基于雙勢阱系統(tǒng)的混沌振動(dòng)研究

劉樹勇， 位秀雷， 王 基， 俞 翔

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

混沌振動(dòng)是混沌科學(xué)研究的重要課題，國內(nèi)外學(xué)者圍繞混沌振動(dòng)的應(yīng)用、控制和識(shí)別等問題開展了廣泛的研究[1]。為了應(yīng)用有益混沌振動(dòng)，Yu等[2-3]提出廣義混沌同步技術(shù)消減了船舶輻射噪聲線譜，提高了其隱身性能；龍運(yùn)佳等[4]研究了混沌振動(dòng)壓路機(jī)的應(yīng)用，提高了壓實(shí)效果。為了控制有害的混沌振動(dòng)，韓建群等[5]應(yīng)用滑?？刂品椒ǜ綦x了設(shè)備中的Lorenz混沌振動(dòng)，消除了破壞儀器設(shè)備混沌運(yùn)動(dòng)；高遠(yuǎn)等[6]應(yīng)用自適應(yīng)跟蹤控制方法，抑制了汽車懸架的大幅值混沌振動(dòng)，有效降低了懸架垂向振動(dòng)加速度；熊懷等[7]研究了非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink, NES)對(duì)振動(dòng)的抑制方法，得到了阻尼對(duì)NES的影響規(guī)律。目前，在混沌振動(dòng)的研究方法上，數(shù)值仿真研究和試驗(yàn)研究仍然是兩種主要手段[8]。陳立群等[9]通過仿真研究了混沌振動(dòng)的開閉環(huán)控制技術(shù)；韓保紅等[10-11]應(yīng)用數(shù)值方法研究了混沌振動(dòng)的主動(dòng)隔振問題；梁山等[12]對(duì)兩自由度汽車懸架模型的非線性混沌振動(dòng)進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)研究，揭示了該系統(tǒng)存在混沌的可能性。

事實(shí)上，由于混沌振動(dòng)問題的復(fù)雜性[13]，導(dǎo)致混沌試驗(yàn)研究具有一定的困難，目前大部分研究工作還局限在理論分析和計(jì)算層面，缺乏試驗(yàn)的驗(yàn)證，特別是要產(chǎn)生穩(wěn)定的、可重復(fù)出現(xiàn)的混沌是一件非常困難的工作。然而，要將混沌應(yīng)用于工程實(shí)際，必須開展深入的試驗(yàn)研究，掌握混沌產(chǎn)生的實(shí)際條件、混沌出現(xiàn)的規(guī)律以及不同參數(shù)對(duì)混沌的影響，在這方面，國內(nèi)外學(xué)者都進(jìn)行了嘗試。任成龍等[14]為了模擬路面的復(fù)雜激勵(lì)，應(yīng)用多連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了懸架振動(dòng)臺(tái)，取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Moon[15]開展了懸臂梁的混沌振動(dòng)試驗(yàn)研究，主要探討了兩種情況下系統(tǒng)的響應(yīng)：一是梁的振動(dòng)幅值處于較小的范圍內(nèi)，可以簡化為線性方程，但其自由端受非線性力或邊界條件有非線性特性；二是梁振動(dòng)幅值非常大，本身有明顯的幾何非線性。在這些條件下，系統(tǒng)可能產(chǎn)生混沌振動(dòng)。雖然這些研究工作為混沌試驗(yàn)提供了思路，但具體還存在如下問題需要解決：①如何在系統(tǒng)中產(chǎn)生持續(xù)穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；②如何準(zhǔn)確確定實(shí)際系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)域；③如何對(duì)復(fù)雜條件下的混沌信號(hào)進(jìn)行有效分析；④如何在工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)小振幅的混沌運(yùn)動(dòng)。本文利用Moon提出的雙勢阱系統(tǒng)設(shè)計(jì)了單端磁吸式混沌振動(dòng)試驗(yàn)裝置，并開展了深入的理論和試驗(yàn)研究，通過對(duì)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明，該裝置切實(shí)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的、可重復(fù)實(shí)現(xiàn)的混沌振動(dòng)，從而為后續(xù)混沌應(yīng)用研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 雙勢阱系統(tǒng)的非線性特征

由磁鐵和懸臂梁構(gòu)成的雙勢阱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以簡化為

(1)

式中：ξ為系統(tǒng)無量綱阻尼參數(shù)；γ為無量綱線性剛度；β為無量綱非線性剛度；f無量綱激勵(lì)力幅值。對(duì)于式(1)，其彈簧作用力為：F(z)=-γz-βz3定義其勢函數(shù)V(z)為V(z)=γz2/2+βz4/4。當(dāng)參數(shù)的取值為γ=-1，β=1時(shí)，雙勢阱如圖1所示。

因此，質(zhì)點(diǎn)可以在雙勢阱M和N之間以及在單勢阱M或N內(nèi)運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)形式一般分為以下幾種情況：質(zhì)點(diǎn)在雙勢阱M和N之間周期振蕩，物理系統(tǒng)呈現(xiàn)大幅值的周期振動(dòng)，如圖1(a)所示；質(zhì)點(diǎn)在單勢阱M和N內(nèi)運(yùn)動(dòng)，物理系統(tǒng)呈現(xiàn)出小幅值的周期振動(dòng)，如圖1(b)和圖1(c)所示；質(zhì)點(diǎn)在雙勢阱M和N之間無規(guī)律來回振蕩，具體表現(xiàn)為在單邊勢阱M和N內(nèi)運(yùn)動(dòng)后，越過勢阱壁壘進(jìn)入到另一個(gè)勢阱中，但在勢阱中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，是非周期振動(dòng)模式，如圖1(d)所示。但由于它是在確定性系統(tǒng)中產(chǎn)生的類隨機(jī)行為，因而具有混沌性質(zhì)。

圖1 雙勢阱示意圖Fig.1 Two potential well sketch map

(2)

(3)

(4)

假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)中包含了快變和慢變分量，具有多時(shí)間尺度特征，分別設(shè)為T0=t，T1=εt，因此式(4)可以寫為

(5)

式(5)的解可以展開成

z(T0,T1)≈z0(T0,T1)+εz1(T0,T1)

(6)

將式(6)代入式(5)得到

(7)

令等式兩邊小參量ε的系數(shù)為零得到

(8a)

pz0(T0,T1)+αz0(T0,T1)3+ω2z1(T0,T1)+

(8b)

令基本解幅值和相位為時(shí)變參數(shù)

z0(T0,T1)=B(T1)cos(T0+φ(T1))

(9)

聯(lián)立式8(b) 和式(9)得到

(10)

將式(10)等式右邊項(xiàng)應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系展開，并消除共振項(xiàng)，即令cos(T0+φ(T1))和sin(T0+φ(T1))的系數(shù)等于零得到

δB(T1)+2B′(T1)=0

(11a)

(11b)

因此可以求出

(12a)

(12b)

(13)

式中，φ0為積分常數(shù)。聯(lián)立式(10)和式12(a)得到

(14)

因此，可以由式(14)解出z1(T0,T1)為

z1(T0,T1)=-αB(T1)3cos(3T0+φ(T1))/4(ω2-9)

(15)

因此求得系統(tǒng)的解為

(16)

以T0=t，T1=εt替換后得到

(17)

應(yīng)用平均法[18]推導(dǎo)了式(5)的幅值和頻率之間的關(guān)系

16γ2[p2ε2+δ2ε2+2pε(ω-1)2+(ω-1)4]}=0

(18)

式中，參數(shù)γ為平均法計(jì)算過程中所采用的極坐標(biāo)幅值，其本質(zhì)含義為Van der Pol平面上振動(dòng)幅值的大小。當(dāng)ε=1,α=1,ω=1,A=6,δ=0.5,δ=1.0,δ=1.5時(shí)，改變調(diào)節(jié)因子p的大小，得到p-γ曲線如圖2所示。從圖中可以觀察到系統(tǒng)的非線性“舌狀”結(jié)構(gòu)特征。

圖2 系統(tǒng)的幅值特征曲線Fig.2 Amplitude frequency characteristic curve

2 試驗(yàn)臺(tái)架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的非線性以及可能具有的混沌特征，開展了試驗(yàn)研究。根據(jù)混沌產(chǎn)生的必要條件，在混沌振動(dòng)試驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)過程中，需要選擇合適的非線性元件作為試驗(yàn)臺(tái)的組成部分，主要利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)非線性、材料非線性或者電路的非線性等產(chǎn)生混沌；其次確保系統(tǒng)中沒有隨機(jī)信號(hào)輸入，從而實(shí)現(xiàn)由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生類似隨機(jī)的不確定性行為；在此基礎(chǔ)上，編制混沌識(shí)別程序?qū)ο到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行識(shí)別，通過定性分析技術(shù)對(duì)采集的時(shí)間歷程圖進(jìn)行目視觀察，同時(shí)利用相空間重構(gòu)原理，觀察實(shí)測時(shí)間序列相平面圖、Poincaré截面圖；利用定量分析方法提取信號(hào)的特征，進(jìn)行Fourier分析得到信號(hào)的頻譜特征；計(jì)算信號(hào)的分形維數(shù)和Lyapunov指數(shù)；調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，觀察到系統(tǒng)由不同周期態(tài)進(jìn)入混沌態(tài)的途徑。

基于以上考慮，雙勢阱單端磁吸式混沌振動(dòng)裝置如圖3所示。裝置由如下部分組成：激振器、支座、薄彈片、磁鐵、小鐵片、外部固定框架、固定彈片裝置。各部件的具體功能為：①激振器，提供穩(wěn)定外部激勵(lì)，保持整個(gè)系統(tǒng)持續(xù)穩(wěn)定振動(dòng)；②支座，固定激振器，為了保證裝置在水平方向上不受其他外力影響，需嚴(yán)格保持激振器水平放置；③薄彈性片，為整個(gè)裝置的主體元件，為保證薄片具有良好的恢復(fù)力，剛度不易太硬，并且薄片的寬度不宜太小，這樣可以減少薄片做水平擺動(dòng)之外的運(yùn)動(dòng)；④磁鐵(方形磁鐵)， 提供彈片端部吸引力，固定磁鐵的支座可以左右水平移動(dòng)，進(jìn)而調(diào)節(jié)磁力作用距離；⑤質(zhì)量塊，安裝在薄彈片自由端，受到磁力作用，它和磁鐵一起形成了裝置的雙勢阱，為保證薄彈片不產(chǎn)生水平擺動(dòng)之外的運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量不宜過大；⑥外部固定框架，框架需滿足兩個(gè)要求，不能是磁性材料，以免對(duì)彈片運(yùn)動(dòng)形成外部干擾；質(zhì)量不宜過大，否則難以保持整個(gè)框架的水平性，從而彈片的水平擺動(dòng)會(huì)受到外部力的干擾；⑦彈片固定裝置，在兩個(gè)夾緊螺母和彈片之間設(shè)置一個(gè)方形鐵片，將螺母和彈性片之間的點(diǎn)接觸擴(kuò)展成面接觸，從而使彈片固定更牢靠；⑧設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)，激光位移傳感器，型號(hào)CD33-30NV，測試最大位移為±4 mm，最大允許誤差為±0.1%F.S.；激光位移傳感器與梁的距離為30 mm；梁的長與寬尺寸為155 mm×20 mm；磁鐵尺寸長寬高為11 mm×6 mm×9 mm；磁鐵頂端到底面高度為24 mm；質(zhì)量塊重量為5 g。

圖3 雙勢阱單端磁吸式混沌振動(dòng)裝置Fig.3 Sketch of the experimental rig

3 試驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)本質(zhì)為正弦信號(hào)的慢速頻率掃描實(shí)驗(yàn)，掃描頻率范圍為5～25 Hz，采樣頻率為2 kHz，數(shù)據(jù)采集時(shí)長為5 s。具體實(shí)驗(yàn)步驟為：

步驟1 安裝實(shí)驗(yàn)裝置，設(shè)置磁鐵距中心線的距離、無激勵(lì)時(shí)薄彈片距底端的距離，布置位移傳感器；

步驟2 將功率放大器置于高阻位置，設(shè)置最大電流限制值，并通過調(diào)節(jié)增益來實(shí)現(xiàn)激勵(lì)力大小的改變；

步驟3 打開數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以及信號(hào)發(fā)生系統(tǒng)，打開LabVIEW軟件，建立采集信號(hào)的時(shí)間歷程窗口、功率譜窗口及相圖以作實(shí)時(shí)觀察；

步驟4 固定激勵(lì)頻率于特定值，調(diào)節(jié)功率放大器增益旋鈕，觀察信號(hào)的時(shí)間歷程圖與功率譜圖，待其穩(wěn)定后采集數(shù)據(jù)以備后處理之用，數(shù)據(jù)文件按H××L××S×××.lvm命名，H后為激勵(lì)幅值，L后為磁鐵距中心線的距離值，S后為無激勵(lì)時(shí)薄彈片距底端的距離值，在文件名中以p標(biāo)識(shí)小數(shù)點(diǎn)；

步驟5 以步長為0.1 Hz增加頻率，重復(fù)步驟4，直至完成一定范圍的頻率掃描；

步驟6 改變磁鐵距中心線的距離、無激勵(lì)時(shí)薄彈片距底端的距離，重復(fù)步驟3～步驟5；

步驟7 信號(hào)分析流程，對(duì)信號(hào)時(shí)域圖進(jìn)行目視觀察、提取和分析實(shí)測數(shù)據(jù)的頻率特征、計(jì)算相空間重構(gòu)參數(shù)、重構(gòu)原系統(tǒng)的吸引子、計(jì)算吸引子的特征指數(shù)；

步驟8 根據(jù)分析結(jié)果，給出系統(tǒng)的可能的混沌參數(shù)區(qū)域；

步驟9 提出改進(jìn)試驗(yàn)方案和進(jìn)一步研究內(nèi)容。

4 試驗(yàn)結(jié)果

4.1 系統(tǒng)響應(yīng)隨激振系統(tǒng)增益變化的結(jié)果

根據(jù)掃頻調(diào)試，發(fā)現(xiàn)當(dāng)激勵(lì)頻率大于10 Hz時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)呈現(xiàn)豐富的動(dòng)力學(xué)特征，因此，本試驗(yàn)中將重點(diǎn)研究的頻率范圍設(shè)置在10 ～25 Hz。同時(shí)，考慮到功率放大器的增益過大時(shí)，將對(duì)試驗(yàn)裝置產(chǎn)生破壞性作用，因此增益的范圍確定為0～1.5 V。

當(dāng)激勵(lì)頻率為15.6 Hz，激振系統(tǒng)功率放大器的增益為0.1時(shí)，系統(tǒng)在右勢阱中處于周期1狀態(tài)，時(shí)間歷程曲線如圖4所示，振動(dòng)的最大幅值為0.056 mm，從頻譜圖中可以觀察到系統(tǒng)出現(xiàn)了基頻和三倍頻46.8 Hz，系統(tǒng)的重構(gòu)吸引子為一個(gè)極限環(huán)，從而證實(shí)了近似解析解分析的正確性。在這種狀態(tài)下，用力杠加入小的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)在兩個(gè)磁鐵之間振蕩，隨后落入左勢阱并進(jìn)入周期1運(yùn)行狀態(tài)，這表明外部激勵(lì)力不足以使其越過勢阱壁壘，因而被限制在單邊勢阱內(nèi)。

當(dāng)激勵(lì)頻率為15.6 Hz，激振系統(tǒng)的增益為0.5時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值增大，達(dá)到0.172 1 mm，但仍然處于周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖5所示。從時(shí)域圖和頻域圖中，可以觀察到系統(tǒng)的規(guī)則運(yùn)動(dòng)以及明顯的線譜特征。重構(gòu)了系統(tǒng)的吸引子，它是一個(gè)極限環(huán)。應(yīng)用改進(jìn)的Poincaré截面法對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行了分析，得到了截面圖。注意實(shí)測數(shù)據(jù)Poincaré截面圖和傳統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)不同，它是一個(gè)點(diǎn)簇而不是單個(gè)點(diǎn)，因此在編程過程中，需要將距離近的截點(diǎn)歸屬到同一點(diǎn)，這樣才能反映系統(tǒng)的本質(zhì)特性，這和仿真研究有明顯的差異，如圖5(d)所示。

圖4 激振系統(tǒng)增益為0.1 V時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 The vibration response when the excitation gain is 0.1 V

圖5 激振系統(tǒng)增益為0.5 V時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.5 The vibration response when the excitation gain is 0.5 V

繼續(xù)增大增益為0.8時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值進(jìn)一步增加，但此時(shí)的狀態(tài)是一種臨界狀態(tài)。用力杠加入小的擾動(dòng)后，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)在左右勢阱之間以混沌模式振蕩。有趣的是，系統(tǒng)隨后又落入左單邊勢阱并處于周期1振動(dòng)，這是一種不穩(wěn)定混沌現(xiàn)象。而增益參數(shù)為0.95時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)1/2次諧波，頻率為7.83 Hz，表明此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了倍周期分岔行為，如圖6所示。

圖6 激振系統(tǒng)增益為0.8 V時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.6 The vibration response when the excitation gain is 0.8 V

在增益為0.98時(shí)，無需力杠擾動(dòng)，系統(tǒng)自動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。時(shí)間歷程圖如圖7(a)所示，具有明顯的貌似隨機(jī)特征，功率譜呈現(xiàn)寬譜。重構(gòu)相空間參數(shù)中嵌入維數(shù)為4，延遲時(shí)間為16。得到的重構(gòu)混沌吸引子如圖7(e)所示，計(jì)算得到的最大LE為0.031 3，關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.129。

圖7 激振系統(tǒng)增益為0.98 V時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.7 The vibration response when the excitation gain is 0.98 V

4.2 系統(tǒng)響應(yīng)隨激振頻率變化的結(jié)果

由前面的試驗(yàn)可總結(jié)出兩個(gè)規(guī)律：①激振系統(tǒng)的增益為0.5時(shí)，不容易進(jìn)入混沌狀態(tài)，而是在單邊勢阱內(nèi)處于周期1運(yùn)動(dòng)；②激振系統(tǒng)增益大于0.95時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為非常豐富，可以產(chǎn)生包括混沌在內(nèi)的不同振動(dòng)模式。為了證實(shí)該結(jié)論，在增益為0.5的條件下，改變激勵(lì)頻率從10～20 Hz，系統(tǒng)的響應(yīng)都為周期1模式。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在頻率為15～17 Hz，加入小的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)能產(chǎn)生暫態(tài)混沌行為，隨后落入勢阱內(nèi)，處于周期1狀態(tài)。

為了觀察系統(tǒng)的混沌響應(yīng)并進(jìn)一步證實(shí)以上規(guī)律的準(zhǔn)確性，將激振系統(tǒng)的增益固定為1，由小到大增加系統(tǒng)的激勵(lì)頻率。當(dāng)頻率為5～10 Hz時(shí)，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài)；當(dāng)激勵(lì)頻率大于10 Hz時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)特征非常豐富：在10～16 Hz時(shí)，產(chǎn)生混沌振動(dòng)；在16.6 Hz時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期2行為，如圖8所示，計(jì)算其LE為-0.008 5。在17～19 Hz時(shí)，又產(chǎn)生并保持穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。而在高頻時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了逆分岔行為，由混沌自動(dòng)進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)，19 Hz時(shí)，產(chǎn)生周期3運(yùn)動(dòng)，如圖10所示；在19.4 Hz時(shí)，產(chǎn)生單勢阱內(nèi)的多周期運(yùn)動(dòng)，如圖11所示。此外，還觀察到了一些有趣的現(xiàn)象，在23 Hz時(shí)，質(zhì)量塊穿越勢阱壁壘在兩個(gè)勢阱之間來回運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了大幅值的多周期振動(dòng)；在30 Hz激勵(lì)時(shí)，裝置出現(xiàn)轟鳴聲，系統(tǒng)可能出現(xiàn)了共振現(xiàn)象。越過共振頻率后，振子在單邊勢阱內(nèi)呈周期1運(yùn)動(dòng)模式。

圖8 系統(tǒng)產(chǎn)生的周期2振動(dòng)Fig.8 Periodic 2 motion of the system

圖9 系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌振動(dòng)Fig.9 Chaotic motion of the system

圖10 激勵(lì)頻率為19 Hz系統(tǒng)產(chǎn)生的周期3振動(dòng)Fig.10 Periodic 3 motion of the system

圖11 激勵(lì)頻率為19.4 Hz時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的多周期振動(dòng)Fig.11 Multi periodic motion of the system

5 結(jié) 論

應(yīng)用多尺度法可以有效求出雙勢阱系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)的近似解析解，從響應(yīng)表達(dá)式中可知系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為中存在慢變分量和快變分量，并存在超諧波響應(yīng)。采用平均法得到了系統(tǒng)的幅頻關(guān)系表達(dá)式，給出了振動(dòng)幅值和頻率調(diào)節(jié)因子之間的舌狀結(jié)構(gòu)曲線，揭示了系統(tǒng)的非線性本質(zhì)特征。成功設(shè)計(jì)并加工了雙勢阱理論的機(jī)械式混沌振動(dòng)試驗(yàn)裝置，其意義在于進(jìn)一步證實(shí)了機(jī)械系統(tǒng)中不僅能夠產(chǎn)生可以復(fù)現(xiàn)的、穩(wěn)定的混沌振動(dòng)，而且可以通過試驗(yàn)獲得混沌參數(shù)區(qū)域，為混沌的工程應(yīng)用研究提供了可靠的試驗(yàn)手段。

通過實(shí)測數(shù)據(jù)的分析，觀察到了試驗(yàn)中的次諧波現(xiàn)象，它的出現(xiàn)的預(yù)示著混沌產(chǎn)生；觀察到了超諧波現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象，同時(shí)觀察到了一些有趣的新現(xiàn)象：如系統(tǒng)周期1運(yùn)動(dòng)存在兩種模式，一種是在兩個(gè)勢阱之間周期振蕩，另一種是陷入某一個(gè)勢阱內(nèi)做周期1運(yùn)動(dòng)，試驗(yàn)研究證實(shí)了理論分析的有效性。后續(xù)研究中，還需要完成一些工作：如彈片的長度變化與剛度變化對(duì)混沌的影響、附加質(zhì)量的改變、多頻激勵(lì)、多自由度等因素對(duì)系統(tǒng)的影響、多勢阱系統(tǒng)的三維混沌振動(dòng)、設(shè)計(jì)能夠精確控制初始條件的結(jié)構(gòu)以及驗(yàn)證本項(xiàng)目組編制的混沌在線識(shí)別系統(tǒng)。

致謝：

楊慶超講師和Southampton University Solent Institution of Acoustic: Jian Jiang, Chris, Lee, Lawrance的討論。

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