導(dǎo)數(shù)中的優(yōu)化問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)研究中的具體應(yīng)用

摘 要：文章從“利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題”的概念出發(fā)，對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析決策，并對(duì)目前經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中常見的問(wèn)題進(jìn)行了應(yīng)用分析，包括最優(yōu)利潤(rùn)、最佳時(shí)間、消費(fèi)者剩余和預(yù)測(cè)市場(chǎng)結(jié)果，市場(chǎng)受到干預(yù)所發(fā)生的變化等。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；優(yōu)化問(wèn)題；分析應(yīng)用；經(jīng)濟(jì)分析

在經(jīng)濟(jì)研究中，經(jīng)常要運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行市場(chǎng)分析、判斷并做出理論研究。本文從生產(chǎn)建設(shè)和科技活動(dòng)中對(duì)導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)進(jìn)行探討。

一、 優(yōu)化問(wèn)題

在日常生活，生產(chǎn)建設(shè)和科技活動(dòng)中，做一件事總要付出一定的代價(jià)，也總想取得一定的效果。

在付出代價(jià)一定的條件下，我們總想取得最好的效果；在預(yù)期效果確定的情形下，我們總想只付出最小的代價(jià)。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟

不少優(yōu)化問(wèn)題，可以化為求函數(shù)最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)方法是解這類問(wèn)題的有效工具。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟是：

（1）分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，利用實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x）；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），解方程f′（x）=0；

（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′（x）=0的點(diǎn)數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?。

二、 生活中的優(yōu)化問(wèn)題常見類型

（1）費(fèi)用最省問(wèn)題；

（2）利潤(rùn)最大問(wèn)題；

（3）面積、體積最大問(wèn)題。

解決應(yīng)用問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題：

假定函數(shù)f（x）可微

（1）如果函數(shù)f（x）在[a，b]（或（a，b），或無(wú)窮區(qū)間）的內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，而這個(gè)駐點(diǎn)是極值點(diǎn)，如是極大（?。┲迭c(diǎn)，那么它就是最大（小）值點(diǎn)；

（2）分析實(shí)際問(wèn)題知道，函數(shù)f（x）在所考慮的區(qū)間內(nèi)（可以是開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間），而區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，有最大值（或最小值）。

在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上正確建立數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際問(wèn)題中的定義域內(nèi)找出問(wèn)題的最優(yōu)解。

在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：

優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題

↓

優(yōu)化問(wèn)題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

三、 實(shí)例分析

1. 要設(shè)計(jì)一個(gè)體積為V的有蓋圓柱形鐵桶，已知側(cè)面的單位面積造價(jià)是底面單位面積造價(jià)的一半；而蓋的單位面積造價(jià)又是側(cè)面單位面積造價(jià)的一半，問(wèn)圓柱形鐵桶的半徑r和高h(yuǎn)之比為何值時(shí)造價(jià)最??？

解析：解答本題的關(guān)鍵圓柱形鐵桶的造價(jià)表示為r（或h）的函數(shù)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。

解答：由V=πr2h，的h= Vπr2，

設(shè)蓋的單位面積造價(jià)為a，則圓柱形鐵桶的造價(jià)為

S=aπr2+2a·2πrh+4a·πr2=5aπr2+4aVr

由S′=10aπr-4aVr2=0

解得r=32V5π，于是h=Vπr2=325V4π

由問(wèn)題的實(shí)際意義，上述S的唯一可能極值點(diǎn)就是S的最小值點(diǎn)。

∴當(dāng)rh=32V5π325V4π=25時(shí)，圓柱形鐵桶的造價(jià)最省。

解析：造價(jià)問(wèn)題來(lái)自于實(shí)際規(guī)定，解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析造價(jià)的構(gòu)造及相關(guān)變量，從而正確地建立目標(biāo)函數(shù)。

2. 已知某場(chǎng)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25000+200x+140x2（元）。

（1）要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

答案：（1）設(shè)平均成本為y元，則

y=25000+200x+140x2x=25000x+200+x40（x0）

y′=25000x+200+x40′=25000x2+140

令y′=0，得x1=1000，x2=-1000（舍去）

當(dāng)在x=1000附近左側(cè)時(shí)，y′<0；在x=1000附近右側(cè)時(shí)，y′>0，故當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值。由于函數(shù)只有一個(gè)點(diǎn)使y′=0，且函數(shù)在該點(diǎn)有極小值，那么在該點(diǎn)取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品。

（2）利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=500x-25000+200x+x240=300x-25000-x240

∴L′=300x-25000-x240′=300-x20

令L′=0，得x=6000，當(dāng)x在6000附近左側(cè)時(shí)，L′>0時(shí)，當(dāng)x在6000附近右側(cè)時(shí)，L′<0。故當(dāng)x=6000時(shí)，L取得最大值。由于函數(shù)只有一個(gè)使L′=0的點(diǎn)，且函數(shù)點(diǎn)有極大值，那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值。因此，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，是在實(shí)際問(wèn)題中正確建立數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)模型的定義域內(nèi)找出問(wèn)題的最優(yōu)解，使經(jīng)濟(jì)分析走向定量化、精密化和準(zhǔn)確化，給企業(yè)策劃者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]黎詣遠(yuǎn).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社.

作者簡(jiǎn)介：

張清良，湖南省吉首市，吉首大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院。endprint