基于時頻分析的混沌噪聲背景下諧波信號頻率估計

孫海欣，佐藤禮華

(1. 長春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 長春 130022;2.大阪電氣通信大學(xué) 綜合信息學(xué)院，大阪 5408570)

0 前言

自從混沌現(xiàn)象受到關(guān)注以來，混沌信號已被證實(shí)廣泛存在于大自然中，在氣象、水文、通信等多個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1]。信息在實(shí)際傳輸與交換的過程中，均通過信號這一物理實(shí)體來實(shí)現(xiàn)。由于產(chǎn)生信號的設(shè)備本身和信號的傳輸環(huán)境往往具有隨機(jī)性，傳輸?shù)男盘栔袝霈F(xiàn)附加噪聲和干擾，呈現(xiàn)出傳輸信號和混沌噪聲相混合的復(fù)雜信號，必須對其加以處理，才能提供給信息接收者使用。因此，必須有針對性地對混沌噪聲和白噪聲進(jìn)行抑制，才能有效地提取傳輸信號的相關(guān)信息及參數(shù)。

本文采用由正交小波構(gòu)造思想出發(fā)所構(gòu)造的Daubechies小波和相關(guān)法相結(jié)合對淹沒在混沌噪聲背景下的諧波信號的頻率進(jìn)行估計。該方法利用周期信號和混沌噪聲信號在小波不同尺度分解具有不同能量聚集性的特點(diǎn)，對混沌噪聲信號進(jìn)行削弱，再利用周期信號的自相關(guān)特性，即當(dāng)時延為信號周期整數(shù)倍時，周期信號的自相關(guān)函數(shù)也具有周期性的特點(diǎn)對周期信號的頻率進(jìn)行提取。以諧波信號為例，對混沌背景下的諧波信號頻率進(jìn)行估計。

1 相關(guān)法和Daubechies小波變換

1.1 相關(guān)法

假設(shè)被測周期信號為s(t)，在傳輸過程中引入混沌噪聲n(t)，s(t)和n(t)相互獨(dú)立。x(t)為諧波信號和混沌噪聲的混合，其形式如式(1)所示。

x(t)=s(t)+n(t)。

(1)

x(t)的自相關(guān)函數(shù)為：

Rx(τ)=E[x(t)x(t-τ)]=E{[s(t)+n(t)][s(t-τ)+n(t-τ)]}=Rs(τ)+Rn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)。

(2)

由于n(t)和s(t)相互獨(dú)立，假設(shè)n(t)的均值等于零，則Rsn(τ)=Rns(τ)=0，式(2)可簡化為：

Rx(τ)=Rs(τ)+Rn(τ)。

(3)

根據(jù)周期信號的性質(zhì)可知：周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍為周期函數(shù)，且周期與周期信號的周期相同。設(shè)周期信號的周期為T，當(dāng)τ=0或τ=T時，s(t)的自相關(guān)函數(shù)Rs(τ)取得最大值；而對于均值為零的非周期性混沌噪聲n(t)，其自相關(guān)函數(shù)Rn(τ)僅在τ=0時取得最大值，但當(dāng)τ逐漸變大時，Rn(τ)逐漸衰減至零。因此，對于含有混沌噪聲的周期信號x(t)，當(dāng)τ為T的整數(shù)倍時，自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)僅僅體現(xiàn)Rs(τ)的變化情況，根據(jù)此性質(zhì)即可估計出淹沒在混沌噪聲背景下的周期信號的頻率。

若引入的混沌噪聲均值不為零，則需要對噪聲進(jìn)行均值零化處理，即根據(jù)：

E[x(t)+m]=E[x(t)]+m,m為常數(shù)

(4)

將式(1)變形為：

x(t)=s(t)+[n(t)-m]。

(5)

式中，m為噪聲的均值。式(5)保證了混沌噪聲的均值等于零。此時利用式(3)，即可從混合信號的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)中估計出周期信號s(t)的頻率[8]。

1.2 Daubechies緊支集正交小波變換

根據(jù)小波變換理論可知，正交小波分解具有良好的性質(zhì)?？衫肕allat算法實(shí)現(xiàn)正交小波分解與重構(gòu)的便捷遞推算法。本文采用Daubechies小波來構(gòu)造正交小波，該小波具有光滑性，可以高精度地模擬和分析信號，并且具有很強(qiáng)的時域和頻哉局部化能力，Daubechies小波的構(gòu)造原理如下：

緊支集標(biāo)準(zhǔn)正交尺度函數(shù)φ(t)滿足：

(6)

其中，M為有界正整數(shù)，H(ω)是周期函數(shù)，其周期為2π。H(ω)2近似為周期函數(shù)，其周期同樣為2π，且H(ω)2具有偶對稱性。從濾波器的通帶特性來看，H(ω)2具有低通特性，H(ω+π)2具有高通特性，H(ω)2和H(ω+π)2之和等于1。

由于H(ω)2是以2π為周期的偶對稱函數(shù)，用余弦級數(shù)形式可表示成：

(7)

(8)

由于H(ω)2具有偶對稱性，其Fourier展開系數(shù)ηn也具有偶對稱性。對式(8)進(jìn)一步改寫為：

(9)

結(jié)合式(7)與式(9)，得出M=N，推導(dǎo)出H(ω)2的兩種表示形式，分別如式(10)和式(11)所示：

(10)

(11)

2 混沌噪聲背景下諧波信號的頻率估計

根據(jù)混沌信號的特性可知：混沌噪聲n(t)的能量主要集中在低頻段，而實(shí)際待測的諧波信號s(t)的頻率相對較高。根據(jù)兩種信號的頻率成分不同的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)混沌噪聲和諧波信號的分離，從而有效估計出諧波信號的頻率。本文利用小波變換法和相關(guān)法相結(jié)合對混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進(jìn)行估計，該方法的基本原理是對被測信號x(t)進(jìn)行小波分解，利用混沌噪聲與諧波信號在不同的分解尺度上具有不同的能量聚集性的特點(diǎn)，通過采取不同的尺度系數(shù)對含有混沌噪聲的諧波信號進(jìn)行Daubechies小波重構(gòu)，可將混沌噪聲和諧波信號分離。再利用相關(guān)法進(jìn)一步計算，即可估計出諧波信號的頻率。算法的具體步驟為：

根據(jù)小波多尺度分解理論可知，N不同時，小波分解后的能量聚集特性不同。N越大，多尺度分解時濾波器的長度越長，濾波性能越好，但會導(dǎo)致時域定位性能惡化。對被測信號x(t)進(jìn)行小波分解和重構(gòu)時，對于不同類型的混沌噪聲，N的長度各不相同。本文通過仿真驗(yàn)證，選取N=5 進(jìn)行Daubechies小波分解。

本文通過信噪比來衡量Daubechies小波分解與重構(gòu)前后，對混合信號x(t)中混沌噪聲n(t)的抑制程度，信噪比定義為：

(13)

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文假設(shè)混沌噪聲信號為Lorenz系統(tǒng)輸出的信號，Lorenz系統(tǒng)方程滿足：

(14)

式中δ=10，ρ=28，β=8/3。

(15)

圖1 估計出的諧波信號頻率

在下面的仿真實(shí)驗(yàn)中，采用四階龍格-庫榙算法產(chǎn)生長度為5000的混沌噪聲數(shù)據(jù)，步長為0.01，Lorenz信號初值為x0=y0=z0=1，采樣頻率為100Hz。

實(shí)驗(yàn)1：混沌噪聲背景下諧波信號的頻率估計。

假設(shè)n=1，A=5，f=5Hz，利用小波變換法和相關(guān)法相結(jié)合對Lorenz混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進(jìn)行估計，估計后的頻譜仿真結(jié)果如圖1所示。

保持諧波信號頻率f=5Hz不變，當(dāng)幅度A變化時，諧波信號和混沌噪聲的信噪比變化如表1所示。根據(jù)表1的結(jié)果可知，當(dāng)諧波信號的頻率f固定不變，信噪比與諧波信號的幅度呈正比關(guān)系。

表1 諧波信號幅度與信噪比的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)2：混合噪聲背景下諧波信號的頻率估計。

諧波信號參數(shù)為n=3，A1=3，f1=5Hz，A2=4，f2=7Hz，A3=5，f3=3Hz，淹沒在白噪聲和混沌噪聲構(gòu)成的混合噪聲背景下，混合信號波形如圖3所示。從圖2中看不出任何諧波信息。利用小波變換法和相關(guān)法相結(jié)合，對混合信號進(jìn)行頻率估計，混合信號的自相關(guān)函數(shù)如圖3所示，頻譜仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，諧波信號的3個頻率被準(zhǔn)確的估計出來。

圖2 混合噪聲背景下的諧波信號波形圖

圖3 混合信號的自相關(guān)函數(shù)

圖4 估計出的諧波信號頻率

4 結(jié)語

本文提出了一種基于小波變換法和相關(guān)法結(jié)合的方法對混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進(jìn)行估計。根據(jù)諧波信號和混沌噪聲的自相關(guān)性不同以及在小波分解的不同尺度上的能量不同聚集性的特點(diǎn)，對混沌噪聲進(jìn)行抑制，從而有效估計出諧波信號的頻率。該方法不需要對混沌噪聲信號的相空間進(jìn)行重構(gòu)，計算量小，易于實(shí)現(xiàn)。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明，在信噪比較低的情況下，本文提出的方法能有效地估計出諧波信號的頻率，具有良好的抗噪性和實(shí)用價值。

[1] 呂金虎, 陸君安, 陳士華. 混沌時間序列分析及其應(yīng)用[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2002.

[2] 姜斌. 海雜波建模及目標(biāo)檢測技術(shù)研究[D].長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2006.

[3] 許小可. 基于非線性分析的海雜波處理與目標(biāo)檢測[D].大連：大連海事大學(xué),2008.

[4] 王國光,王樹勛,何麗橋.強(qiáng)混沌和噪聲背景下微弱信號的檢測[J].吉林大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2016，36(S1)：116-121.

[5] Huang X G, Xu J X.Unmasking chaotic mask by a wavelet multiscale decompositionalgorithm[J]. Int.J.Bif & Chaos,2011,11(2):561.

[6] 李鴻光,孟光.基于EMD方法的混沌信號中周期分量的提取[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2006,27(2):199-203.

[7] 李鴻光,孟光.基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾幕煦绺蓴_下諧波信號的提取方法[J].物理學(xué)報,2004,53(7):2069-2073.

[8] 孫海欣. 混沌噪聲背景下周期信號的頻率估計的方法研究[D].長春：吉林大學(xué), 2008.