反思解題方法，提升思維靈活性
——以反思三角函數(shù)解題方法為例

☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 朱利鋒

我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中常常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象，學(xué)生課堂上表現(xiàn)還行，但是到了課后作業(yè)時(shí)問(wèn)題重重，考試如果題目情境比較新學(xué)生解決問(wèn)題的能力就變得很弱，錯(cuò)誤連篇，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？筆者認(rèn)為這是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不靈活的表現(xiàn)，思維定式嚴(yán)重，因?yàn)閷W(xué)生不注重反思，在問(wèn)題解決后思考問(wèn)題僅僅停留在題干和自己解決問(wèn)題的方法表面，缺乏對(duì)問(wèn)題整體上的思考與把握，如果我們?cè)趯W(xué)生問(wèn)題解決后及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生反思，換一個(gè)視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行新的思考，不僅僅可以發(fā)展學(xué)生的全局意識(shí)，還能夠引導(dǎo)學(xué)生多角度挖掘解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，同時(shí)比較多種方法的優(yōu)劣，與此同時(shí)學(xué)生的思維也在反思解題的過(guò)程中變得更為靈活.本文以三角函數(shù)中的求值與證明為例就該話題進(jìn)行分析.

一、課堂上“案例法”領(lǐng)引學(xué)生反思

學(xué)生反思意識(shí)與反思能力是需要我們教師去引領(lǐng)與培養(yǎng)的，選擇合適的例題并指引學(xué)生在解題后進(jìn)行必要的反思有助于數(shù)學(xué)方法的沉淀和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的有效提升.

例1 已知tan（α+β）=mtan（α-β），且m≠1，求證：

反思：例1的題眼在哪里？你選擇的方法是什么？有沒(méi)有其他的方法可以證明？

在上述幾個(gè)方面的引導(dǎo)下，學(xué)生很自然地回顧自己的解題過(guò)程與方法，觀察、比較已知條件與證明目標(biāo)之間角度存在的差異，然后通過(guò)角度變換進(jìn)行求解的，在這一方法清晰后，學(xué)生思維切向“有沒(méi)有其他辦法呢？”的反思之中，通過(guò)反思和交流學(xué)生可以找到新的方法：

另法1：“化弦法”，學(xué)生通過(guò)對(duì)比已知式與證明目標(biāo)，從函數(shù)名出發(fā)，將已知式變形為的右邊，進(jìn)一步整理即可獲得，緊接著“切化弦”即可.

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生通過(guò)上述解題后反思過(guò)程，能夠有效提升審題能力和信息加工能力.

分析常規(guī)解法：例2對(duì)于學(xué)生而言，容易想到的方法：從待求式出發(fā)，將求解的問(wèn)題化為求解sinα，cosα，如何求sinα，cosα呢？很自然地聯(lián)系到借助于“解方程組”這一最基本的方法將得，再結(jié)合sin2α+cos2α=1解得sinα，cosα，然后再借助于二倍角公式求出sin2α，cos2α，最后代入cos中求解.這個(gè)方法很常規(guī)，學(xué)生也很容易就能想到，不過(guò)對(duì)于計(jì)算能力較弱的學(xué)生而言，在求解二元二次方程組時(shí)可能會(huì)因?yàn)檫^(guò)程稍微煩瑣而出錯(cuò)，因此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從是否有其他解法的視角進(jìn)行解題后反思.

從這兩個(gè)例題的處理來(lái)看，兩個(gè)案例均在學(xué)生完成了問(wèn)題解決后引導(dǎo)學(xué)生反思題目條件與待求目標(biāo)之間的關(guān)系，尋求解題的其他途徑與方法，這樣的反思引導(dǎo)著學(xué)生思維發(fā)散出去，從題干中所給信息的各個(gè)不同角度去思考可利用的數(shù)學(xué)思想方法，嘗試著運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法完成問(wèn)題的解決，在運(yùn)用方法解決問(wèn)題的同時(shí)也存在著對(duì)解法優(yōu)劣的比較，學(xué)生的解題思路得以有效拓展，促進(jìn)了知識(shí)在大腦中的有益聯(lián)系，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的思維變得更具靈活性.

二、精心設(shè)計(jì)課后作業(yè)，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化

學(xué)生的反思意識(shí)和能力在課堂例題的處理中已經(jīng)形成并得到了一定的發(fā)展，但是不同的學(xué)生可能發(fā)展的程度不一樣，為此我們?yōu)榱藱z測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，同時(shí)也是為了幫助學(xué)生及時(shí)地調(diào)整學(xué)習(xí)的方向與節(jié)奏，我們課后的作業(yè)布置應(yīng)該與課堂上所用的方法相匹配.例如，在和學(xué)生課堂上處理了上文中的兩道例題后，筆者精心設(shè)計(jì)有針對(duì)性的作業(yè)，旨在及時(shí)地反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況.

設(shè)計(jì)意圖：這三個(gè)作業(yè)的設(shè)置與課堂上的兩道例題緊密聯(lián)系，作業(yè)1與例1相聯(lián)系，在例1的問(wèn)題解決中學(xué)生已經(jīng)觀察并分析了角度差異、函數(shù)名稱差異、已知式與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)差異，當(dāng)時(shí)問(wèn)題解決的方法與經(jīng)驗(yàn)可以遷移并運(yùn)用到作業(yè)1的問(wèn)題解決中來(lái)；作業(yè)2與例2相聯(lián)系，在例2的反思中學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到了“角的拼湊法”在問(wèn)題解決中的重要性，通過(guò)作業(yè)2讓學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用，反饋學(xué)生在相似問(wèn)題的解決中是否能夠做到觸類旁通；作業(yè)3與例題2中解決問(wèn)題的多種方法相聯(lián)系，但是對(duì)學(xué)生信息加工能力的要求要比作業(yè)2要高一些，能夠很好地反饋學(xué)生思維的靈活性.總體而言，這3個(gè)作業(yè)的難度依次增加，但只要學(xué)生能夠很好地將課堂所學(xué)遷移過(guò)來(lái)，問(wèn)題是可以解決的，那么學(xué)生的完成情況如何呢？

結(jié)果反饋：作業(yè)1僅有一個(gè)同學(xué)粗心做錯(cuò)，其他同學(xué)在問(wèn)題的解決中所用的方法不完全相同，有部分同學(xué)運(yùn)用的是“弦化切”，有部分同學(xué)運(yùn)用的是“切化弦”，不過(guò)均成果解題；作業(yè)2有2個(gè)同學(xué)做錯(cuò)，同樣在做對(duì)的學(xué)生中方法也各異，有部分同學(xué)是先借助于二倍角公式和α），然后再拼湊角α+β=（2α-β）+（2β-α），求出tan（α+β），也有部分同學(xué)選擇的是先拼湊角先求，然后再借助于二倍角公式求tan（α+β）.不管是作業(yè)1，還是作業(yè)2，學(xué)生在方法的應(yīng)用上都很成功和靈活，說(shuō)明我們課堂上的反思環(huán)節(jié)起到了一定的效果，學(xué)生的思維發(fā)散開(kāi)來(lái)，并成功的運(yùn)用到了數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中來(lái).相對(duì)較難一點(diǎn)的作業(yè)3，錯(cuò)誤率也相對(duì)高一些，有9個(gè)同學(xué)出錯(cuò)，對(duì)于這幾個(gè)同學(xué)出錯(cuò)的原因在哪里呢？筆者選擇追問(wèn)的方式引導(dǎo)這部分學(xué)生從失敗中走出來(lái).

三、訪談式糾錯(cuò)，領(lǐng)引學(xué)生再反思

錯(cuò)誤并不可怕，如果我們教師處理得好，不僅可以領(lǐng)引學(xué)生從錯(cuò)誤中走出來(lái)，還有利于學(xué)生反思能力和思維靈活性的進(jìn)一步提升.

例如，面對(duì)作業(yè)3，9個(gè)同學(xué)做錯(cuò)了的結(jié)果，為了幫助學(xué)生從失敗中走出，有效銜接原有思維，筆者隨機(jī)選擇了一個(gè)作業(yè)3出錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行訪談.

師：在解決“作業(yè)3”時(shí)，你用到了哪些方法？你回憶一下困難出現(xiàn)在哪里？

生：用了角的拼湊法、解方程組等等；這些方法都試過(guò)了，解方程組的方法我已知道原因了，是因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤.但是角的拼湊不是很順利，由2x時(shí)出現(xiàn)了困難.

師：說(shuō)說(shuō)你具體的拼湊過(guò)程吧.

生（頓悟）：哦，我明白了.

通過(guò)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)話式的訪談，引導(dǎo)學(xué)困生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，有助于增強(qiáng)他們的自信心，提升他們思維的靈活性.