解題教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的理解

☉江蘇省邳州市炮車中學(xué) 陳海飛

眾所周知，數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)主要是轉(zhuǎn)化，是將陌生的問題情境轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，以展示最為簡(jiǎn)潔的充要條件形態(tài).但是數(shù)學(xué)解題的難點(diǎn)在于知識(shí)的選擇性，有時(shí)沒有合理的方法、沒有合理的算理、沒有巧妙的思考，初等數(shù)學(xué)中不少問題的解決便會(huì)進(jìn)入困境（這也是初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，技巧性相對(duì)而言比高等數(shù)學(xué)更為重要一些）.

不少學(xué)生（包括教師）將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績上不去的主因歸結(jié)為運(yùn)氣、狀態(tài)等個(gè)體之外的外部因素，筆者以為尚不可取.之所以這么說，筆者認(rèn)為主要原因有三：第一，教師缺乏對(duì)當(dāng)下時(shí)代高考的認(rèn)真研究，自2016年之后，除個(gè)別教育大省之外，高考數(shù)學(xué)卷不再各省份自主命題，這就要求對(duì)每年高考命題的思路，考查的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，考查的問題類型等有深刻的研究，我們常常聽到試卷命題的風(fēng)格為“保持平穩(wěn)、穩(wěn)中有變”，講得就是這個(gè)道理；第二，在函數(shù)概念、向量數(shù)量積、數(shù)列的構(gòu)造、不等式的運(yùn)用、翻折問題的處理等核心知識(shí)上多研究，不宜在陳舊問題或刪減的知識(shí)上過多參與；第三，講解題離不開一題多解，多元的方式恰是對(duì)思路的開拓，有助于學(xué)生自主選擇適合自身的解題方法，是教學(xué)的優(yōu)化.

一、研究當(dāng)下反思核心

為什么每年高三，不少學(xué)生做了這么多的數(shù)學(xué)題，花了這么多的時(shí)間，其效果卻并不那么顯著呢？筆者曾經(jīng)也很茫然.隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的增多，高三教學(xué)的參與增加，高考真題的研究增多，我們不難發(fā)現(xiàn)試題的“保持穩(wěn)定、力求創(chuàng)新”說得非常到位！來看一下浙江省的兩個(gè)真題，請(qǐng)大家做一番思索：

問題1：t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值為2，則t=_____.

分析：從兩道問題的表象來看，并沒有什么特別之處，給學(xué)生解決這兩個(gè)問題，學(xué)生最大的感受是差不多類型的問題，用分類討論可以解，但是有些煩瑣.那么這兩個(gè)問題到底透露著怎么樣的信息呢？解決這樣的問題的核心知識(shí)在哪里呢？這兩個(gè)問題恰是2008年浙江高考填空壓軸題和2017年浙江高考填空壓軸題，其實(shí)命題者的意圖和核心考點(diǎn)是一致的，來解問題1.從絕對(duì)值的幾何意義視角思考，令m=x2-2x，由x∈［0，3］可知-1≤m≤3，問題轉(zhuǎn)換為當(dāng)m∈［-1，3］時(shí)，|m-t|的最大值為2，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義可知t=1.

說明：精彩！命題者在后來的考試說明中反復(fù)舉本例，其指出兩個(gè)核心考點(diǎn)：其一，絕對(duì)值的幾何意義你們知道嗎？這是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，早在初中數(shù)學(xué)就已經(jīng)了如指掌；其二，自變量x和參量t相對(duì)獨(dú)立，自然而然的是整體思想可以介入.十年之后，浙江命題者又“殺回馬槍”，君不見兩題本質(zhì)完全相同，絕對(duì)值幾何意義欲然紙上嘛！所以說，研究真題的價(jià)值在于理解、掌握其問題背后的核心考點(diǎn)，這樣的思考遠(yuǎn)遠(yuǎn)比做無數(shù)道重復(fù)、徒勞的模擬題高效得多！

二、知識(shí)交叉理解核心

很多優(yōu)秀的試題都是在知識(shí)交匯處的考查，命題中特別注重知識(shí)的交叉，而且選擇的知識(shí)點(diǎn)又必定是章節(jié)中的核心知識(shí).對(duì)這樣的優(yōu)秀試題的分析，可以讓學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)在問題的解決中是如何考查的，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解章節(jié)中哪些知識(shí)是重要的、必須的.以向量為例，我們知道向量章節(jié)中最為重要的核心知識(shí)是向量數(shù)量積，以數(shù)量積作為考點(diǎn)的問題非常之多，比如向量的夾角公式、投影等，但是若僅單一的考查顯然不會(huì)出現(xiàn)在綜合性知識(shí)中，將其融合到一定背景的問題中則妙趣橫生.

圖1

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

分析：研究第（2）問，首先看一下參考答案的解答：聯(lián)立直線AP和BQ的方程，即解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是|PA|·|PQ|=-（k-1）（k+1）3.令f（k）=-（k-1）（k+1）3，因?yàn)樯蠁握{(diào)遞增，時(shí)，|PA|·|PQ|取得最試想問題是解決了，但是這樣的解法是不是真正的考查命題意圖呢？高中數(shù)學(xué)中某些知識(shí)性、工具性的武器是否思考到位了呢？讓我們回到圖形中進(jìn)一步思考，既然|PA|·|PQ|是共線的，那豈不是|PA|·|PQ|==向量工具性的作用躍然紙上，投影考查的本意凸顯出來，使得問題的解決跟參考答案相比完全是不且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

圖2

說明：思路的開拓性，大大降低了計(jì)算的復(fù)雜性.本題是高考命制的優(yōu)秀試題，凸顯了對(duì)考生的選拔作用，對(duì)于注重思維的學(xué)生，從垂直的視角聯(lián)想到投影，從而向量的工具性較為合適；對(duì)于注重運(yùn)算的學(xué)生，強(qiáng)調(diào)熟練度，較高的運(yùn)算能力也可以突破.對(duì)于知識(shí)交叉處的命題，自然而然成為教學(xué)的核心，對(duì)于考點(diǎn)的思考，又是方法選擇中的核心知識(shí)，因此向量數(shù)量積投影概念成為時(shí)時(shí)刻刻在知識(shí)體系中能被調(diào)用的重中之重.

三、思想為上運(yùn)用核心

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)最核心的部分.從解題教學(xué)的現(xiàn)狀來看，要加強(qiáng)核心知識(shí)的理解，還需要在數(shù)學(xué)思想方法上給予滲透，將核心知識(shí)在思想方法的指引下合理地運(yùn)用到位.只有具備思想的教學(xué)，才是有深度的、有靈魂的教學(xué).

問題4：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b.

（2）已知函數(shù)f（x）在［-1，1］上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

分析：主要分析第（2）問.有興趣的讀者可以搜索參考答案，以分類討論為主的切入，讓問題的解答側(cè)重代數(shù)化處理，顯得較為生疏.試想，學(xué)生不可能如參考答案般地進(jìn)行問題的討論.因此以思想為載體的核心知識(shí)的介入，成為新的思維起點(diǎn).試想，零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，從函數(shù)的角度來說，x2+ax+b=0?ax+b=-x2，令函數(shù)g（x）=ax+b及h（x）=-x2，則g（-2）=b-2a∈［0，1］，如圖2，構(gòu)造圖形，記A（-2，1），B（-2，0），C（-1，-1），那么lAC：y=-2x-3?b≥-3，l切：y-1=k（x+2），將其與拋物線y=-x2聯(lián)立，可知x2+kx+2k+1=0?Δ=0，得k=4-2正解不合題意舍去），此時(shí)l切：y=（4-2）x+9-4，因此b≤9-4，由兩個(gè)臨界狀態(tài)位置可知-3≤b≤9-4

說明：相比參考答案，這里體現(xiàn)了零點(diǎn)問題即兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)處理方式，以圖形化的處理替代了代數(shù)化的分類討論，言簡(jiǎn)意賅的同時(shí)，揭示了數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中對(duì)核心知識(shí)的駕馭.可以這么說，思想方法的介入和運(yùn)用勢(shì)必在困難問題上成為我們的核心武器，對(duì)于解題教學(xué)中核心知識(shí)的理解有著幫助作用.讓我們回頭想一想函數(shù)零點(diǎn)這一知識(shí)：何為零點(diǎn)？函數(shù)f（x）=0的點(diǎn).零點(diǎn)求解的基本方式，其一，解f（x）=0的方程；其二，轉(zhuǎn)化為g（x）=h（x），求兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).核心知識(shí)、核心對(duì)待、核心思想（數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)使用頻率最高的數(shù)學(xué)思想方法）、核心處理，成為教學(xué)的關(guān)鍵.

筆者認(rèn)為，以往講再多的題、練再多的題都沒有能夠解決一個(gè)問題的話，那樣的教學(xué)是可悲的、低效的.這一問題就是要理解數(shù)學(xué)考查的核心知識(shí)、核心技能、核心思想.章建躍博士早在2010年10月的《中小學(xué)數(shù)學(xué)》高中版的編后漫談中提及：“這一期的文章讓我欣慰又無奈，本期有三篇文章涉及零向量，說明老師們的研究很有專研精神，但是零向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中只是一個(gè)規(guī)定，并非核心知識(shí)所在，老師們的研究又有多少意義呢？正是這樣的闡述，讓我們理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)核心知識(shí)的理解和教學(xué)，對(duì)于零向量之類的知識(shí)，何不瀟灑一點(diǎn)？讓它隨風(fēng)去吧.”

1.殷偉康.數(shù)學(xué)概念教學(xué)中追問的特征與時(shí)機(jī)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014（5）.

2.黃嚴(yán)生，束從武.例談“問思”教學(xué)法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（11）.

3.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的策略與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010（5）.

4.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師解題設(shè)計(jì)應(yīng)具備的幾種意識(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（2）.F