動(dòng)摩擦作用下含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

張艷龍， 唐斌斌， 王 麗， 杜三山

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2. 蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州 730070)

含摩擦及間隙的碰撞振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)普遍存在工程應(yīng)用中，如制動(dòng)振動(dòng)與尖叫、沖擊旋轉(zhuǎn)鉆井、裝于滑動(dòng)軸承上的大型高速轉(zhuǎn)子的油膜振蕩、離合顫振、機(jī)器人關(guān)節(jié)處的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)、噪聲控制等。摩擦及間隙構(gòu)成的強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)，吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于建立不同的力學(xué)模型和摩擦模型，來(lái)研究摩擦及間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。文獻(xiàn)[1]研究簡(jiǎn)化制動(dòng)系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的周期運(yùn)動(dòng)，通過(guò)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的理論討論了在不連續(xù)邊界的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換；文獻(xiàn)[2]從一類(lèi)軸承模型中簡(jiǎn)化出含間隙及摩擦的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)黏著的存在，并且可以用來(lái)預(yù)測(cè)螺栓的松動(dòng)；文獻(xiàn)[3]研究單邊約束的兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，分析分段特性、擦邊奇異性和參數(shù)變化對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的影響；文獻(xiàn)[4-5]利用含有干摩擦的Filippov振動(dòng)系統(tǒng)研究滑移分岔和混沌動(dòng)力學(xué)行為；丁旺才等[6]結(jié)合Lyapunov指數(shù)數(shù)值仿真分析了兩自由度干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)得到系統(tǒng)經(jīng)周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)通向混沌的道路；錢(qián)大帥等[7]利用諧波平衡法研究了干摩擦振子雙黏著運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)形式解及對(duì)黏滑邊界的分析。上述文獻(xiàn)建立和研究不同含有靜摩擦及間隙的力學(xué)模型，分析和解釋工程中的振動(dòng)和噪聲。

隨著研究的深入，建立起更加系統(tǒng)的摩擦模型，描述不同實(shí)驗(yàn)觀(guān)察到的摩擦現(xiàn)象是研究摩擦不穩(wěn)定性的一個(gè)重要組成部分，不同摩擦模型決定了摩擦力的本質(zhì)特性。靜摩擦模型主要取決于摩擦接觸表面的相對(duì)速度，如經(jīng)典的庫(kù)倫摩擦模型，Stribeck摩擦模型[8]等；動(dòng)摩擦模型其摩擦力不僅與運(yùn)動(dòng)速度和正壓力有關(guān)系，還與運(yùn)動(dòng)物體與接觸面之間的內(nèi)部變量(如兩接觸表面的粗糙度)有重要的關(guān)系，典型的動(dòng)摩擦模型如Lugre動(dòng)摩擦模型[9]及Dankwoicz動(dòng)摩擦模型[10-13]。多數(shù)文獻(xiàn)以靜摩擦模型作為摩擦力來(lái)源分析系統(tǒng)中含摩擦的動(dòng)力學(xué)行為，將本身具備動(dòng)力學(xué)特性的摩擦模型引入系統(tǒng)中較少。為了研究傳動(dòng)帶表面粗糙度對(duì)摩擦、整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的影響，本文引入Dankwoicz動(dòng)摩擦模型(將表面粗糙度簡(jiǎn)化為鬃毛剛度(Bristle Stiffness)和鬃毛阻尼(Bristle Damping)，從而更加接近實(shí)際工況)，利用數(shù)值仿真，探討單自由度含間隙及動(dòng)摩擦系統(tǒng)存在的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)現(xiàn)象，從而分析摩擦在強(qiáng)非線(xiàn)性含間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。結(jié)果表明，系統(tǒng)存在摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊分岔和摩擦周期倍化分岔等分岔形式。摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)在相空間的存在形式復(fù)雜多樣，從相圖可得出，摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)存在穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)、概周期摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊振動(dòng)、摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)等摩擦運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。將動(dòng)摩擦模型運(yùn)用到此類(lèi)系統(tǒng)模型中可以更好地描述摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)現(xiàn)象。

1 力學(xué)模型

圖1 含摩擦的碰撞振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig. 1 Vibro-impact system with friction mechanical model

1.1 運(yùn)動(dòng)方程和摩擦模型

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

質(zhì)塊為M的振子在|X|=D處發(fā)生碰撞，碰撞后速度發(fā)生改變，構(gòu)成具有非光滑特性的非線(xiàn)性系統(tǒng)，根據(jù)碰撞定律可得

(2)

Dankowicz動(dòng)摩擦模型不同于僅取決于速度的靜摩擦模型，動(dòng)摩擦模型深入到微觀(guān)，從宏觀(guān)和微觀(guān)兩方面探討摩擦性質(zhì)，動(dòng)摩擦模型本身具有動(dòng)力學(xué)特性，能夠更加深入地描述兩物體接觸面之間的摩擦狀態(tài)，應(yīng)用到此類(lèi)力學(xué)模型中能夠更全面地反映出摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)特性。支配摩擦力的方程為

(3)

(4)

狀態(tài)變量Y的運(yùn)動(dòng)由式(5)支配

(5)

1.2 系統(tǒng)無(wú)量綱及運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

取無(wú)量綱參數(shù)及變量為

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱微分方程為

(6)

(7)

Dankowicz動(dòng)摩擦模型無(wú)量綱為

(8)

(9)

(10)

(11)

對(duì)振子M作簡(jiǎn)單的受力分析，令Fnf表示合力，由彈簧彈性力、阻尼力、摩擦力及簡(jiǎn)諧激振力作用在振子上，其表達(dá)式為

(12)

如果當(dāng)振子第i次接觸約束面時(shí)，振子與帶的相對(duì)速度為零或在零附近波動(dòng)，振子所受合力小于零

(13)

質(zhì)塊將會(huì)在約束面處發(fā)生顫振或黏滯，直到振子所受合力的方向發(fā)生改變，振子重新回到振動(dòng)狀態(tài)。

如果當(dāng)振子第i次接觸約束面時(shí)，振子與帶的相對(duì)速度為零或在零附近波動(dòng)，振子所受合力大于等于零

(14)

質(zhì)塊M將不會(huì)在約束面處發(fā)生顫振或黏滯，振子所受合力會(huì)將質(zhì)塊M從顫振或黏滯狀態(tài)拉離約束面，在此類(lèi)情形下，系統(tǒng)易發(fā)生擦邊誘導(dǎo)振動(dòng)行為。

2 Dankowicz動(dòng)摩擦模型對(duì)系統(tǒng)的影響

2.1 摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊振動(dòng)

選取系統(tǒng)參數(shù)①：ξ1=1，σ=0.01,ξ2=4,k0=1,δ=0.000 1,fR=4,γ=3 000,p0=3,α=0.6μβ,v=0.1,R=0.8,β=100,y∞=2 000,σ1=10,d=0.2, 以激振頻率ω作為系統(tǒng)控制參數(shù)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)全局分岔圖如圖圖2所示，分析Dankowicz動(dòng)摩擦模型對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊振動(dòng)的影響。圖3(a)呈現(xiàn)出當(dāng)激振頻率到ω=3.7，系統(tǒng)發(fā)生周期1-1-1-0運(yùn)動(dòng)，發(fā)生反對(duì)稱(chēng)無(wú)摩擦黏滯振動(dòng)；系統(tǒng)發(fā)生周期2-2-2-1黏滯振動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變成穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)，周期數(shù)、碰撞次數(shù)及摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)次數(shù)減少，如圖3(b)所示；隨著系統(tǒng)控制參數(shù)變化到ω=2.5，圖3(c)呈現(xiàn)出系統(tǒng)發(fā)生周期2-2-3-2摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊振動(dòng)，發(fā)生此類(lèi)動(dòng)力學(xué)行為，由于振子與帶的相對(duì)速度為零或在零附近小幅度顫振且振子的運(yùn)動(dòng)位移接近約束面，恰好合力方向發(fā)生改變，振子開(kāi)始以相反方向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生振子與約束面擦切，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由式(14)決定；系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生周期6-10-10-5摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)如圖3(d)，當(dāng)質(zhì)塊運(yùn)動(dòng)到約束面處，在①處發(fā)生顫振黏滯，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由式(13)決定，直到振子所受合力的方向發(fā)生改變，振子重新回到振動(dòng)狀態(tài)。隨著不同控制參數(shù)ω的變化，從相圖反映出Dankowicz動(dòng)摩擦模型對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜影響。

圖2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)全局分岔圖Fig. 2 System global bifurcation diagram

圖3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖Fig.3 System phase diagram

2.2 摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)

選取系統(tǒng)參數(shù)②：ξ1=1，ξ2=1,k0=1,σ=0.01,μ=0.3,δ=0.000 1,γ=3 000,fR=3,d=0.2,R=0.8,p0=2,α=0.6μβ,v=0.1,y∞=2 000,σ1=10,β=100,以激振頻率ω作為系統(tǒng)控制參數(shù)，分析Dankowicz動(dòng)摩擦模型對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦誘導(dǎo)混沌振動(dòng)的影響。數(shù)值仿真呈現(xiàn)出系統(tǒng)的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)相圖如圖5(a)～圖5(f) 及時(shí)間歷程圖5(g)和圖5(h)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)全局分岔圖如圖4所示，發(fā)生周期倍化等常規(guī)的分岔路徑，黏滯振動(dòng)在分岔圖上未能直觀(guān)地表現(xiàn)出來(lái)。然動(dòng)摩擦模型作用到質(zhì)塊上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡在相圖中從黏滯周期振動(dòng)通往黏滯混沌振動(dòng)的現(xiàn)象得到很好的呈現(xiàn)。系統(tǒng)分別在激振頻率ω=2.8和ω=2.78處發(fā)生周期運(yùn)動(dòng)1-1-1-0和2-2-2-0周期運(yùn)動(dòng)，無(wú)摩擦黏滯振動(dòng)如圖5(a)～圖5(b)。相圖5(c)～圖5(g)呈現(xiàn)出摩擦誘導(dǎo)周期黏滯振動(dòng)通過(guò)周期倍化通往摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在頻率1.781～2.01變化，呈現(xiàn)出周期數(shù)、碰撞次數(shù)及摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)次數(shù)同步周期倍化的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。在圖5(c)～圖5(d)中①處發(fā)生摩擦振動(dòng)碰撞約束面，由式(13)決定，當(dāng)振子的相對(duì)速度為零或在零附近波動(dòng)，振子所受合力小于零，振子就會(huì)滯留在約束面，直到合力方向發(fā)生改變。圖5(e)～圖5(f)呈現(xiàn)出摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式，且呈現(xiàn)出不同形式的黏滯混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖5(g)和圖5(h)所示的時(shí)間歷程圖刻畫(huà)了振子周期1-1-3-2摩擦誘導(dǎo)黏滯碰撞振動(dòng)現(xiàn)象，表明系統(tǒng)存在復(fù)雜摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌運(yùn)動(dòng)。

圖4 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)全局分岔圖Fig. 4 System global bifurcation diagram

圖5 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖和時(shí)間歷程圖Fig. 5 Phase and history diagram of system

3 系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為影響

選取上述兩組系統(tǒng)參數(shù)分別分析了動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。系統(tǒng)存在摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)、摩擦誘導(dǎo)黏滯擦邊振動(dòng)及概周期摩擦黏滯振動(dòng)等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。進(jìn)一步了解其他關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，如帶速vb和間隙d的影響。

3.1 帶速vb對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響

此類(lèi)簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型中，帶速直接影響振子的摩擦自激振動(dòng)特性，分析帶速的變化引起系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變化是必要的，帶速的大小不同，直接決定了摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)的位置及振動(dòng)的幅值。選取系統(tǒng)參數(shù)③：fR=4,p0=3,α=0.6μβ,ω=2.2,y∞=2 000,σ1=10,ξ1=1,ξ2=4,k0=1,σ=0.01,δ=0.000 1,γ=3 000,d=0.2,R=0.8,β=100。以帶速vb作為分岔控制參數(shù)，分析帶速vb對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的的影響。數(shù)值模擬呈現(xiàn)出系統(tǒng)的全局分岔圖和局部周期倍化分岔圖如圖6(a)～圖6(b)所示；摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)相圖6(c)～圖6(h)表示具有不同周期數(shù)及不同振動(dòng)次數(shù)的摩擦相軌跡，不同帶速引起的概周期摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)，反映出帶速對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的重要影響。圖6(c)給出系統(tǒng)在參數(shù)vb=0.1下，發(fā)生概周期瞬時(shí)摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)；圖6(d)呈現(xiàn)出振子在vb=0.2時(shí)振子與帶的相對(duì)速度為零，振子發(fā)生概周期摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)，在①處發(fā)生顫振碰撞約束面，由式(13)決定；圖6(e)呈現(xiàn)出振子在vb=0.3時(shí)，發(fā)生黏著顫振運(yùn)動(dòng)，摩擦振動(dòng)次數(shù)與周期數(shù)一致；隨著帶速增加，圖6(f)呈現(xiàn)出系統(tǒng)發(fā)生周期3-3-9-1運(yùn)動(dòng)，即發(fā)生一次黏滯；圖6(g)呈現(xiàn)出系統(tǒng)在vb=0.5時(shí)，發(fā)生概周期摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)；隨著帶速的進(jìn)一步增加，圖6(h)呈現(xiàn)出vb=0.7時(shí)的周期3-3-8-3黏滯振動(dòng)。

圖6 帶速對(duì)系統(tǒng)黏滯振動(dòng)響應(yīng)Fig. 6 Belt velocity on sticking vibration of system

3.2 間隙d對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響

機(jī)械系統(tǒng)中，制造、裝配及運(yùn)動(dòng)等原因造成系統(tǒng)中不可避免的存在間隙，系統(tǒng)中含有間隙構(gòu)成了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)具有非光滑特性的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，探討間隙對(duì)系統(tǒng)的影響是關(guān)鍵的。以系統(tǒng)參數(shù)1為基礎(chǔ)，以間隙d分岔控制參數(shù)，分析d系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為影響。系統(tǒng)的全局運(yùn)動(dòng)分岔圖如圖7(a)所示，從分岔圖看出系統(tǒng)隨間隙d變化復(fù)雜，沒(méi)有出現(xiàn)常規(guī)的分岔路徑，隨間隙d化時(shí)存在的摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)以相圖的方式呈現(xiàn)，圖7(b)呈現(xiàn)出系統(tǒng)在間隙d=0.1時(shí)，振子發(fā)生周期1-2-5-1黏滯振動(dòng)；圖7(c)展示出間隙時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在①處發(fā)生概周期瞬時(shí)摩擦誘導(dǎo)擦邊振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由式(14)決定；隨著間隙增大到d=0.4時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期1-1-1-0無(wú)摩擦振動(dòng)如圖7(d)。間隙d對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為有著復(fù)雜的影響。

圖7 間隙對(duì)系統(tǒng)黏滯振動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Clearance on sticking vibration response of system

4 結(jié) 論

研究一類(lèi)由阻尼和彈簧組成的含有非光滑特性間隙和摩擦的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。其中，摩擦由本身具有動(dòng)力學(xué)特性的Dankowicz動(dòng)摩擦模型支配。利用數(shù)值仿真方法，給出振子運(yùn)動(dòng)判斷條件，分析系統(tǒng)含摩擦產(chǎn)生的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。數(shù)值仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)呈現(xiàn)周期摩擦黏滯振動(dòng)運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔通向混沌道路的演化過(guò)程，及存在不同運(yùn)動(dòng)形式的摩擦誘導(dǎo)黏滯混沌振動(dòng)。系統(tǒng)存在復(fù)雜多樣的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)形式，穩(wěn)定周期摩擦振動(dòng)、概周期瞬時(shí)摩擦振動(dòng)、概周期摩擦黏滯振動(dòng)及摩擦誘導(dǎo)擦邊碰撞振動(dòng)等。另外，振子所受合力及速度的變化，當(dāng)振子第i次發(fā)生碰撞時(shí)，若振子的合力小于零，振子會(huì)滯留于約束面處，發(fā)生顫振碰撞；若振子所受的合力大于等于零時(shí)，振子發(fā)生摩擦誘導(dǎo)擦邊振動(dòng)行為。以激振頻率為分岔控制參數(shù)，當(dāng)參數(shù)大于臨界閾值時(shí)，無(wú)摩擦黏滯振動(dòng)發(fā)生。動(dòng)摩擦模型運(yùn)用到此類(lèi)系統(tǒng)模型中可以更好地描述摩擦誘導(dǎo)黏滯振動(dòng)現(xiàn)象。

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