非奇異H-矩陣的新判定*

張爭爭， 張 娟

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)系，湖南 湘潭 411105)

0 引 言

近年來，由于非奇異H-矩陣在數(shù)值代數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制論等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用而受到人們的普遍關(guān)注.然而，非奇異H-矩陣的判定卻較為困難.國內(nèi)外的許多學(xué)者對非奇異H-矩陣做了深入研究[1-8].在文獻[1]的基礎(chǔ)上進行了改進和推廣.

若不可約矩陣A是α-對角占優(yōu)矩陣且至少有一個嚴(yán)格不等式成立，那么稱A為不可約α-對角占優(yōu)矩陣.若A是α-對角占優(yōu)矩陣，且對等式成立的下標(biāo)i均存在非零元素鏈aii1，ai1i2，…，aitj，|ajj|>αΛj(A)+(1-α)Qj(A)成立，則稱A是非零元素鏈α-對角占優(yōu)矩陣.記：

N1={i∈N：0<|aii|=αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}

N2={i∈N：0<|aii|<αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}

N3={i∈N：|aii|>αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}.

文獻[1]有結(jié)論：設(shè)A=(aij)∈Cn×n，記

若對任意i∈N1，存在t∈N2∪N3，使得ait≠0，并且對任意i∈N2，有

(1)

1)A為嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣；

2)A為不可約α-對角占優(yōu)矩陣，且至少有一嚴(yán)格對角占優(yōu)行；

3)A為具有非零元素鏈α-對角占優(yōu)矩陣.

1 主要結(jié)果

首先引進如下記號：

i∈N3，p=1，2，…，

定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，α∈(0，1]，若對任意i∈N1存在t∈N2∪N3，使得ait≠0，并且對任意i∈N2，存在正整數(shù)p使下式成立：

(2)

(3)

構(gòu)造正對角矩陣D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

令B=AD=(bij)n×n.

對?i∈N1，由

可得：

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

1和式(3)可得：

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

|bii|.

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

注：當(dāng)α=1，p=1時，就是文獻[1]中定理1的主要結(jié)果.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，α∈(0，1]為不可約矩陣，若對任意i∈N2，存在正整數(shù)p使下式成立：

(4)

證明：

由于A是不可約矩陣，故|aij|(?i∈K?N，j∈N/K)不全為零.構(gòu)造正對角矩陣D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

注：當(dāng)α=1，p=1時，就是文獻[1]中定理2的主要結(jié)果.

2 數(shù)值例子

例： 設(shè)

[1] 郭麗.非奇異H-矩陣的判定[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2010(2)： 226-228

GUO L.Criteria for Nonsingular H-Matrices[J].Journal of Jilin University (Science Edition)，2010(2)： 226-228

[2] 庹清，朱礫，劉建州.一類非奇異H-矩陣判定的新條件[J].計算數(shù)學(xué)，2008，30(2)： 177-182

TUO Q，ZHU L，LIU J Z.One Type of New Criteria Conditions for Nonsingular H-Matrices[J].Math Numer Sin，2008，30(2)： 177-182

[3] SHIVAKUMAR P N，CHIW K H.A Sufficient Condition for Nonvanishing of Determinants[J].Proc Amer Math Soc，1974，43(1)： 63-66

[4] VARGA R S.On Recurring Theorems on Diagonal

Dominance[J].Linear Algebra and Its Applications，1976，13：1-9

[5] SUN Y X.An Improvement on a Theorem by Ostrowski and Its Application[J].Northeastern Math J，1991，7(4)：497-502

[6] 干泰彬，黃廷祝.非奇異H-矩陣的實用充分條件[J].計算數(shù)學(xué)，2004，26(1) ： 109-116

GAN T B，HUANG T Z.Practical Sufficient Conditions for Nonsingular H-Matrices[J].Math Numer Sin，2004，26(1)：109-116

[7] 匡德勝.非奇異H-矩陣的充分條件[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011(4)：331-333+346

KUANG D S.Sufficient Conditions for Nonsingular H-Matrices[J].Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition)，2011(4)：331-333

[8] GAN T B，HUANG T Z.Simple Criteria for Nonsingular H-matrices[J].Linear Algebra Appl，2003，15： 317-326