一致收斂性及應(yīng)用初步

繆彩花+何天榮

【摘 要】本文對函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別法進(jìn)行介紹和舉例，還介紹了一致收斂函數(shù)項級數(shù)性質(zhì)的初步應(yīng)用，有助于加深對一致收斂的理解，體會一致收斂的作用，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

【關(guān)鍵詞】級數(shù)；一致收斂；判別法

函數(shù)項級數(shù)具有高度的抽象性，特別是函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性更是教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點，以下我們介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別方法及其初步應(yīng)用。

一、函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別法

1.M判別法

M判別法的適用范圍雖然較窄，但當(dāng)它適用時，用起來卻很方便。

如對于函數(shù)項級數(shù) ，x∈[-1，1]。由于對任意的x∈[-1，1]有u （x）≤ ，而級數(shù) 收斂，所以由M判別法知原函數(shù)項級數(shù)在[-1，1]上一致收斂。該函數(shù)項級數(shù)也可用“裂項相消法”去求部分和序列，證明其一致收斂，但和M判別法比較，就可以發(fā)現(xiàn)M判別法簡單得多。

2.狄利克雷判別法和阿貝爾判別法

狄利克雷判別法和阿貝爾判別法均適用于討論通項是兩個函數(shù)相乘的函數(shù)項級數(shù)，如對于函數(shù)項級數(shù) ，x∈[0，+∞），記u （x）= ，v （x）= ， u （x）在[0，+∞）上一致收斂?！舩∈[0，+∞），函數(shù)列{v （x）}是單調(diào)減少的，又因為v （x）≤1對一切x∈[0，+∞）和任意n∈N都成立，所以{v （x）}在[0，+∞）一致有界，由阿貝爾判別法知函數(shù)項級數(shù) u （x）v （x）在[0，+∞）上一致收斂。

3.柯西準(zhǔn)則及其推論

判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法都是充分性判別法，不能用它們來判別函數(shù)項級數(shù)不一致收斂。判別函數(shù)項級數(shù)不一致收斂可應(yīng)用柯西準(zhǔn)則及其推論。對于函數(shù)項級數(shù) 2 sin（x/3 ），x∈（0，+∞），記u （x）=2 sin（x/3 ），取ε =1，∨N>0， n>N及x =π3 /2∈（0，+∞）有u （x ）=2 >1，由此得{u （x）}在（0，+∞）上不一致收斂于零，由柯西準(zhǔn)則的推論得：函數(shù)項級數(shù) 2 sin（x/3 ）在（0，+∞）上不一致收斂。

二、和函數(shù)分析性質(zhì)的應(yīng)用

函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)并不一定能夠直接求出解析式，但根據(jù)一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，在一致收斂的條件下，函數(shù)項級數(shù)的每一項的分析性質(zhì)可以傳遞給和函數(shù)，于是我們?nèi)稳豢梢杂懻摵秃瘮?shù)的連續(xù)性、可微性以及可積性，這為我們討論和函數(shù)的分析性質(zhì)帶來了很大的方便。

需要特別說明的是：要證明和函數(shù)S（x）= u （x）在區(qū)間I上連續(xù)，但函數(shù)項級數(shù) u （x）在I上并不一致收斂時，便不能直接用和函數(shù)連續(xù)性定理，因為條件不滿足。此時可用下述方法處理：若對任意取定的x ∈I，可取到區(qū)間J I（x 在J的內(nèi)部），使 u （x）在J上一致收斂，則在u （x）于J連續(xù)時，由和函數(shù)的連續(xù)性定理，就可保證和函數(shù)S（x）在J上連續(xù)，從而在x 處連續(xù)。再由x 的任意性，可得S（x）在I上連續(xù)。S（x）的可微性也可類似處理。

【參考文獻(xiàn)】

[1]華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論[M].科學(xué)出版社，1964

[2]石會萍.函數(shù)項級數(shù)非一致收斂判別方法的歸納分析[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報，2012

（項目名稱： 麗江師范高等?？茖W(xué)校質(zhì)量工程項目特色課程《數(shù)學(xué)分析》—專業(yè)必修課 項目編號：XJ102016211）endprint