有圖有“真相”

唐蔣林

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線，不僅能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示所學(xué)的有理數(shù)，而且實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)也是一一對應(yīng)的.相反數(shù)、絕對值等基本概念借助數(shù)軸來理解，能更加形象.數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加減法的法則探究等都離不開數(shù)軸.同時，不等式（組）的解集，利用數(shù)軸能直觀地表示出來，并加以確定.數(shù)軸的學(xué)習(xí)，是后面學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ).因此，數(shù)軸是一種重要的數(shù)學(xué)工具.在初中階段，利用這一基本圖形來幫我們解決相關(guān)問題，既簡單又直觀，是數(shù)形結(jié)合思想的基本體現(xiàn).

例1 在數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，它們分別表示-4、1、-1，怎樣移動A、B兩點(diǎn)，使這三點(diǎn)重合？

點(diǎn)撥：這個問題如果單純地用代數(shù)方法來求解，就要看-4和1分別加上（或減去）怎樣的一個數(shù)能得到-1，從而判斷其移動的方向和距離.這種方法對基礎(chǔ)較弱的學(xué)生而言，是比較難理解的.仔細(xì)審題，會發(fā)現(xiàn)這是一個點(diǎn)的運(yùn)動型問題.倘若畫出數(shù)軸，讓點(diǎn)在數(shù)軸上動起來，那么問題就變得非常簡單.畫出數(shù)軸，把A、B、C三點(diǎn)分別表示在數(shù)軸上.若移動A、B至C處，則這三點(diǎn)可重合，即都表示-1.如何移動，通過圖形，一目了然.

解：如圖1，在數(shù)軸上分別表示出A、B、C三點(diǎn).將點(diǎn)A向右移動3個單位長度，點(diǎn)B向左移動2個單位長度，能使這三點(diǎn)重合.

變式：上述A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)不變.若任意移動其中兩點(diǎn)，使這三點(diǎn)重合，那么如何移動，有哪幾種方法？

例2 如圖2，B是數(shù)軸上一個表示整數(shù)的點(diǎn)，另一點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離等于點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離.若C與A相距2個單位長度，寫出C點(diǎn)表示的數(shù).

點(diǎn)撥：A與B到原點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可找到A點(diǎn)位置；A、C兩點(diǎn)相距2個單位長度，利用圖形可以看出，此處需分兩種情況討論，即點(diǎn)C在A的左側(cè)或者右側(cè)，在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)C的位置，就能得到它所對應(yīng)的數(shù).

解：如圖3，在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示-3；滿足條件的點(diǎn)C有兩個，分別表示-5或者-1. 利用數(shù)軸確定點(diǎn)A的位置是解題的關(guān)鍵，而通過觀察發(fā)現(xiàn)距離A點(diǎn)2個單位長度的點(diǎn)有兩個，分別分布在A點(diǎn)的左右兩側(cè)，需要分情況討論.

變式：已知數(shù)軸上的A、B兩點(diǎn)分別表示2、-3，數(shù)軸上有另外兩點(diǎn)C、D， 且C到A的距離為3個單位，D到B的距離為1個單位，求線段CD的長.

例3 小芳家、學(xué)校、書店依次坐落在一條東西走向的大街上，小芳家在學(xué)校東500m處，書店在學(xué)校西150m處.小芳從學(xué)校向東走了250m后又向西走了400m，你能說出小芳現(xiàn)在的位置嗎？

點(diǎn)撥：畫示意圖（或線段圖），是分析和求解行程類問題的關(guān)鍵所在.此題雖不是一道典型的行程類問題，但是通過數(shù)軸準(zhǔn)確地畫出示意圖，不僅能清楚地理解小芳的行走路線，而且能直接得出答案.這種利用數(shù)軸分析行程問題的方法在后面學(xué)習(xí)方程（組）后，對解答問題有較大的幫助，尤其是關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動問題，將會取得不錯的效果.題中涉及三個地點(diǎn)，如果將它們的位置分別表示在數(shù)軸上，我們只要在數(shù)軸上畫出小芳的運(yùn)動軌跡，那么問題就變得簡單、直觀.

解：如圖4，以學(xué)校為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檎较虍嫈?shù)軸，則小芳家在500m處，書店在 -150m處，則小芳現(xiàn)在在書店位置.

變式：數(shù)軸上有一點(diǎn)A，若將點(diǎn)A左移4個單位長度，再右移動2個單位長度，此時點(diǎn)A所表示的數(shù)是原來點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)，原來點(diǎn)A所表示的數(shù)是多少？

總之，利用數(shù)軸直接求解數(shù)學(xué)問題的例子還有很多，類型也比較豐富.雖然數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用在數(shù)軸上也僅僅只是初步體現(xiàn)，但是這種分析問題和解決問題的方法值得學(xué)習(xí)和研究，對學(xué)生進(jìn)一步理解和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問題起到了一定的引導(dǎo)作用.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)軸、用好數(shù)軸，讓數(shù)學(xué)問題的真相現(xiàn)于“形”上.endprint