把握變式時(shí)機(jī)，提升思維能力
——高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)時(shí)機(jī)的把握與實(shí)踐

☉浙江省寧波市鄞江中學(xué) 陳 波

變式教學(xué)這一高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)常用的手段在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能夠起到很大的作用：幫助學(xué)生進(jìn)行正誤辨析的同時(shí)令學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三；幫助學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行有效內(nèi)化的同時(shí)令學(xué)生腦海中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以順利構(gòu)建；幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維能力的同時(shí)令數(shù)學(xué)思想方法得以提高與升華；幫助學(xué)生綜合能力得到鍛煉和提高的同時(shí)令課堂教學(xué)效率穩(wěn)步提升.不過，教師在實(shí)施變式教學(xué)的過程中應(yīng)及時(shí)而準(zhǔn)確地把握恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)并結(jié)合學(xué)生實(shí)際與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行.

一、在概念生成處變式

我們以在函數(shù)奇偶性概念生成處進(jìn)行問題的合理變式設(shè)計(jì)為例，此案例中的變式設(shè)計(jì)能使概念的生成與發(fā)展層層遞進(jìn)，也使得學(xué)生在這樣的變式過程中產(chǎn)生自己的感悟與體會(huì)，學(xué)生在層層遞進(jìn)的變式訓(xùn)練中順利實(shí)現(xiàn)了函數(shù)奇偶性概念的自主建構(gòu).

案例1 請(qǐng)觀察以下兩組函數(shù)的圖像（圖略）并用自己的語(yǔ)言總結(jié)出它們的共同特征.

（1）f（x）=x2，f（x）=|x|，f（x）=x-2；

（2）f（x）=x，f（x）=x-1，f（x）=x3.

老師給出一些提示問題來幫助學(xué)生總結(jié).

①若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，現(xiàn)將圖像沿y軸翻折，那么圖像上的點(diǎn)（x0，f（x0））會(huì)跟翻折后的圖像上的哪個(gè)點(diǎn)重合呢？

②根據(jù)以上探究，會(huì)有怎樣的關(guān)系式呢？請(qǐng)用語(yǔ)言描述.

③你能用自己的語(yǔ)言來定義偶函數(shù)嗎？

④依此類比，奇函數(shù)的定義是怎樣的呢？

⑤你覺得掌握這些定義應(yīng)該關(guān)注哪些關(guān)鍵詞呢？你認(rèn)為奇偶函數(shù)的定義域又分別有哪些特點(diǎn)呢？

在自我經(jīng)驗(yàn)的激活下對(duì)知識(shí)形成構(gòu)建這就是我們常說的學(xué)習(xí).學(xué)生對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單吸收，以及教師在知識(shí)上的單向傳授都不是真正有價(jià)值的學(xué)習(xí)，真正有價(jià)值的學(xué)習(xí)是師生之間雙向互動(dòng)對(duì)知識(shí)展開探索的過程.教師在教學(xué)中將教材結(jié)構(gòu)進(jìn)行有目的地重新組合，并將之進(jìn)行一系列的問題變式，引導(dǎo)學(xué)生在變式的過程中進(jìn)行觀察、思考、探究及歸納總結(jié)，使得數(shù)學(xué)概念在師生互動(dòng)中得以形成與發(fā)展，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效內(nèi)化與深刻理解.

二、在易犯錯(cuò)誤處變式

學(xué)生在知識(shí)背景的理解、解題經(jīng)驗(yàn)及思維方式等各個(gè)層面上與教師相比自然是有很大差距的，因此，解題時(shí)候的不周全或者錯(cuò)誤自然是時(shí)有發(fā)生.教師如果在教學(xué)時(shí)能夠關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的“易錯(cuò)易混”知識(shí)點(diǎn)并因此進(jìn)行有策略性的變式，則一定能令學(xué)生對(duì)自己平日容易犯錯(cuò)的各知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生清晰而正確的理解，學(xué)生解題與辨析時(shí)候的免疫能力也就非比尋常了.

上述兩題考查的知識(shí)點(diǎn)主要在函數(shù)和數(shù)列的本質(zhì)區(qū)別上，函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，數(shù)列則是特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)镹*或其子集.之所以第三個(gè)不等式不一樣也正是因?yàn)閮烧咧g定義的本質(zhì)有區(qū)別而造成的.實(shí)踐證明，這樣的變式對(duì)于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)與函數(shù)這兩個(gè)概念以及它們之間的差異是具備極其積極的意義的，學(xué)生通過這樣的變式往往對(duì)這兩者之間的關(guān)系能夠形成更為清晰的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的辨析能力也在此過程中得到鍛煉與提升.

三、在知識(shí)交匯處變式

江蘇省考試大綱明確指出高考命題應(yīng)強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的交叉、滲透與結(jié)合，應(yīng)從學(xué)科整體意義的高度去考慮問題并使試題體現(xiàn)知識(shí)的綜合性，要以檢驗(yàn)學(xué)生是否具備網(wǎng)絡(luò)化的有序知識(shí)體系為目的，關(guān)注知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處進(jìn)行考題的設(shè)計(jì)，并在考題設(shè)計(jì)時(shí)注重知識(shí)深度的考查.因此，教師應(yīng)該在主干知識(shí)之間的交匯處進(jìn)行深入的研究并進(jìn)行有意義的變式設(shè)計(jì)，使數(shù)學(xué)知識(shí)與方法之間的遷移應(yīng)用在師生互動(dòng)的變式探究與訓(xùn)練中更加順利的實(shí)現(xiàn).

案例3 直線y=k（x+1）與圓（x-1）2+y2=1有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式1：A=｛（x，y）|y=k（x+1）｝，B=｛（x，y）|（x-1）2+y2｝，若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式5：若點(diǎn)P（1+cosα，sinα）（α∈R）在直線kx-y+k=0上，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

仔細(xì)研究本題中層層遞進(jìn)的一系列變式，我們不難發(fā)現(xiàn)這些變式將解析幾何與集合、函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有機(jī)的融合，正是在各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通的交匯處進(jìn)行設(shè)計(jì)的.習(xí)題的內(nèi)涵和知識(shí)間的聯(lián)系自然不是一般性的變式可以相提并論的.

四、在拓展延伸處變式

對(duì)知識(shí)的拓展和延伸不僅能使學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)的理解，還能使學(xué)生的探究引申能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.

案例4 已知a＞0，b＞0，求證：a5+b5≥a3b2+a2b3. ①

證明：用作差比較法，（a5+b5）-（a3b2+a2b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.因?yàn)閍，b∈（0，+∞），（a-b）2≥0，故（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，故命題成立.

拓展1：從原不等式的結(jié)構(gòu)特征入手來分析，還有其他相似的不等式可以證明嗎？

學(xué)生經(jīng)過思考得出a5+b5≥a4b+ab4（a＞0，b＞0）.②

拓展2：①和②兩個(gè)不等式相比，哪個(gè)更強(qiáng)？能排成不等式鏈嗎？

學(xué)生通過對(duì)a3b2+a2b3和a4b+ab4的大小比較，得出a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ③

故①和②兩個(gè)不等式相比，②的結(jié)論更強(qiáng).不等式鏈為a5+b5≥a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ④

拓展3：通過①～④的探究，你能得出更一般的結(jié)論嗎？

生甲：不等式鏈的一般結(jié)論為an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+a3bn-3≥…（n∈N，且每項(xiàng)的次數(shù)均為非負(fù)），a和b的次數(shù)越來越接近.

生乙：寫最后一項(xiàng)時(shí)，正整數(shù)n的奇偶性應(yīng)考慮進(jìn)去，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥

生丙：原以為a6+b6≥2a3b3此類不等式的結(jié)論已經(jīng)很強(qiáng)，但是沒想到在a6+b6與2a3b3之間還有兩項(xiàng)可以插入.結(jié)論是：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，有a6+b6≥a5b+ab5≥a4b2+a2b4≥2a3b3.

最一般的結(jié)論因此得出.

不過，教師在進(jìn)行變式引導(dǎo)與訓(xùn)練時(shí)始終應(yīng)將學(xué)生的實(shí)際需要放在首要位置，并因此結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行具備一定研究?jī)r(jià)值的變式拓展，學(xué)生在這樣的變式過程中不斷思考與探索才能真正將知識(shí)內(nèi)化為己有.

五、在思想方法處變式

數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為關(guān)鍵的重要內(nèi)容，它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的本質(zhì)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，作為數(shù)學(xué)思維結(jié)晶與概況的數(shù)學(xué)思想方法更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力必不可少的金鑰匙，對(duì)于數(shù)學(xué)問題的解決來說是其靈魂與策略.因此，教師在自己的教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法如春雨潤(rùn)物般地滲透進(jìn)自己教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，在經(jīng)典例題的教學(xué)中隨時(shí)關(guān)注思想方法的生成與發(fā)展并因此進(jìn)行變式的設(shè)計(jì)、引導(dǎo)與探究，以此促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維高速發(fā)展.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與值域；

（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x3-3ax2-2a，x∈［0，1］，若對(duì)于任意的x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得g（x0）≤f（x1）成立，a的取值范圍怎樣？

分析：（2）根據(jù)題意，只需要g（x）在x∈［0，1］上的值域包含f（x）在x∈［0，1］上的值域.因此，只需要通過導(dǎo)數(shù)求得g（x）在［0，1］上的最大值與最小值.

已知函數(shù)f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

變式1：若對(duì)任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

變式2：若存在x∈［-3，3］，使得f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

變式3：若對(duì)任意x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

變式4：若對(duì)任意x1∈［-3，3］，總存在x2∈［-3，3］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

學(xué)生主要錯(cuò)誤有：①對(duì)題中“任意”與“存在”兩詞的含義不能形成正確的認(rèn)識(shí)；②對(duì)題中單變量與雙變量的概念與意義不能形成正確的認(rèn)識(shí)；③對(duì)單恒成立與雙恒成立也一樣認(rèn)識(shí)不清.

學(xué)生在這一系列包含恒成立、方程有解以及不等式有解等問題的變式中能夠深刻領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)思想方法是多種多樣的，而且，活躍的課堂氛圍給學(xué)生帶來了更積極、更活躍的思維，運(yùn)用思想方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的良好習(xí)慣也在有意義的變式訓(xùn)練中得以較好地養(yǎng)成，課堂品位自然非一般性課堂可比.

學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)的思維往往會(huì)比較靈動(dòng)而多向，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注重不斷激發(fā)學(xué)生的興趣并使他們的思維空間得到不斷的刺激與拓展.掌握時(shí)機(jī)進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練對(duì)于此目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)來說正是極為有效的手段.學(xué)生的思維在條件的改變、結(jié)論的改變等一系列的變式訓(xùn)練中會(huì)更具靈活性、周密性、變通性與創(chuàng)造性.充斥著思辨、探究、交流以及拓展延伸的變式教學(xué)帶給學(xué)生的是活力煥發(fā)的激情，教師與學(xué)生在這樣精彩的共同演繹中才能使高中數(shù)學(xué)的課堂生成越發(fā)熠熠生輝.F