判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

林凱

【摘 要】單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)一些其他知識的基礎(chǔ)，同時(shí)也是高考的高頻考點(diǎn)。但是在平時(shí)的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)不論是初步接觸單調(diào)性的高一學(xué)生，還是進(jìn)入總復(fù)習(xí)的高三學(xué)生，對于函數(shù)的單調(diào)性的判斷，大部分時(shí)候都是不知所以然。針對這一情況，筆者有以下一些解題分析和答題策略，與大家共同商討。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；單調(diào)性；定義法；性質(zhì)法；同增異減法；導(dǎo)數(shù)法；抽象函數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)諸多性質(zhì)中最為基本的性質(zhì)，亦是最為常用的性質(zhì)，觀察函數(shù)圖象時(shí)首先注意到的是圖象的上升或下降，但是由于圖象直觀獲得的結(jié)論還需要從數(shù)量關(guān)系的角度通過邏輯推理加以確認(rèn)。所以對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：①要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；②單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。下面，筆者就這一問題給出一些自己的見解和方法，以供大家參考。

一、定義法

根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)單調(diào)性的最重要的方法，利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： ① 任取x1，x2∈D，且x1

例如：求函數(shù)y= x∈[2，3]上的單調(diào)性

證明：∵函數(shù)y===1+

設(shè)2≤x1

則f（x1）-f（x2）=-

∵2≤x1

∴x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0

∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）

∴函數(shù)y=在[2，3]上是減函數(shù)

使用定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的一種常用方法，使用這一方法關(guān)鍵在于對函數(shù)單調(diào)性定義的理解，在應(yīng)用定義法判別的時(shí)候，首先取定定義域中不等的兩點(diǎn)，對其函數(shù)值作差，判斷其大小，但是，在解題過程中，不乏對不等式的靈活應(yīng)用，因此熟練掌握一些常的不等式。

二、性質(zhì)法

除了用基本初等函數(shù)的單調(diào)性之外，利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)也能簡化解。

若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間B上具有單調(diào)性，則在區(qū)間B上有：

（1）f（x）與f（x）+C（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性；例如：f（x）= x3在R上是增函數(shù)，則f（x）=x3+3在R上也是增函數(shù)；

（2） f（x）與c·f（x）當(dāng)c>0具有相同的單調(diào)性，當(dāng)c<0具有相反的單調(diào)性； 例如證明函數(shù)f（x）=3x-1在R上是單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）=x在R上是單調(diào)增函數(shù)，∴f（x）=3x在R上也是單調(diào)增函數(shù)；∴f（x）=-2x在R上是減函數(shù)。

（3）當(dāng)f（x）、g（x）都是增（減）函數(shù)，則f（x）+g（x）都是增（減）函數(shù)；例如，證明函數(shù)F（x）=x3+x在R上是增函數(shù)?！遞（x）= x3在R上是增函數(shù)，g（x）=x在R上是增函數(shù)， ∴F（x） =f（x）+g（x）=x3+x在R上是增函數(shù)；再如：證明函數(shù)F（x）=（）x+在R上是減函數(shù)。∵f（x）=（）x在R上是減函數(shù)，g（x）在R上是減函數(shù)，∴F（x）=（）x+在R上是減函數(shù)。

函數(shù)性質(zhì)法是用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。函數(shù)性質(zhì)法通常與我們常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來使用。函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價(jià)地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運(yùn)算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調(diào)函數(shù)四則混合運(yùn)算形式就不能采用這種方法。

三、同增異減法

同增異減法是處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的常用方法。對于復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]滿足“同增異減”法（應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域），可令 t=g（x），則三個(gè)函數(shù) y=f（t）、t=g（x）、y=f [g（x）]中，若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù). 例如：求函數(shù)f（x）=log2x3在（0，+∞）的單調(diào)性，令y= log2t，t=x3；∵y=log2t在（0，+∞）是增函數(shù)，t=x3在（0，+∞）也是增函數(shù)；∴f（x）=log2x3在（0，+∞）是增函數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都是增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)f（x）=log2x3在（0，+∞）上是增函數(shù)。

對于復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]，若函數(shù)u=g（x），在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性簡記為“同增異減”。判斷函數(shù)的單調(diào)性，特別注意要在定義域內(nèi)研究。

四、導(dǎo)數(shù)法

利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。一般地，在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0，則f（x）是常函數(shù)。注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f′（x）>0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，但（2）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間的步驟：①求f′（x）；②解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）；③確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）例如：求證： 函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)?！遞（x）=2x3-6x2+7， ∴f'（x）=6x2-12x，由f'（x）>0，解得0

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f'（x），通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)f'（x）的符號，來確定函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性并要注意，在相同單調(diào)性的兩個(gè)區(qū)間不能寫成并集的形式。

五、抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù)。此類函數(shù)單調(diào)性的證明既能全面考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解與接受能力。 抽象函數(shù)單調(diào)性判斷的四種策略：①湊差策略。緊扣單調(diào)函數(shù)定義，利用賦值，設(shè)法從題設(shè)中“湊出”“f（x1）-f（x2）”，然后判斷符號；②添項(xiàng)策略。瞄準(zhǔn)題中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用加減添項(xiàng)或乘除添項(xiàng)，以達(dá)到確定“f（x1）-f（x2）”的符號的目的；③增量策略。由單調(diào)性的定義出發(fā)；④放縮策略。結(jié)合添項(xiàng)策略，利用放縮法，判斷f（x1）與f（x2）的大小關(guān)系，從而得f（x）的單調(diào)性。例如：函數(shù)f（x）對任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當(dāng)x>0，f（x）>1，求證：f（x）是R上的增函數(shù)。分析：先取x10時(shí)，f（x）>1。得到f（x2-x1）>1，再對f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結(jié)論。證明：x1>0。∴f（x2-x1）>1?！鄁（x2）=f[x1+（x2 -x1）]=f（x1）+ f（x2-x1）-1>1，∴f（x）是R上的增函數(shù)。再如：已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x>0，都有f（x）>0；f（x）+f（y）=f（x-y）對任意實(shí)數(shù)x、y都成立，試證明f（x）是減函數(shù)。證明：設(shè)x10，∴f（x2-x1）>0∴f（x1）-f（x2）>0∴f（x）是減函數(shù)；本題證明的關(guān)鍵點(diǎn)在于：f（x）+f（y）=f（x-y）對于任意實(shí)數(shù)x、y都成立。

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，從知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、解決各種問題中都有著廣泛的應(yīng)用.本文從單調(diào)性的定義入手，總結(jié)了判斷單調(diào)性的常見方法。對于具體的函數(shù)，我們可以用多種方法去判斷其單調(diào)性，特別地導(dǎo)數(shù)法是普遍適用的，圖像法也是最簡單最直觀的。因此在判斷函數(shù)單調(diào)性的問題上，應(yīng)靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而使解題過程最簡單。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉璐《淺談高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性問題》.