再看“三角恒等變換”

☉湖北省華中師大一附中 劉馨怡

☉湖北省華中師大一附中 周龍虎

正值高三第一輪復(fù)習(xí)之際，我們?cè)诶蠋煄ьI(lǐng)下有條不紊地復(fù)習(xí)“三角恒等變換”這一章節(jié)，相對(duì)于高一新課的學(xué)習(xí)多了些許感受，愿與大家分享，不當(dāng)之處還請(qǐng)多指正.

我們的復(fù)習(xí)更重視教材的核心內(nèi)容的解讀與背后思想的顯化.老師說(shuō)，教材是高考命題之本，更是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的練兵場(chǎng).在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·必修4》（下稱(chēng)《必修4》）的第三章“三角恒等變換”的章首語(yǔ)中講到.

變換是數(shù)學(xué)的重要工具.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)代數(shù)的變換，在《必修4》的第一章也學(xué)習(xí)過(guò)同名三角函數(shù)式的變換，在此基礎(chǔ)上，本章將學(xué)習(xí)包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式的變換……三角變換包括變換的對(duì)象，變換的目標(biāo)，以及變換的依據(jù)和方法等要素.兩角和與差的正弦、余弦與正切公式就是三角變換的基本依據(jù).通過(guò)對(duì)這些公式的探求，以及利用這些公式進(jìn)行三角變換，我們將在怎樣預(yù)測(cè)變換目標(biāo)，怎樣選擇變換公式，怎樣設(shè)計(jì)變換途徑等方面作出思考，這些都將幫助我們進(jìn)一步提高推理能力和運(yùn)算能力.

我又查閱了百度百科關(guān)于此概念的解讀：

數(shù)學(xué)上的一類(lèi)公式，用于三角函數(shù)等價(jià)代換，可以用于方便我們化簡(jiǎn)式子，也方便運(yùn)算.基本上可以從三角函數(shù)的函數(shù)圖像中推理出誘導(dǎo)公式，也能從誘導(dǎo)公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式、和差化積、萬(wàn)能公式等.

通過(guò)對(duì)比，教材解釋得更通透些，三角恒等變換是變形而不變質(zhì)的不同于代數(shù)變換的一種變換，它的角（單角或復(fù)角的關(guān)系）與名（正弦、余弦或正切等）是我們思考的起點(diǎn)，變換過(guò)程中的目標(biāo)意識(shí)、簡(jiǎn)化意識(shí)及公式再現(xiàn)意識(shí)都是無(wú)可或缺的，這樣我們才能將三角關(guān)系中的“變換”打通關(guān).

例1 （《必修4》第141頁(yè)例4）如圖1，已知OP Q是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP=α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

例2 （《必修4》第146頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第七題）已知cos（α+的值.

圖1

倘若直接將這兩個(gè)問(wèn)題選為該章節(jié)的例題或者習(xí)題，絕對(duì)吊不起我們的胃口.不是太過(guò)簡(jiǎn)單的緣由，而是例題不能突出課題的核心思想——變換，其承載的變換的要素太少，需要拓展.因而，通過(guò)與老師討論，得到了以下問(wèn)題：

為節(jié)約篇幅，解答過(guò)程都略去.

問(wèn)題1中由于沒(méi)有給出內(nèi)接的形式，便存在多種可能性，增大了討論的難度，需要對(duì)邊角關(guān)系有一定的估算能力，從而得到另一種情形是矩形的一邊與OQ平行，通過(guò)作∠POQ的平分線(xiàn)可化歸到教材所給的模型中去；由于沒(méi)有給出“∠COP=α”這一條件，就有可能建立面積關(guān)于角（S=f（α））或者邊的函數(shù)關(guān)系（S=f（x））.巧妙的是，最終面積關(guān)于邊的函數(shù)關(guān)系中求面積的最大值，為簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，三角代換發(fā)揮了作用，并將該函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系化歸到面積關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系上.因此，通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的變式與拓展，我們不僅體會(huì)到了三角關(guān)系的變換（輔助角公式的運(yùn)用），還有三角關(guān)系與純代數(shù)關(guān)系的變換（主要是區(qū)別），不同問(wèn)題的變換（主要是化歸）.

問(wèn)題2討論的主要是“三角函數(shù)+方程組”形式的問(wèn)題，變換的對(duì)象增至角、名及方程組，因而對(duì)方程組的常規(guī)變換方式如作四則運(yùn)算、平方運(yùn)算等要有一定的了解.對(duì)于第2問(wèn)，從班上同學(xué)反饋的情況來(lái)看，絕大多數(shù)同學(xué)都只做到將兩個(gè)方程平方求和求出cos（x+y）的值就止步不前了，是不敢對(duì)方程組再作變換（嫌麻煩）還是欠缺變換的意識(shí)了呢（認(rèn)為方程組的信息已盡數(shù)使用了）？如果是前者，對(duì)兩個(gè)方程作乘積或先平方再作差都會(huì)得到三個(gè)角（2x，2y，x-y）的三角關(guān)系式，由于忽略角“x+y”是已知角，因而不能將角“2x與2y”成功轉(zhuǎn)換為“（x+y）+（x-y）與（x+y）-（x-y）”；如果是后者，那說(shuō)明對(duì)方程組的等價(jià)變形不甚了解.一般來(lái)說(shuō)，方程組同解.因而缺少了必要的變換就失去了等價(jià)性，思路自然受阻.該問(wèn)的探討還有一個(gè)功能，就是從角度變換上詮釋了和差化積、積化和差公式，角度的變換不是刻意為之的，是順勢(shì)而為.

數(shù)學(xué)解題是一個(gè)自覺(jué)、有趣且富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng).在解題的每個(gè)階段，我們都要調(diào)整探尋方式與階段目標(biāo)的關(guān)系，以確定問(wèn)題的最終解決，這便是目標(biāo)意識(shí).為了確保目標(biāo)能夠較快并以較簡(jiǎn)捷的方式達(dá)成，我們還需要對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控.

當(dāng)目標(biāo)明確時(shí)，就要努力溝通已知與未知，采用綜合分析法打開(kāi)局面.

題中角α雖不是特殊角，但是已知角，待求式一定可以轉(zhuǎn)化到與tanα有關(guān)的式子上，這是最終的目標(biāo).接著便是如何轉(zhuǎn)換的問(wèn)題，仍舊從角與名出發(fā).發(fā)現(xiàn)角再利用弦切轉(zhuǎn)換就能利用已知條件了！

當(dāng)目標(biāo)不太明確時(shí)，要多關(guān)注三角式的結(jié)構(gòu)，往往可利用公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以自然派生出最終目標(biāo).

若站位于三角恒等變換的視角，等式兩邊同時(shí)乘以sinA定是可取的（分式轉(zhuǎn)換為整式），得到sinB=sinA·cos（A+B）.根據(jù)左右兩式的結(jié)構(gòu)（準(zhǔn)確點(diǎn)說(shuō)，是對(duì)照學(xué)習(xí)過(guò)的三角關(guān)系式，不能直接展開(kāi)cos（A+B）），只得利用三角形內(nèi)角和定理化兩元為三元得sinB=-sinA·cosC.一般來(lái)說(shuō)，減元以逐步減少問(wèn)題中變?cè)膫€(gè)數(shù)達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的，然而增元亦可看成“先做退步”后的減元.相信讀者都會(huì)再現(xiàn)兩角和與差的正弦公式，再次利用三角形內(nèi)角和定理消去角B！

若站位于解三角形的視角，無(wú)非是走“邊路線(xiàn)”或是“角路線(xiàn)”.將已知式化成=-cosC，由正余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系是及其自然的，最終再折回到目標(biāo)角B上去.比起前一種做法，變換的路徑稍短些，方式自然些，效果自然不同.

值得注意的是，三角恒等變換中往往涉及三角函數(shù)的求值、求角問(wèn)題，由于三角函數(shù)并非是一一對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，中間過(guò)程若涉及求角就有可能出現(xiàn)增根情況.

我們班上出現(xiàn)兩種解法：

因而，變換雖是數(shù)學(xué)的一大利器，我們?nèi)砸苊庾儞Q中的非等價(jià)性以及變換路徑過(guò)長(zhǎng)甚至變換多向性等問(wèn)題，真正在復(fù)習(xí)中提升自我的邏輯思維能力.