小議圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)的新視角

☉浙江省杭州市瓶窯中學(xué) 葉高嬌

眾所周知，圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點和難點，在高考中始終占據(jù)著重要地位.從學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀來看，我們不難發(fā)現(xiàn)圓錐曲線始終是學(xué)生較大的“軟肋”.究其原因，筆者認(rèn)為主要有三：第一，圓錐曲線本身的運(yùn)算要求更高，而應(yīng)試中短時間內(nèi)的高要求，運(yùn)算則顯然是大多數(shù)學(xué)生較為薄弱的環(huán)節(jié)；第二，圓錐曲線概念、性質(zhì)以及綜合運(yùn)用能力弱，這主要是因為復(fù)習(xí)教學(xué)沒有合理的整合性，教師合理的整合才能有助于學(xué)生合理的掌握；第三，也是最為重要的一點，沒有針對近年來高考熱點問題、重要問題進(jìn)行分析、思考和追蹤，從高考真題中尋找考查的熱點，做到有的放矢，這是復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵.

自2004年浙江高考自主命題以來，浙江卷對于核心知識的命題出現(xiàn)了不少經(jīng)典問題.這些經(jīng)典問題既考查了學(xué)生的基本知識和基本技能，也從立足于教材的角度作出了很好的區(qū)分，浙江卷給人以親切而不高冷，區(qū)分又非常合理的一種態(tài)度.本文結(jié)合本省近年來較有代表性的問題與大家一起分享，以便給后續(xù)的復(fù)習(xí)教學(xué)一些新的啟發(fā)、新的思考.

一、定義考查的新視角

定義的考查是高考命題的基本方向，但是定義考查的新意卻是比較難實現(xiàn)的.不難發(fā)現(xiàn)，以往對圓錐曲線定義的考查主要集中在圓錐曲線的感性定義之中，因此區(qū)分度較小，即便考查也沒有新的視角，屬于簡單問題.浙江卷的命題意圖卻從全新的視角出發(fā)，考查圓錐曲線的定義及其相關(guān)知識，從顯而易見的角度辨別學(xué)生是否理解圓錐曲線的含義，可謂從教材出發(fā)，高處著眼學(xué)生知識體系和能力立意.

例1 （2015年浙江文7）如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是（ ）.

（A）直線

（B）拋物線

（C）橢圓

（D）雙曲線的一支

圖1

分析：本題的載體是空間幾何，但是選項是清一色的圓錐曲線，對學(xué)生而言，這樣的問題顯然是知識整合處的考點，那么問題立足于教材哪里呢？以往的教學(xué)做了那么多的模擬題，是否認(rèn)識到這樣的問題才是源自教材又高于教材的好題.學(xué)生解決這樣的靈活考題，往往缺失了知識的聯(lián)系性，不妨讓我們翻開人教版教材選修2-1，來到圓錐曲線一章的第一頁，你能看到下列三幅圖組成的章頭圖，如圖2.

圖2

古希臘數(shù)學(xué)家在沙灘上研究對頂圓錐時，用不同角度的平面去截圓錐，發(fā)現(xiàn)了圓、橢圓、雙曲線和拋物線，因此圓錐曲線就此得名.教材中正是以這樣的章頭圖引入，告誡學(xué)生其名稱的真正含義.令人惋惜的是，筆者發(fā)現(xiàn)不少教師在教學(xué)時對章頭圖都沒有認(rèn)真思考過，很多學(xué)生到高三畢業(yè)都不知道圓錐曲線的真正含義？這樣的教學(xué)又有多少意義？讓我們回頭思考原題：先將平面抽離，則動點P滿足∠PAB=30°在空間的軌跡是以斜線段AB軸，以AP為母線的圓錐表面，若將平面α垂直于軸AB插入，則顯然軌跡是圓；若將平面α與軸AB成30°角插入，則顯然軌跡是拋物線；現(xiàn)斜線段AB與平面α所成的角為60°，其軌跡介于拋物線和圓之間，顯然是橢圓.將空間幾何問題與解析幾何問題融合考查，成為浙江高考圓錐曲線問題的新視角.再來看一道浙江的真題.

例2 （2008年浙江理10）如圖3，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運(yùn)動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）.

（A）圓 （B）橢圓

（C）一條直線 （D）兩條平行直線

圖3

圖4

通過對比研究，我們不難發(fā)現(xiàn)浙江卷的試題命制總是有“似曾相識燕歸來”的感覺，研究高考可以從研究高考試題的共性下手，研究問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，研究教材中最值得我們教學(xué)的知識核心.筆者以為這正是這些概念考查問題帶給我們的新思考，引導(dǎo)高三概念復(fù)習(xí)教學(xué)追求回歸教材、思考教材、挖掘教材.有興趣的讀者可以進(jìn)一步研究這些變式問題：

變式1：如圖4，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內(nèi)運(yùn)動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為_________.（答案：拋物線.）

變式2：二面角α-l-β大小120°，AB垂直平面β交l于B，動點C滿足AC與AB成40°角，則點C在平面α和平面β上的軌跡分別是___________.（答案：雙曲線、圓.）

二、性質(zhì)考查的新視角

對于圓錐曲線性質(zhì)的考查，浙江高考命題也可謂精挑細(xì)選，以一種“猶抱琵琶半遮面”的感覺出現(xiàn).眾所周知，橢圓、雙曲線、拋物線有非常多的性質(zhì)，在各種模擬試卷中對其性質(zhì)的研究不可謂不深，甚至某些性質(zhì)達(dá)到了專家研究的級別，但是高考命題卻反其道行之，不以“偏、難、繁”為對象，而是以教材所講述的基本性質(zhì)為考點進(jìn)行編制，再一次體現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)以教材為綱，又高于教材的基本要求.筆者以2011年浙江理科填空壓軸為例，來思考性質(zhì)考查的新視角.

例3 （2011年浙江理17）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左右焦點，點A，B在橢圓上，若，則點A的坐標(biāo)是________.

圖5

分析：初讀本題，感覺試題表述言簡意賅，而且定值類問題應(yīng)該在難度上也不會太大，但是筆者給學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于問題的理解卻是直觀的很，其思維方式根本沒有立足橢圓的基本性質(zhì)思考，看一下學(xué)生的嘗試：設(shè)直線AF1的斜率為k（k＞0），則直線AF1的方程為）.聯(lián)立橢圓x2+3y2=3，得（1+3k2）x2+采用這樣的方法處理的學(xué)生基本只能停留在此，為什么做不下去了呢？我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于圓錐曲線問題的求解已經(jīng)被訓(xùn)練成了一種模式化、套路化，即直線和圓錐曲線進(jìn)行聯(lián)立，采用韋達(dá)定理代入代數(shù)條件獲得解決，一旦韋達(dá)定理失效，則學(xué)生慌亂失措.本題恰好是找到了應(yīng)試教學(xué)的軟肋！其實學(xué)生的方式不是不能做，我們將其解決完畢，結(jié)合圖5可知，此時xA=0，點A的坐標(biāo)是（0，1）.同理，當(dāng)k≤0時，點A的坐標(biāo)是（0，-1）.但是，這樣的運(yùn)算去處理在一個填空問題上，顯然是得不償失的.那么教師應(yīng)該思考，高考試題到底考查了學(xué)生什么呢？看似平淡無奇，其背后隱藏的數(shù)學(xué)性質(zhì)是什么呢？

我們回顧圓錐曲線橢圓第一課，在介紹橢圓性質(zhì)的時候，我們闡述了橢圓對稱性是其最基本的性質(zhì)，其關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.高考命題正是基于此，從教材視角入手，我們思考本題的解答應(yīng)該是從對稱性入手：如圖6所示，設(shè)直線AF1與橢圓的另一個交點為B1，設(shè)點A的坐標(biāo)為（x1，y1），點B的坐標(biāo)為（x，y），由及橢圓對稱性可知，

圖6

122|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.設(shè)直線AF1為：x=ty-，聯(lián)立橢得y1=±1.故點A的坐標(biāo)是（0，±1）.

本題的合理思路才是命題者想傳遞的，其以教材橢圓最基本的對稱性為出發(fā)點，巧妙地將線段利用中心對稱作出，形成了學(xué)生普遍可以使用的韋達(dá)定理，這才是基于教材又高于教材最合理的體現(xiàn).對于這一經(jīng)典的高考真題，我們不妨對其進(jìn)行改編嘗試：

改編1：如圖7，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2-y2=1的左，右焦點，點A，B分別在雙曲線的左右兩支上，且滿足，則直線FA的斜率為______.

1

圖7

分析：如果理解了例3，自然一眼就看透了本題，雙曲線中心對稱的性質(zhì)躍然紙上，利用這一對稱性.我們可以將其轉(zhuǎn)換為合理的常態(tài)問題解決.筆者認(rèn)為，對于高考所考查的視角，教師要注重其數(shù)學(xué)問題背后的知識，要反復(fù)體會，要多角度思考，要以不同載體進(jìn)行訓(xùn)練（.答案：±

改編2：點P為雙曲線=1（a＞0，b＞0）第一象限內(nèi)動點，A1，A2為實軸端點，O為坐標(biāo)原點，記直線PA1，PO，PA2斜率分別為k1，k2，k3，若0＜k·1k·2k3＜27且可取遍開區(qū)間（0，27）內(nèi)任意實數(shù)，則雙曲線離心率為_________.

分析：橢圓、雙曲線中有不少經(jīng)典的性質(zhì)，從深度的角度來說，可能做不到面面俱到，但是常見的性質(zhì)需要教師提醒復(fù)習(xí)到位.如橢圓=1（a＞b＞0）長軸頂點與橢圓上動點P（m，n）（不重合于長軸頂點）連線的斜率乘積；雙曲線=1（a＞0，b＞0）實軸頂點與雙曲線上動點P（m，n）（不重合于實軸頂點）連線的斜率乘積2.本題筆者編制的時候恰以上述性質(zhì)為背景，有了這樣的知識背景，本題的解決自然水到渠成.本題 中，又0＜k1·k2·k3＜27且可取遍開區(qū)間（0，27）內(nèi)任意實數(shù)，所以

三、運(yùn)算考查的新視角

以往的直線和圓錐曲線綜合性問題，大量的復(fù)雜運(yùn)算往往是必備的.但是近年來浙江卷卻反其道行之，大量運(yùn)算的圓錐曲線試題并不是考查的首選，而是以非常態(tài)運(yùn)算作為考查的第一準(zhǔn)則，即首先講求算理，有了合理的算理再講求運(yùn)算，圓錐曲線問題已經(jīng)脫離了以往一味的死算、蠻算，進(jìn)入了擁有合理算理的全新運(yùn)算視角，教學(xué)要以這樣的真題作為教學(xué)的導(dǎo)向，讓學(xué)生理解合理的算理，也要讓教師明白很多模擬卷上的圓錐曲線綜合性問題都是“誤人子弟”.

（1） 已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標(biāo)；

圖8

（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離最大值為a-b.

分析：本題第（1）問實則是橢圓上一點的切線性質(zhì)，大部分學(xué)生無視知識的類比：過圓x2+y2=r2上一點P（m，n）作圓的切線，則切線方程為mx+ny=r2.圓和橢圓實則是同一曲線，自然而然在切線的性質(zhì)上是異曲同工的.第（2）問實則是函數(shù)問題的研究，既可以從函數(shù)視角建立模型，也可以尋找不等式的方式，但是顯然與模擬試卷中的常態(tài)運(yùn)算完全背離，可見命題者對學(xué)生運(yùn)算處理能力高度上的考查，那些一味靠直線與圓錐曲線聯(lián)立死算的學(xué)生則往往敗下陣來.

結(jié)合①②及P在第一象限，得

第（2）問：從問題的一般算理角度出發(fā)，自然是點到直線的距離公式，這是比較合理的、容易想到的算理.可時有最大值.

當(dāng)然本題還有不等式的算理，這不過是技巧上的選擇：設(shè)P（x0，y0）是橢圓=1上一點，且x0＞0，y0＞0，則橢圓在P點處切線l方程為，所以橢圓在P點處法線l2方程為顯然題設(shè)中的P點到直線l1距離恰等于坐標(biāo)原點到此法線l2的距離，設(shè)該距離為，于是由柯西不等式值為a-b.

從2014年開始，有興趣的讀者可以研究下浙江卷圓錐曲線綜合性問題，其思維的難度相比以往有所上升，但是其大量的運(yùn)算卻不見得提升，這與命題者努力提高選拔的思維層次性指導(dǎo)方針密不可分.因此筆者認(rèn)為教學(xué)中研究這些真題對于復(fù)習(xí)教學(xué)是大有裨益的.限于篇幅，本文研究了近年來浙江高考中的新的方向，也限于水平不可能面面俱到，但是從概念、性質(zhì)、算理的視角來說，高考命題者一直在不斷求變，教師要緊緊圍繞這些試題所傳遞的信息，將這一信息從中提煉出來，不斷分析、總結(jié)，使其在圓錐曲線學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)獲得全新的認(rèn)知和思考，同時也提升教師自身專業(yè)化的素養(yǎng).

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4.朱永祥.再談數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2008（2）.