一類粘彈性流體的多重網(wǎng)格法及其收斂性分析

張宏偉， 鄧 燕

1 引言

PTT粘彈流體屬于非牛頓流體的范疇，是解決復雜流體動力學中經典且著名的模型之一.像日常生活中的沐浴露、潤滑油、表面活性劑等；同時人體的血液、地層內的石油等都是復雜流體.PTT流體模型[1]就是解決此類復雜流體動力學中著名且經典的模型之一.同時此類流體模型問題一直都是有限元研究的一個熱點.本文將應用v循環(huán)多層網(wǎng)格方法求解一種不考慮扭曲張量的PTT流體流動問題.

2 模型介紹

PTT粘彈流體模型的控制方程為[2]：

Ω為R2中邊界為Γ的多邊形區(qū)域，σ是粘彈應力張量，它是對稱的，T為偏應力張量，u是流速，p是流體壓強，f為單位體積力.偏應力張量 T 可分解為彈性部分和粘彈性部分，即 T=2（1-α）D（u）+σ，這里 α（0＜α＜1）為粘度比常數(shù)，D（u）=（▽u+▽uT）/2 是應變率張量.此外，粘彈應力張量 τ需要滿足下面的本構方程：-g（ασ，▽u）=2αD（u），其中 λ 是流體的We數(shù)，g是雙線性泛函，定義如下：

要研究完全的PTT型流體流動問題的數(shù)值方法存在很大的困難，因此我們僅研究不考慮扭曲張量的較簡單形式的PTT型流體流動問題，即：

3 PTT流體模型的線性化

假設流體流經的是有界聯(lián)通的區(qū)域Ω?Rd（d=2，3），其邊界ΓLipschitz連續(xù)

假設H（div；Ω）是所有元素和散度都平方可積的向量函數(shù)組成的函數(shù)空間，即H（div；Ω）={v∈L2（Ω）d∶▽·v∈L2（Ω）}

該函數(shù)空間是Hilbert空間，并定義空間中元素的范數(shù)如下：

為了將非線性的本構方程進行線性化處理，我們假設粘彈應力張量σ有近似值σ1，即σ≈σ1，并假設該近似值具有如下性質：

因此有如下近似公式[3]：

將上述關系式帶入PTT流體模型（2.6），可得到如下線性化的PTT模型：

4 PTT粘彈流體流動的v循環(huán)多層網(wǎng)格法

下面我們討論用v循環(huán)多層網(wǎng)格法解決PTT粘彈流體的流動問題，具體步驟如下：

步驟一：（前光滑）在細網(wǎng)格Γh2上，對于任意的計算使得它們滿足下列方程組：

步驟二：（殘量轉移）將（4.1-4.3）式與（3.1-3.3）式聯(lián)合，得到：

然后利用L2投影算子Ql-1將殘量轉移到粗網(wǎng)格

5 收斂性分析

定理1（存在唯一性）：PTT型流體流動的簡單形式（3.1-3.3）的v循環(huán)多重網(wǎng)格法存在唯一解

類似于文獻[4]中的證明.

定理2：設問題（3.1-3.3）的解（σn，un，pn）∈Hk+（1Ω）4×Hk+（2Ω）2×Hk+（1Ω），步驟1的迭代解×Xh2×Qh2，那么對于一直三角剖分Γh2，存在常數(shù)C，使得：

我們又令

對于上式，利用Poincare不等式，我們有：

具體推導過程可參考文獻[4].

定理4：設問題（3.1-3.3）的解（σn，un，pn）∈Hk+1（Ω）4×Hk+2（Ω）2×Hk+1（Ω）且問題（4.4-4.6）的迭代解），則這時存在與h2無關的正常數(shù)C使得v循環(huán)多層網(wǎng)格法的迭代解

證明：根據(jù)定理2，有：

又由相應雙線性形式A的范數(shù)的定義，可知：

于是我們得到：

所以，我們有：

利用逼近性質和定理3，我們得到：

于是定理得證.

[1]王烈衡，許學軍.有限元方法的數(shù)學基礎[M].北京：科學出版社，2004：2-15.

[2]周少玲.非牛頓流體模型的最小二乘有限元方法[M].上海：上海交通大學，2015：12-15.

[3]李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應用[M].西安：西安交通大學出版社，1992：12-15.

[4]張宏偉，魯祖亮，粘彈性流體流動的V循環(huán)多層網(wǎng)格法[J].延安大學學報，2007，26（2）：15-19.

[5]張宏偉，魯祖亮，粘彈性流體流動的混合有限元法[J].長沙電力學院學報，2006，21（4）：25-28.

[6]魯祖亮，黃曉.OldroydB型流體的有限元解的存在唯一性[J].湖北名族學院學報（自然科學版），2008，26（1）：1-5.