逐步分析在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與思考

☉江蘇省蘇州市常熟市支塘鎮(zhèn)王淦昌中學(xué) 王利亞

數(shù)學(xué)解題重在對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，即將其充要條件逐步通過(guò)分析轉(zhuǎn)化出來(lái)，這正是數(shù)學(xué)解題的基本之道.波利亞在如何解題中談道：數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程，正是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，將難懂的、抽象的條件，用更為簡(jiǎn)捷的形態(tài)轉(zhuǎn)述，這就是解題.試想，這段話明確點(diǎn)明了解題的經(jīng)歷過(guò)程，不正是等價(jià)形態(tài)的呈現(xiàn)嘛.

逐步轉(zhuǎn)化是針對(duì)中學(xué)生提出的一個(gè)問(wèn)題解決的形式，即以中學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)體系為根本，以教師引導(dǎo)下的學(xué)生探索為切入口，采用分解步驟的方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題為什么這么做.這與以往教師不顧學(xué)生思維所處的狀態(tài)，一味地采用一題多解、一題多變，以超大訓(xùn)練替代學(xué)生的思考不同，逐步分析的方式恰恰是以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為認(rèn)知根本出發(fā)，以便獲得較好的“思維臺(tái)階”，一步一步地解決問(wèn)題.筆者不否認(rèn)以往教學(xué)方式的優(yōu)點(diǎn)，但是只有從學(xué)生思維出發(fā)，逐步做好適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)環(huán)節(jié)，才是真正符合學(xué)生學(xué)習(xí)心理的發(fā)展，有助于其學(xué)習(xí)能力的提高.

一、為什么要逐步分析

我們知道，學(xué)生對(duì)于困難問(wèn)題的思考往往局限在一定的框架內(nèi)，即直觀思考.大量的調(diào)查研究表明，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)，一般僅僅觀察到的就是問(wèn)題的第一表象，這種表象讓學(xué)生僅僅圍繞在問(wèn)題的表面進(jìn)行思考，其對(duì)于知識(shí)的整體掌握能力的弱化，導(dǎo)致其不知道怎么去分析難題，不如看幾個(gè)問(wèn)題，思考為什么要在教師引導(dǎo)下進(jìn)行逐步分析.

（1）組成銳角三角形；（2）組成直角三角形；（3）組成鈍角三角形；（4）在同一條直線上.

分析1：本題是以向量數(shù)量積為背景的一道試題，學(xué)生的思考是非常直觀的從數(shù)量積角度思考，即|AB|·|BC|（-cosB），但是學(xué)生在數(shù)量積直接展開(kāi)后就基本陷入思考的停頓，說(shuō)明其分析問(wèn)題的能力較為欠缺.如何進(jìn)一步幫助學(xué)生解決問(wèn)題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的逐步分析.既然走到了“死胡同”，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生反向思考：若三角形是直角三角形，則顯然數(shù)量積應(yīng)該是0，則顯然不合，故舍去；若三角形為鈍角三角形，則數(shù)量積的數(shù)值必定是有負(fù)值存在的，顯然不合，舍去；最后再思考，若存在三點(diǎn)共線，則必定數(shù)量積存在負(fù)值，因此只可能是銳角三角形.從反向的思考中，一步一步地解決了問(wèn)題，也間接幫助學(xué)生理解再遇到處理瓶頸時(shí)，如何多角度、轉(zhuǎn)換思維去思考，體現(xiàn)了為什么要逐步分析問(wèn)題的能力.

分析2：引導(dǎo)學(xué)生思考，在得到數(shù)量積展開(kāi)式之后，可以怎么思考？觀察數(shù)量積的形態(tài)，學(xué)生想一想能與哪些知識(shí)銜接起來(lái)？總體而言，在有邊長(zhǎng)和有角度的代數(shù)式中，學(xué)生自然能分析到可能和正余弦定理緊密相關(guān).得-a·bcosC=3t，-b·ccosA=4t，-c·acosB=5t，即a2+b2-c2=-6t，b2+c2-a2=-8t，a2+c2-b2=-10t，解得a2=-8t，b2=-7t，c2=-9t，其中t＜0，由余弦定理得cosC＜0，即這三點(diǎn)組成銳角三角形.

分析3：學(xué)生在數(shù)量積展開(kāi)到達(dá)一定“死胡同”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何降解這個(gè)數(shù)量積的運(yùn)算？顯然，數(shù)量積是向量和差的更高級(jí)運(yùn)算，將高級(jí)運(yùn)算重新轉(zhuǎn)化為低級(jí)運(yùn)算，是否可行？教師可以從這一角度與整合這個(gè)思路：分別令以下同解析2.相比第二種方式，其運(yùn)算量大大降低了，并與余弦定理結(jié)合解決問(wèn)題.這樣的逐步分析，正是將問(wèn)題的處理簡(jiǎn)化了不少.

分析4：上述的分析都是從邊的角度思考，若能引導(dǎo)學(xué)生逐步從角度的方向分析，也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.不妨從更高的思考角度，即以數(shù)量積、角度之間尋求新的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生思考與數(shù)量積公式類似的是三角形面積公式，尋求廣泛分析過(guò)程.由于

意圖：逐步分析恰恰是在學(xué)生分析困難的前提下提出的，為什么要逐步分析？正是因?yàn)閷W(xué)生的問(wèn)題解決陷入了困擾，教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)其一步一步思考為什么要這么走下去？筆者認(rèn)為，這樣的分析是有意義的，對(duì)于學(xué)生的思考是有幫助的，思維的提煉是有意義的.

二、如何實(shí)現(xiàn)逐步分析

在引導(dǎo)學(xué)生明白困難的問(wèn)題是一步一步解決的思路之后，要進(jìn)一步引導(dǎo)其思考如何實(shí)現(xiàn)這一逐步分析的過(guò)程呢？在學(xué)習(xí)之初自然有教師的引導(dǎo)，但是隨著學(xué)習(xí)的深入，要不斷總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、積累解題心得，才能獲得自我能力的提升.具體如何實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我的解題逐步分析呢？筆者認(rèn)為可以分三步實(shí)現(xiàn)：第一，學(xué)生自身對(duì)于基本知識(shí)和基本技能的熟練掌握，離開(kāi)了基本知識(shí)的解題是寸步難行的，你不懂“不等式放縮技巧數(shù)十種”沒(méi)關(guān)系，但是你必須要知道基本不等式的運(yùn)用、各種不等式的基本解法等等；第二，學(xué)生需要對(duì)知識(shí)有整合的積累，比如，求問(wèn)題（x-cosα）2+（2x-sinα）2的最小值，學(xué)生需要思考的問(wèn)題：此題其實(shí)整合了兩點(diǎn)間的距離公式、消參法后的直線上動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值，試想沒(méi)有知識(shí)的整合是難以到位的；第三，學(xué)生需要數(shù)學(xué)思想的幫助，有些問(wèn)題離開(kāi)了數(shù)學(xué)思想解決起來(lái)是非常吃力的.筆者認(rèn)為，三者的結(jié)合可以幫助我們實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的逐步分析.

問(wèn)題2：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為_(kāi)______.

分析1：求解本題的難點(diǎn)是如何去掉絕對(duì)值符號(hào).首先我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)x2+y2≤1時(shí)，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，我們可以按2x+y-2＞0與2x+y-2≤0，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如圖1，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

圖1

（1）當(dāng)2x+y-2＞0時(shí)，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4在陰影區(qū)域及其邊界的最小值，由線性規(guī)劃知識(shí)可求得F＞3；

（2） 當(dāng)2x+y-2≤0時(shí)，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=-3x-4y+8在直線l下方與單位圓面所圍區(qū)域（包括邊界）的最小值，由線性規(guī)劃知識(shí)可求得F在點(diǎn)A）時(shí)取得最小值3.

圖2

分析2：二元變量x，y滿足關(guān)系式x2+y2≤1，其幾何意義非常的明顯，即點(diǎn)（x，y）在以x2+y2=1為邊界的圓及其內(nèi)部的圓面上，而可分別看成點(diǎn)（x，y）到直線l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距離.因此，從解析幾何的角度我們可以得到如下的解法.如圖2，直線l1，l的斜率分別為-2，-，兩直線間的夾角記為θ，則tanθ=

（未完，）

意圖：綜合問(wèn)題的解決，我們不難發(fā)現(xiàn)要介入筆者開(kāi)始所述的整合思想，本題如何實(shí)現(xiàn)逐步分析？分析1告訴我們，首先絕對(duì)值問(wèn)題的自然思路是分類討論思想的介入，因此將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而利用線性規(guī)劃基本知識(shí)即可解決；分析2是從數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形出發(fā)，思考絕對(duì)值可以從點(diǎn)到直線的距離入手，這樣的分析較為有新意，自然獲得了一定的創(chuàng)新.有興趣的讀者還可以從絕對(duì)值三角不等式的意義出發(fā)，進(jìn)一步思考這樣的問(wèn)題.

總之，逐步分析轉(zhuǎn)化是問(wèn)題解決的必經(jīng)過(guò)程，本文從為什么要逐步分析、如何逐步分析的視角進(jìn)行了淺顯的分析.數(shù)學(xué)解題重在分析、轉(zhuǎn)化，將這一過(guò)程傳授到位，才是真正幫助學(xué)生度過(guò)了解好數(shù)學(xué)題這一關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)、提高其基本知識(shí)基本技能的使用能力、注重知識(shí)的綜合度、關(guān)注思想的滲透等等都是有效的手段，值得教師在教學(xué)中不斷滲透、不斷提煉.

1.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想［M］.科學(xué)出版社，1984.

2.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的策略與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010，5.

3.張惠良.提出數(shù)學(xué)猜想的一些途徑［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005，3.

4.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師解題設(shè)計(jì)應(yīng)具備的幾種意識(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，2.