舊時王謝堂前燕，飛入尋常百姓家
——從第15屆IMO試題談起

☉浙江省寧波市北侖中學 馮 濤

2017年7月17日，全世界最優(yōu)秀的數(shù)學精英齊聚巴西里約，參加第58屆國際數(shù)學奧林匹克競賽，這項挑戰(zhàn)人類智慧的賽事即將迎來一個甲子，筆者作為一位中學數(shù)學教師也在萬里之外的中國將目光注視著這一年一度的盛會.國際數(shù)學奧林匹克競賽也簡稱（IMO），每個參賽國家代表隊選派6名優(yōu)秀選手參與為期兩天共計6道題目的解題比賽，而優(yōu)質的賽題往往比比賽結果更為讓熱衷于數(shù)學的人們津津樂道.筆者在整理往屆的IMO數(shù)學競賽題的過程中注意到一些歷久彌新的好題目，其中一道是上個世紀1973年第15屆IMO第三題：考慮所有這樣的實數(shù)a，b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一個實數(shù)根，試找出a2+b2的最小值.這個題目的條件與設問都非常簡潔卻意蘊豐厚，它先后被直接引用，或者改編為高考模擬試題，其他各級別的數(shù)學競賽試題，甚至還被改編為數(shù)學教師業(yè)務評比的測試題.真可謂“舊時王謝堂前燕，飛入尋常百姓家”.筆者將針對此題的解法、變式拓展，相關鏈接問題，以及其中包含的思想方法、教學價值做一個初步的梳理，供同行參考.

一、題目的解法

試題 （第15屆IMO第三題）考慮所有這樣的實數(shù)a，b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一個實數(shù)根，試找出a2+b2的最小值.

解法2：（構造法）注意到x=0顯然不是方程的根，原方程x4+ax3+bx2+ax+1=0兩邊同除以x2得，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），則原方程有解轉化為t2+at+b-2=0在t∈（-∞，-2］∪［2，+∞）上有解，此方程又可以看作關于點（a，b）所滿足的直線方程，而a2+b2可以看作直線上的點到原點的距離平方，于是a2+b2≥

解法3：（換元法）令a2+b2=r2，則a=|r|cosθ，b=|r|sinθ，與此同時，令t=x+，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），則原方程轉化為t2+|r|cosθ·t+|r|sinθ-2=0.

解法5：（利用方程的根的分布及韋達定理的“雙根法”）令t=x+，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），則原方程有解轉化為t2+at+b-2=0在t∈（-∞，-2］∪［2，+∞）上有解，不妨設兩個根為t1，t2，且不妨設t1≤-2或t1≥2，由韋達定理知t1+t2=-a，t1t2=b-2，所以a2+b2=（t1+t2）2+（t1t2+2）2=（t21+1）t22+

當a≥1時，為使a2+b2取最小值，取b=0，此時上述約束不等式均滿足，a2+b2≥a2.

二、題目的變式及相關問題鏈接

從上面的解法中我們不難看到，一道優(yōu)秀的競賽題幾乎涵蓋了中學數(shù)學所有重要知識點，代數(shù)的外殼，幾何的本質，它分別涉及了函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何乃至導數(shù)等.事實上，此題如果繼續(xù)探究還有其他一些解法，包括一些非初等的解法，這里僅僅選擇幾種比較有代表意義的初等解法，其核心都是圍繞已知條件和目標函數(shù)a2+b2的處理做文章.客觀地說，在此題的某些技巧解法對于沒有接受過數(shù)學競賽訓練的同學來說是不容易理解的，以至于當年的這個國際競賽題如今仍然活躍在國內競賽賽場和高考模擬試題當中，例如：如果將原題目的條件做一個弱化，目標函數(shù)不改變就得到了2017年浙江省紹興市柯橋區(qū)第二學期質檢第17題：

顯然，變式1的條件部分靈感來自于解法1中的第一步變形，而其他都沒有任何變化，巧合的是，若條件不變，改變目標則是2017年寧波市北侖區(qū)教師業(yè)務評比中的一道壓軸題：

變式2：函數(shù)f（x）=x4+ax3+bx2+ax+1至少有一個零點，求a2-b的取值范圍.

此題將原先平方和的對稱結構破壞掉，變成一個貌似更難的題目，實際上令z=a2-b，則目標函數(shù)顯然可以借助拋物線方程中“截距”的幾何意義處理，于是參考解法1的線性規(guī)劃思路，此題迎刃而解.有興趣的讀者還可以嘗試用其他方法解答上述題目.

變式3：（2013年浙江省數(shù)學競賽試題）設二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在［3，4］上至少有一個零點，求a2+b2的最小值.

顯然這道題目索性去掉了四次方程（函數(shù)）的偽裝，在立意上是更加直接地在向原題致敬，其解法也毫不例外可以借鑒原題的解法.這里不妨列舉幾種加以比較.

解法1：不妨設零點為t，t∈［3，4］使得at2+（2b+1）ta-2=0，進一步化成關于（a，b）的直線方程a（t2-1）+2bt+t-2=0，從而根據(jù)點到直線的距離公式可知a2+b2≥，因此只需求等式右邊的最小值即可.令u=t-2，u∈［1，2］，則右邊關于t的式子變成關于u的函數(shù)

易知當u=1，即t=3時，a2+b2取到最小值

解法2：將at2+（2b+1）t-a-2=0，化為a（t2-1）+2bt=2-t，根據(jù)柯西不等式得到［a（t2-1）+2bt］2=（2-t）2≤（a2+b2）·［（t2-1）2+（2t）2］，余下同解法一，不贅述.

解法3：設a2+b2=r2，（r＞0），a=rcosθ，b=rsinθ（θ∈R）.由題意可知，存在x∈［3，4］使r（x2-1）cosθ+2rxsinθ=2-x成立，于是sin（θ+φ）=2-x，|sin（θ+φ）|=

所以a2+b2的最小值為.這里后半部分也可以繼續(xù)換元借助基本不等式處理.

變式3的解法幾乎完全出自于IMO的那道競賽題，如果說第一次遇到此類問題需要的是靈感與技巧，那么再次遇到此類問題時，就有一定模式與解題經(jīng)驗可以遵循了.尤其是近些年，類似問題在高考或競賽題中層出不窮.筆者精選了一些題目供同行參考：

（1）（2008年浙江省數(shù)學競賽第10題）實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b-2=0有兩個實根，其中一個根在（0，1）內，另一個在（1，2）內，則的取值范圍是_______.答案

（2）（2014年浙江省數(shù)學競賽）已知b，c∈R，二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c在（0，1）上與x軸有兩個不同零點，求c2+（1+b）c的范圍.答案提示：設函數(shù)兩點式再結合基本不等式.

（3）（2017年福建省數(shù)學競賽）關于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在［1，2］上有實根，則a2+（b-4）2的最小值為________.答案：2.提示：柯西不等式.

（4）（2017年浙江省數(shù)學競賽）方程x2+ax+b=0在區(qū)間［0，1］上有兩根，則a2-2b的范圍是________.答案：［0，2］.提示：線性規(guī)劃.

（5）（2015年寧波市九校聯(lián)考模擬題）已知二次方程ax2+bx+c=0（a＞0，b∈R）在區(qū)間（0，2）內有兩個實根，若示：同第（2）題.

（6）（2015年浙江省數(shù)學競賽模擬題）（fx）=ax2+4x+b（a＜0），（fx）=0的兩根為x1，x2，（fx）=x的兩根為α，β，若α＜1＜β＜2，求證：（1+x1）（1+x2）＜7.提示：同第（4）題.

（7）（2015年浙江省文科20）設函數(shù)（fx）=x2+ax+b，在［-1，1］上存在零點，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.答案：［-3，9-4］.提示：同第（4）題.

（8）（2016年浙江省高考模擬題）已知函數(shù)（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，則3a+b的范圍是_______.答案：（-5，0）.提示：同第（4）題.

（9）（2016年湖州二模）已知關于x的方程x2+2bx+c=0（b，c∈R）在［-1，1］上有實根，且0≤4b+c≤3，則b的取值范圍是______.答案：［0，2］.提示：同第（4）題.

（10）函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈N*）在有兩個零點，求a+b+c的最小值.答案：42.

三、問題本質的解讀

縱觀上述例題的解法與列舉的練習，我們不難發(fā)現(xiàn)它們都有一個共同的本質特征，條件都是在（或可化為）已知二次函數(shù)零點分布（或二次方程根的分布）的前提下，求解一元或多元最值與范圍問題，我們可以稱這類問題為條件最值問題，這類問題在高等數(shù)學里面已經(jīng)有成熟的解法，例如拉格朗日乘數(shù)法，而在中學數(shù)學范疇，這類問題的求解需要豐富的解題經(jīng)驗為基礎作出靈活的判斷與選擇，這類問題在近幾年高考與競賽當中頻頻出現(xiàn)，特別是筆者所在的浙江省數(shù)學卷中.從命題者的角度看，命題者之所以偏好這類問題，一方面是浙江省考題一直以來延續(xù)的風格都是“簡約不簡單”，另一方面原因在于這類問題往往涉及多個數(shù)學知識點的交叉，對考生的多方面的素養(yǎng)（例如數(shù)學建模，數(shù)學運算，直觀想象，邏輯推理，數(shù)據(jù)處理等）做到了全方位的考查，這類題目往往出現(xiàn)在壓軸的位置，能夠起到“把關”的作用；從考生的角度來看，首先，是他們的心理層面上面對多字母有關的數(shù)學問題一直都是心有余悸；其次，相當一部分同學自覺應用分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)方程和化歸與轉化等數(shù)學思想指導自己解題的意識尚顯不足；最后，同學們還容易受到解題者非智力因素引發(fā)的各種失誤的困擾.

四、問題解法的反思

從原題求解的目標來看，a2+b2具有以下幾個思維取向：首先，它具有明顯的幾何意義——距離的平方，這就啟發(fā)解題者從幾何的角度處理此題，于是產生了線性規(guī)劃的解法1（實際上是非線性規(guī)劃），上述精選題目中的大部分題目如（1）、（3）、（4）、（7）、（8）、（9）、（10）都有明顯的幾何意義（斜率、截距、距離（平方）），利用線性規(guī)劃法處理，因此這可以視作解決此類問題一個“通法”，這對大多數(shù)普通的同學來說是可以學習掌握的；其次，a2+b2也容易聯(lián)想到圓的標準方程結構，于是可以作三角換元處理，這個方法也是處理多元條件最值的主要思路之一，因而原題解法3對于大多數(shù)同學來說也是應該掌握的方法；再次，我們更應該想到處理多元問題的首要想法是減元策略，剛剛提到的換元法本身也是將兩個字母變成一個字母的方法，原題的解法2，解法6都含有減元處理的策略，解法5利用方程的根與系數(shù)的關系將其中一個根看做主元處理，這也一樣滲透了減元的意思，只是對代數(shù)式的變形能力要求較高；最后，從競賽的角度看，a2+b2容易讓人聯(lián)想到柯西不等式（或基本不等式）等典型的競賽知識和方法，于是產生了更加快捷的解法也就不足為奇，這對于有過競賽訓練的同學來說是應有之義.

五、課堂教學的啟示

著名數(shù)學教育家G·波利亞說過：“中學數(shù)學教學的核心任務是解題”，他又說：“解題是中學數(shù)學中最有用的精華.”作為從事一線教學的中學數(shù)學教師如何講好題目呢？筆者認為教師需要做好以下幾個方面的工作，首先，教師應該精選優(yōu)質題目，題目不在多在于精，好的題目像一個寶庫，它能夠引領學生在思維的海洋里徜徉，教師應該有鑒賞好題目的能力，這需要教師也是一個愛好解題的實踐者，經(jīng)常解題，積累好的題目，并做好分類整理工作，正所謂賢者使人昭昭，教師對題目的理解和解題水平的高低很多時候影響著學生的解題能力提高；其次，教師的解題教學應該重過程輕結果，要善于將數(shù)學的冰冷的美麗還原為火熱的思考，善于循循善誘、深入淺出地引領學生分析題目，比如，在講解這道競賽題目的時候，可以先降低思維起點，結合學生水平實際，從簡單的二次函數(shù)根的分布題目入手，目標函數(shù)可以從單變量過渡到多變量，從線性目標函數(shù)過渡到非線性目標函數(shù)，條件中的參數(shù)可以從一個過渡到多個，而且這些過程可以放手讓學生自主參與，生生交流，師生交流，增加思維碰撞的密度、深度和廣度，這樣的課堂多起來，學生的解題能力思維水平就逐步得到了提高，從一題多解到多題一解，思維先發(fā)散再收斂，也就實現(xiàn)了華羅庚先生說的將書先讀厚，再讀薄的過程，也就可以讓師生從題海中解脫出來.再次，教師的解題教學不僅要讓學生登堂入室，解決具體問題，更應該引導學生從解題的過程中提煉出有用的思想方法，上升為理論或者至少是比較可靠的思維經(jīng)驗，將解題中有意無意的思維火花凝結為今后解題的思維直覺，從而達到培養(yǎng)學生良好的思維習慣和創(chuàng)新思維能力的目的.

1.G.波利亞，著.閻育蘇，譯.怎樣解題［M］.北京：科學出版社，1982.

2.何敏.多層次，寬視野，思講評——試卷講評的一些思考［J］.中學數(shù)學（上），2017（10）.F