進(jìn)階滲透“微元法”的教學(xué)研究

蔡晨芳

摘 要：針對(duì)當(dāng)前高中物理對(duì)“微元法”教與學(xué)中存在的脫節(jié)低效的困惑，本文從科學(xué)思維特征、教材編寫意圖、核心素養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生認(rèn)知順序、教學(xué)匹配原則五方面闡述進(jìn)階滲透“微元法”教學(xué)研究的依據(jù)與思考。

關(guān)鍵詞：進(jìn)階滲透；微元法；教學(xué)研究

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）12-0026-5

當(dāng)下世界各國(guó)基礎(chǔ)教育共同關(guān)注“國(guó)民核心素養(yǎng)”的發(fā)展，每門學(xué)科、課程都肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的不可或缺的獨(dú)特使命。高中物理學(xué)科重點(diǎn)承載理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究、問(wèn)題解決、社會(huì)責(zé)任等素養(yǎng)要點(diǎn)。其中，科學(xué)思維與科學(xué)方法是學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素。思維方法中解決物理問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)工具——“微積分”作為研究非線性變化重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用與發(fā)展已廣泛地滲透到了物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，它不僅是物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)上普遍采用的方法，而且可解決日常生活中許多復(fù)雜的問(wèn)題，如氣象預(yù)測(cè)、人造衛(wèi)星軌跡的計(jì)算，運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析、股市變化研判、商品生產(chǎn)的供需平衡、市場(chǎng)預(yù)警等。

然而，在高中階段物理學(xué)習(xí)中，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的滯后局限，對(duì)可以使用微積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的一些問(wèn)題，如變力、流體、曲線運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題在高中階段運(yùn)用初等數(shù)學(xué)很難解決。而與微積分一脈相承的、具有積分學(xué)重要雛形的“微元法”，是解決上述問(wèn)題行之有效的替代方法。在高中培養(yǎng)“微元法”思維方法，學(xué)生不僅能品味“微積分”的基本思想，洞察微積分運(yùn)用的基本過(guò)程，而且有利于高考?jí)狠S題的突破，有益于后續(xù)高校學(xué)習(xí)的順應(yīng)對(duì)接。但“微元法”對(duì)學(xué)生的細(xì)致思考能力和極限思維能力要求較高，在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中師生普遍感覺(jué)“難教難學(xué)”。即便是高三學(xué)生也往往“談微色變”、望而卻步。如何運(yùn)用“自然保護(hù)區(qū)”模式，既保護(hù)每一種類型學(xué)生的天賦與價(jià)值，又能最大化、最優(yōu)化激發(fā)微元思維的落地生根、開(kāi)花散葉？《老子》中有“合抱之木，生于毫木。九層之臺(tái)，起于累土?！惫P者認(rèn)為，要運(yùn)用系統(tǒng)論、控制論的思想和方法，在高中階段有計(jì)劃、分階段規(guī)劃分散“微元法”的教學(xué)難點(diǎn)，循序漸進(jìn)地滲透“微元法”，才可能更好地實(shí)現(xiàn)與學(xué)生能力素質(zhì)、個(gè)性特征相匹配的“同步”教學(xué)。下面就進(jìn)階滲透“微元法”的教學(xué)談?wù)剛€(gè)人的看法。

1 進(jìn)階依據(jù)

1.1 依據(jù)科學(xué)思維特征，確定進(jìn)階滲透方案

（1）什么是微元法

對(duì)于一些復(fù)雜的連續(xù)變化的物理現(xiàn)象和物理過(guò)程，從整體或全局處理感到困難時(shí)，可根據(jù)問(wèn)題需要，將研究對(duì)象、研究過(guò)程或研究時(shí)間等 “千刀萬(wàn)剮”分割為適當(dāng)?shù)奈⒃M(jìn)行研究，如質(zhì)元（極小質(zhì)點(diǎn)Δm）、位移元（極短的距離Δx）、時(shí)間元（極小的時(shí)間Δt）等，再運(yùn)用物理規(guī)律找出微元間的關(guān)系，最后對(duì)元過(guò)程進(jìn)行必要的累加求出累積量，進(jìn)而解決問(wèn)題。這種方法稱“微元法”，又稱微小變量法。簡(jiǎn)要來(lái)說(shuō)“微元法”就是采用分割逼近、近似代替、累計(jì)求和的三步驟，應(yīng)用積分的思想，化整為零，積零為整?；?yōu)楹?，化曲為直，使變量、難以確定的量為常量或易于確定的量，達(dá)到了解整體、解決問(wèn)題的目的。

（2）什么是進(jìn)階滲透

在古漢語(yǔ)中，“進(jìn)階”一詞有“臺(tái)階”的意思，通常指從低級(jí)到高級(jí)的過(guò)程?！皾B透”指融合為一。進(jìn)階滲透教學(xué)是在原來(lái)的基礎(chǔ)上有較大程度提高的、漸進(jìn)式融合的教學(xué)方式。進(jìn)階滲透教學(xué)，就是立足全局，將問(wèn)題的難點(diǎn)細(xì)化，分散到各學(xué)段各個(gè)突破，要求教師像研究項(xiàng)目的導(dǎo)師，課堂像“創(chuàng)客聯(lián)通平臺(tái)”，通過(guò)各學(xué)段、各階段的集體思維攻關(guān)，資源共享，實(shí)現(xiàn)“個(gè)性化學(xué)習(xí)”的需求。最終達(dá)成核心素養(yǎng)目標(biāo)，習(xí)得一種思維方式，獲得自我升級(jí)與幸福的能力。

1.2 依據(jù)教材編寫意圖，確定進(jìn)階滲透模版

教材對(duì)“微元法”的謀篇布局精心規(guī)劃，貫穿于高中物理學(xué)習(xí)的始末。下面以某版本《物理》教材為例，說(shuō)明微元法在教材中的進(jìn)階序，如表1所示。

必修1教材從平均速度出發(fā)，首次采用逼近真實(shí)的思想，提出從s到s+Δs這段運(yùn)動(dòng)過(guò)程內(nèi)，Δs越小平均速度與瞬時(shí)速度的差異也就越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確。在此基礎(chǔ)上，再提出若Δs足夠小時(shí)，就可以認(rèn)為Δs的平均速度就是s位置的瞬時(shí)速度。接著，再提出測(cè)t位置的瞬時(shí)速度的方法類似。正是這種無(wú)限分割逼近的方法，可以使原來(lái)不易測(cè)量的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的平均速度，可以使原來(lái)較為復(fù)雜的過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的過(guò)程。教材從“足夠小”，構(gòu)建逼近模型，滲透了“位移微元”的理念。在推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，教材通過(guò)拓展一步結(jié)合圖文，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用逼近模型能夠有效地逼近非線性曲線的面積，將微元思想集成為無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和。教材第一次明確提出推導(dǎo)中用到了微積分思想，即無(wú)限分割，逐漸逼近真實(shí)狀況。

必修1教材總體上反映思維方法特征。學(xué)生從Δt足夠小，了解了“時(shí)間微元”“面積近似”的同時(shí)，也掌握了用“微元法”處理問(wèn)題的基本方法。從研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程分割時(shí)間、分割位移的角度潛移默化“元過(guò)程”意識(shí)，感悟微積分思想的核心：逼近模型、化變?yōu)楹恪?/p>

必修2教材強(qiáng)調(diào)運(yùn)用微元思想求解功的差異。開(kāi)始求解變力功是應(yīng)用“位移微元”與“面積近似”的微元思想，進(jìn)一步滲透“化變?yōu)楹恪?，“部分和的極限”的思想。其次，求解曲線運(yùn)動(dòng)的重力功滲透“化曲為直”的思想，“直”向“曲”的逼近。必修2教材對(duì)“微元法”體現(xiàn)研究過(guò)程特征。強(qiáng)調(diào)從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確，滲透了樸素的哲學(xué)思想。

選修3-1編排按照從“力”到“電”最后“磁”的順序安排，關(guān)注“微元法”從力學(xué)到電磁學(xué)的遷移運(yùn)用。選修3-1教材首先抓住導(dǎo)體棒的對(duì)稱性無(wú)限分割后可累加的使用條件，將研究對(duì)象無(wú)限分割為“元電荷”。接著在研究電流強(qiáng)度與安培力時(shí)強(qiáng)化了對(duì)“電流微元”的理解，同時(shí)再次顯化運(yùn)用的關(guān)鍵條件是分割求和可運(yùn)算。在此部分的教材體系中體現(xiàn)方法應(yīng)用技能。如推導(dǎo)洛倫茲力公式，電流與磁場(chǎng)的作用等。

選修3-2編排仍然體現(xiàn)方法應(yīng)用技能。從電磁感應(yīng)中連續(xù)變化的處理方法，一步一步從“線微元”“面積微元”，從實(shí)驗(yàn)、理論、實(shí)踐的環(huán)節(jié)滲透“分割、累加”的微元思想。endprint

選修3-3編排反映思維方法特征。體現(xiàn)了微觀角度、從液體分子到氣體分子的微觀統(tǒng)計(jì)中滲透了微小累積，平均替代統(tǒng)計(jì)思想。

選修3-4編排體現(xiàn)研究過(guò)程特征。在動(dòng)力學(xué)研究中關(guān)注了非線性變化的問(wèn)題，將不易研究的變力、曲線問(wèn)題微元化為 “位移微元”，從而化變?yōu)楹?，化雜為簡(jiǎn)。此部分對(duì)微元法更多關(guān)注“線微元”的學(xué)以致用。

選修3-5編排體現(xiàn)方法應(yīng)用技能。此部分著重突出對(duì)變力、變質(zhì)量的變化處理，關(guān)注常量向變量的逼近替代思想。

從教材編排順序上看，對(duì)“微元法”建構(gòu)了較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)進(jìn)階。學(xué)習(xí)“微元法”經(jīng)歷了簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，從勻加速直線運(yùn)動(dòng)到勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，從恒力到變力，從力學(xué)到電磁學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、原子物理等，從定性到定量，從了解到運(yùn)用推導(dǎo)、動(dòng)手實(shí)踐，潛移默化地滲透微元法，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

1.3 依據(jù)核心素養(yǎng)目標(biāo)，確定進(jìn)階滲透層級(jí)

基于物理核心素養(yǎng)目標(biāo)與學(xué)生多元發(fā)展，確定“微元法”階段要求為四個(gè)層級(jí)：

層級(jí)一：結(jié)合瞬時(shí)速度定義案例與勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式推導(dǎo)案例，認(rèn)識(shí)形成物理觀念，知道研究物理問(wèn)題的本質(zhì)方法：逼近思維、極限方法、微元思想。

層級(jí)二：結(jié)合變力功的圖像理解案例與曲線運(yùn)動(dòng)中重力功的推導(dǎo)案例，知道“微元法”模型；能對(duì)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題運(yùn)用“微元法”獲得結(jié)論。能體會(huì)科學(xué)思維中的“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄钡某橄蠓椒ê徒?gòu)微元法過(guò)程的特征。

層級(jí)三：能使用“微元法”模型解決問(wèn)題，能對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題判斷能否使用“微元法”。能進(jìn)行分析和推理，獲得結(jié)論并作出解釋。

層級(jí)四：能在特定的情境下，能從“微元法”視角建構(gòu)、分析、表達(dá)自己的觀點(diǎn)，能從不同角度思考、綜合分析各種自然、生活、社會(huì)中與“微元法”相關(guān)的問(wèn)題。

1.4 依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知順序，確定進(jìn)階滲透策略

（1）前認(rèn)知。學(xué)生對(duì)“微元法”的認(rèn)識(shí)在小學(xué)已經(jīng)開(kāi)始了。第一次接觸是小學(xué)六年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)圓面積的問(wèn)題求解中，對(duì)分割逼近，累加求和就有了樸素的逼近典型的概念，就有了微積分的思想。隨后，在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)球和球冠面積等任意圖形的討論學(xué)習(xí)求解，無(wú)不體現(xiàn)滲透著“微元法”的替代思想，所以要注意整合相關(guān)學(xué)科的認(rèn)知儲(chǔ)備，緩坡前進(jìn)。

（2）學(xué)段序。要依據(jù)學(xué)段學(xué)情，分散教學(xué)的難點(diǎn)，確定每一階段、每一層級(jí)的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容。高一主要從建構(gòu)角度，從物理概念、公式中反映思維方法特征，理解“微元法”的思想、步驟。高二主要從過(guò)程角度，從課后練習(xí)、推導(dǎo)中掌握運(yùn)用“微元法”的過(guò)程技巧。高三主要從技能角度，從復(fù)習(xí)解題、應(yīng)用實(shí)踐中學(xué)會(huì)用“微元法”解決實(shí)際問(wèn)題。

1.5 依據(jù)教學(xué)匹配原則，確定進(jìn)階教學(xué)內(nèi)容

“微元法”各學(xué)段教學(xué)設(shè)計(jì)要圍繞充分展現(xiàn)微元法的思維魅力，防止教學(xué)高原現(xiàn)象。高一淺入淺出介紹“微元法”的思想、思維方法。教學(xué)中建議引入用微元法處理生活問(wèn)題的相關(guān)例子，增加感性認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生對(duì)“微元法”思維的同化與內(nèi)化?！拔⒃ā辈皇侨魏螌哟蔚膶W(xué)生可以接受的，此階段應(yīng)輕數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，重在微元思想的彰顯，根據(jù)學(xué)生的不同情況作適切的調(diào)整。高二文理分科后，對(duì)理科生更應(yīng)側(cè)重于微元思想方法的領(lǐng)悟，重在培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的能力。注重對(duì)微元思維的訓(xùn)練，選擇應(yīng)用到實(shí)際生活的例子，理解微元法的妙用，滲透過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、直與曲、不變與變的對(duì)立統(tǒng)一思維。如果高一是認(rèn)知微元思想，高二是明晰微元方法，高三就是注重微元應(yīng)用。高三復(fù)習(xí)階段，重在培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。無(wú)論哪一階段教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是設(shè)計(jì)諸多小課題，合理的激勵(lì)措施，吸引學(xué)生進(jìn)入后續(xù)學(xué)習(xí)的軌道。

2 案例說(shuō)明

案例（一）：瞬時(shí)速度的定義關(guān)注微元法課堂問(wèn)題的設(shè)置。

1.提出問(wèn)題：

質(zhì)點(diǎn)變速直線運(yùn)動(dòng)求在某位置的速度？例如：觀察一輛電動(dòng)玩具汽車沿著一條米尺運(yùn)動(dòng)。若玩具汽車運(yùn)動(dòng)得足夠慢，可以用一臺(tái)數(shù)字鐘記錄下不同時(shí)刻的位置。請(qǐng)你設(shè)計(jì)能測(cè)出通過(guò)某位置對(duì)應(yīng)瞬時(shí)速度的實(shí)驗(yàn)方案。

2.討論質(zhì)疑：

用提供的數(shù)據(jù)測(cè)量出的是平均速度v還是瞬時(shí)速度v？根據(jù)近似替代原理，用什么方案、在什么情況測(cè)出的平均速度最接近瞬時(shí)速度。

3.類比點(diǎn)撥：

小學(xué)是如何推導(dǎo)圓的面積？（平均切割，無(wú)限逼近）

兒童發(fā)育期間每時(shí)每刻的身高都在生長(zhǎng)，如何推測(cè)出某歲時(shí)的身高值？

此環(huán)節(jié)設(shè)置目的從生長(zhǎng)角度切入，理解選擇越接近參照年齡時(shí)，對(duì)應(yīng)的身高值越逼近真實(shí)值。正向遷移對(duì)測(cè)瞬時(shí)速度的方案條件（極短逼近）的理解。

4.建構(gòu)模型：

從“位移足夠小”，構(gòu)建逼近模型，滲透“位移微元”的理念。逼近模型是微元法最基本的單元——局部求近似，極限求精確，它滲透在我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷妗?/p>

5.定性描述：

提出從s到s+Δs這段運(yùn)動(dòng)過(guò)程內(nèi)，Δs越小平均速度與瞬時(shí)速度的差異也就越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確。在此基礎(chǔ)上，再提出若Δs足夠小時(shí)，就可以認(rèn)為Δs的平均速度就是s位置的瞬時(shí)速度。接著，再提出測(cè)t位置的瞬時(shí)速度的方法類似。正是這種無(wú)限分割逼近的方法，可以使原來(lái)不易測(cè)量的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的平均速度，可以使原來(lái)較為復(fù)雜的過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的過(guò)程。

6.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：

v=

當(dāng)Δt→0時(shí)，

Δv=|v-v|→0

v=v

此部分教學(xué)設(shè)計(jì)特別注意推遲判斷，鼓勵(lì)不同見(jiàn)解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、求異思維品質(zhì)。

案例（二）：推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式或變力功強(qiáng)調(diào)微元圖像法功能。

1.問(wèn)題情境：

已知質(zhì)點(diǎn)的初速度為v0，做加速度大小為a的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)位移是多少？

2.小組討論：endprint

學(xué)生展示各種推導(dǎo)方案。

3. 類比點(diǎn)撥：

能否運(yùn)用圖像面積法與逼近模型推導(dǎo)位移公式？

回憶小學(xué)如何求圓的面積？生活中的實(shí)例同步播送最新動(dòng)態(tài)的新聞畫面，它將一個(gè)個(gè)區(qū)域小畫面集成大屏幕或地球形狀類比。又如由一個(gè)個(gè)像素集成的數(shù)字油畫，由千針萬(wàn)線的一小段直絲線積累、繡出的優(yōu)美畫面。年段學(xué)生分?jǐn)?shù)段成績(jī)的分布統(tǒng)計(jì)圖等。

4.建構(gòu)模型：從對(duì)事物的極小部分（微元）的分析入手，無(wú)限細(xì)分、無(wú)限累積，達(dá)到解決整體問(wèn)題的方法，叫做微元法。

5.定性描述：微分構(gòu)建微元，累積統(tǒng)計(jì)總量。無(wú)限切割微元，圖像矩形塊累積。

6.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：

Δs=Δv·Δt

同理：

Δs1=Δv1·Δt

Δs2=Δv2·Δt

Δs3=Δv3·Δt

…

累積s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

7.化歸思維：

Δs=Δx·Δy

同理：

Δs1=Δy1·Δx

Δs2=Δy2·Δx

Δs3=Δy3·Δx

…

累積s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

適用：變化運(yùn)動(dòng)過(guò)程中橫縱坐標(biāo)乘積具有物理意義。

8.討論 總結(jié)：

建元過(guò)程：

微元法的思路是無(wú)限分割與逼近，取微元即對(duì)整體對(duì)象作無(wú)限分割，分割的對(duì)象可以是一段時(shí)間、一個(gè)過(guò)程，得到“時(shí)間元”“過(guò)程元”；也可以對(duì)各種物理量進(jìn)行分割，得到如“元電荷”“元功”“元電流”等。 （下轉(zhuǎn)第33頁(yè)）（上接第29頁(yè)）

檢元過(guò)程：

分解為眾多微小的“元過(guò)程”（如時(shí)間元Δt、長(zhǎng)度元ΔL、面積元ΔS）需要檢查每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是否相同？是否“微元”及相應(yīng)的量具備“可加性”特征。

累加過(guò)程：

疊加域內(nèi)“不遺漏”“不重復(fù)”的完整疊加，通過(guò)求取極限，達(dá)到向精確描述的逼近。

綜上所述，在一節(jié)課時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)達(dá)到“綜合”“運(yùn)用”水平是不太現(xiàn)實(shí)的，構(gòu)建物理思維與研究習(xí)慣的培養(yǎng)也不可能立竿見(jiàn)影、一蹴而就。因此，教師要有全局的意識(shí)，規(guī)劃的能力，進(jìn)階的策略，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展才能事半功倍。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡進(jìn)，王家祺.每門學(xué)科都可以聚焦核心素養(yǎng)培育[J].基礎(chǔ)教育論壇，2017（2）：24.

[2]劉成華.運(yùn)用微元法處理“非線性”變化物理問(wèn)題[J].物理通報(bào)，2011（2）：23-25.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）endprint