)算方法沒有選好，很容易導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.對比方法1和方法2，方法1的運(yùn)算量過大，過程比方法2煩瑣，本質(zhì)在于所設(shè)的直線方程形式不同.那么學(xué)生怎么掌握運(yùn)算方法的優(yōu)化和選擇呢？這就是教師應(yīng)該引導(dǎo)的地方.

點(diǎn)評：很多教師在解題教學(xué)中，只是感動(dòng)了自己.學(xué)生只感受到教師方法的“妙”，但并沒有掌握方法的本質(zhì).什么時(shí)候設(shè)點(diǎn)斜式方程容易，什么時(shí)候用方法2的形式簡便，這些都是在解題教學(xué)中應(yīng)該總結(jié)和突破的.如果解題教學(xué)只停留在解題，那就失去了解題教學(xué)的意義了.只有注重運(yùn)算方法的優(yōu)化和選擇，才能使學(xué)生思維的靈活性和深刻性得到訓(xùn)練.

3.求得運(yùn)算結(jié)果，反思運(yùn)算道理

（1）求橢圓E的方程；

圖2

分析：本題系2017年山東高考理科壓軸題，難度比較大.但是從題目本身來講，解題思路應(yīng)該很清晰，由于運(yùn)算能力不夠，很多學(xué)生算不下去.現(xiàn)以其中兩個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)加以簡要分析：

1從而很容易求出取值范圍.這背后的算理就是換元法，換元法可以將煩瑣式子的化簡，給求值問題帶來很大的裨益.

點(diǎn)評：解題教學(xué)不是僅僅展示解題的步驟和過程，而應(yīng)該重點(diǎn)講解步驟背后的算理，即為什么這么算？這么算的好處在哪？如果不這么算困難在哪？這也就是為什么當(dāng)前很多學(xué)生能聽懂但是不會(huì)做的原因之一，因?yàn)樗麄冎皇钦J(rèn)同這種運(yùn)算步驟可行性，但是并沒有掌握算理，而算理在學(xué)生解題過程中是可以遷移應(yīng)用的，這才是運(yùn)算能力的核心.

三、結(jié)束語

1.多一些模塊，少一些技巧

陳永明教授認(rèn)為數(shù)學(xué)解題本質(zhì)是建立解題模塊和命題聯(lián)結(jié)系統(tǒng).這些模塊也就是我們通常所說的解題“套路”，高考中很多題都是有程式化思維路徑的.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為題目的重要考查指標(biāo)，該能力一定程度上可以歸結(jié)為學(xué)生頭腦中模塊的眾寡.教師在教學(xué)中應(yīng)該多幫助學(xué)生建立一個(gè)個(gè)解題模塊，而不是呈現(xiàn)出一個(gè)個(gè)破解題目的精彩技巧，技巧不足道也.

2.多一些概括，少一些觀賞

當(dāng)前很多教師不是缺少一題多解的能力，而是缺少歸納的能力.提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，就應(yīng)該竭力將運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)顯性化、算法化，從而形成類型，促進(jìn)圖式的建立.賈德的概括化理論認(rèn)為：概括出的一般原理才能遷移.題目是做不完的，但是掌握了運(yùn)算的方法，建立了解決某類問題的圖式就可以以不變應(yīng)萬變.學(xué)生不是教師提供解法的觀賞者，運(yùn)算能力的培養(yǎng)要去觀賞性，多一些體驗(yàn).

3.多一些碰撞，少一些權(quán)威

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)不會(huì)算時(shí)，你會(huì)怎么處理？很多教師是采取“呈現(xiàn)—講解”模式，這種模式只停留在“是不是”的階段，而運(yùn)算能力的培養(yǎng)更多的應(yīng)該是“為什么是”，即背后的算理.教師的解法不是權(quán)威，學(xué)生思維的碰撞才能產(chǎn)生火花.課堂中培養(yǎng)運(yùn)算能力應(yīng)該“百花齊放”，在不同的思維路徑、運(yùn)算方法的碰撞中去尋找運(yùn)算的核心.

總之，我們不能總是從意識層面去強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力的重要性，而應(yīng)該把握運(yùn)算能力的內(nèi)涵，從內(nèi)涵中尋找培養(yǎng)運(yùn)算能力的出路.

1.洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015.24（3）.

2.陳永明.《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究》［M］.上海教育出版社，2014，10.

3.金玉明.《借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算》［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（11）.